|
|
Линейные преобразования случайных функцийРассмотрим преобразование случайной функции
X (t) в другую случайную функцию Y (t) того же аргумента t. Исполь- зуя понятие оператора преобразования, запишем эту связь в виде Y (t) = L (X (t)), где L – оператор динамической системы (в целях простоты из- ложения рассмотрим лишь наиболее элементарный случай пре- образования одной функции в другую). Операторы, применяемые к функциям, могут быть различ- ных типов. Наиболее важным для практики является класс так называемых линейных операторов. Оператор L называется линейным однородным, если он об- ладает следующими свойствами: 1) к сумме функций оператор может применяться почленно: L (X 1(t) + X 2 (t)) = L (X 1(t)) + L (X 2 (t)); (2.5) 2) постоянную величину с можно выносить за знак оператора: L (cX (t)) = cL (X (t)). (2.6)
Из второго свойства следует, что для линейного однород- ного оператора справедливо свойство L (0) = 0. Примеры линейных однородных операторов:
1) Y (t) = dt; 2) Y (t)=ò X (t) d t;3) Y (t) = j(t) X (t); t 4) Y (t) = ò X (t) j(t) d t, где j(t) – определенная (неслучайная) функция. Если вероятностные характеристики случайной функции X (t) известны, то вероятностные характеристики найти из соотношений: Y (t) можно my (t) = L [ mx (t)]; (2.7)
(t 1, t 2)],
(2.8)
т.е. для нахождения математического ожидания Y (t) нужно применить тот же оператор L к математическому ожиданию случайной функции X (t). Для нахождения корреляционной функции нужно дважды применить тот же оператор к корреля- ционной функции тем по другому. Kx (t 1, t 2): сначала по одному аргументу, за- Кроме линейных однородных операторов, существуют еще линейные неоднородные операторы. Оператор L 0 называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного одно- родного оператора L с прибавлением некоторой вполне опреде- ленной функции j(t): Y (t) = L 0 (X (t)) = L (X (t)) + j(t). Примеры линейных неоднородных операторов:
1) Y (t) = dt + j(t); 2) Y (t)=ò X (t)j(t) d t+j1(t); где j(t), j1 (t), j2 (t) – вполне определенные функции, а X (t) – преобразуемая оператором функция. Если L 0 – неоднородный оператор, то my (t) = M [ LX (t)] + + j(t), т.е. функция j(t) просто прибавляется к математическому ожиданию случайной функции на выходе линейной системы. Что же касается корреляционной функции, то, как известно, она не меняется от прибавления к случайной функции неслучайного сла- гаемого, а потому ее корреляционная функция совпадает с (2.8). В дальнейшем изложении под линейными операторами будем подразумевать только линейные однородные операторы. В качестве примера использования операторов рассмотрим операции дифференцирования и интегрирования случайной функции. Дифференцирование случайной функции. В теории случай- ных функций доказывается, что они имеют производные лишь в том случае, если существует вторая смешанная производная корреляционной функции: ¶2 K (t, t) x 1 2 при t = t.
Для стационарной случайной функции условием диффе- ренцируемости будет существование второй производной от корреляционной функции по τ при τ = 0. Производная дифференцируемой случайной функции (ее можно трактовать как скорость изменения по времени)
dt X (t) также является случайной функцией, а ее матема- тическое ожидание равно производной от математического ожидания самой функции: M é dX (t) ù= m (t) = m (t) = dmx (t)
(2.9) ëê dt úû x & y dt. Для стационарной функции mx &(t) = 0. Закон распределения функции Y (t) легко определяется только в некоторых частных случаях, а корреляционную функ- цию от производной случайной функции легко вычислить: Kx &(t 1, t 2) = Ky (t 1, t 2) = = é ù ¶2 K (t, t) M ë(Y (t) - m (t))(Y (t) - m (t))û= x 1 2. 1 y 1 2 y 2 ¶ t 1¶ t 2 ¶2 K (t) Для стационарной случайной функции Kx & dn X (t) (t) = - x. ¶t2
dtn d 2 n X , то
Для стационарной случайной функции: (2.10) ¶4 K (t) K = x; K ¶6 K =- x (t),
(2.11) & x & ¶t4 & x &&
¶t6 т.е. производные от стационарной функции также являются ста- ционарными функциями. Взаимная корреляционная функция случайной функции и ее производной
K (t, t) = M ê X (t) d X (t 2) ú= x 1 2.
(2.12) xx &1 2 ê 1 dt ë 2 ú ¶ t û 2
Случайная функция называется дифференцируемой в обоб- щенном смысле, если корреляционная функция ее производной, будучи сингулярной, содержит δ-функцию.
X (t), при этом случайный про- цесс X (t) имеет корреляционную функцию вида Определить корреляционную функцию Y (t). Решение. K (t) = D e-at.
Поскольку ¶2 K (t) K (t) =- x, то, дифференцируя последо- x &
¶t2
(e-atsign t)=
d t ÷ x d t è ø
x êë d t úû
При дифференцировании использовали свойства: ì t при t³0,
d t
= 2d(t), где d(t) – функция Дирака; ì 1 при t>0,
î Таким образом, корреляционная функция случайного про- цесса, как и белый шум, дифференцируема в обобщенном смыс- ле сколь угодно раз. Интегрирование случайной функции. Выполняя операцию интегрирования случайной функции, мы снова получаем слу- t чайную функцию
t Y (t) = ò X (t 1) dt 1, математическое ожидание которой my (t) = ò mx (t 1) dt 1, а корреляционная функция Kx &(t 1, t 2) = Ky (t 1, t 2) =
= M éë(Y (t 1) - my (t 1))(Y (t 2) - my (t 2))ùû= òò Kx (t 1¢, t 2¢) dt 1¢ dt 2¢. 0 0
(2.13) При интегрировании стационарной случайной функции ре- зультат уже не будет стационарной функцией. Покажем, что интеграл от стационарной случайной функ- ции не обладает стационарностью. t Пример 2.3. Пусть Y (t) = ò X (t 1) dt 1, при этом стационарный случайный процесс X (t) имеет корреляционную функцию вида Kx (t) = Dx coswt. Определить корреляционную функцию Y (t). Решение. Для стационарной функции формулу (2.13) можно предста- вить в виде:
t 1 t 2 t 1 t 2 Ky (t 1, t 2) = òò Kx (t 2¢- t 1¢) dt 1¢ dt 2¢= òò Dx cos(t 2¢- t 1¢) dt 1¢ dt 2¢. 0 0 0 0
Интегрируя, получим: K (t, t) = 1 cosw(t - t) + 1 (1 - cosw t - cosw t).
y 1 2 w2 1 2 w2 1 2 Из полученного соотношения следует, что интеграл от ста- ционарной функции не обладает свойством стационарности (справедливо и для общего случая).
Пример 2.4. Балка, представленная на рис. 2.4, находит- ся под действием случайной распределенной нагрузки q (x).
ческое ожидание mq (x) и корреляционная функция Kq (x 1, x 2). Определить ве-
Решение.
Рис. 2.4 роятностные характеристи- ки реакций опор RА и RВ. Поскольку опирание шарнирное, то моменты в опорах рав- ны нулю, т.е. 4 а 1 4 a
0 0 5 а 1 5 a
a a Из полученных соотношений находим: – математические ожидания:
1 5 a
a – центрированные случайные величины:
é ù
1 4 a 0
RA = 5 a òë q (x) - mRA û xdx = 5 a ò q (x) xdx,
0 1 5 a é ù 1 5 a 0
RB = 5 a òë q (x) - mRB)û xdx = 5 a ò
– дисперсии реакций: q (x) xdx; 1 4 a 4 a
1 5 a 5 a
  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
dX (t) t
Y (t) = d
В общем случае, если Y (t) =
Пример 2.2. Пусть Y (t) = d
вательно по t, получим:
K =- d æ- D ae-at d tö= D a d
= D aé-ae-at(signt)2+e-at d signtù=
= sign t;
d t2
Вероятностные харак- теристики нагрузки извест- ны, т.е. известны математи-
mRA = mq (x) xdx,
