|
|
МАТЕМАТИКА КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ И ТАЙНЫ ГАРМОНИИВ 1747 г. Жан ле Рон Д’Аламбер (1717 — 1783), французский математик, философ, писатель, один из создателей знаменитой «Энциклопедии наук, искусств и ремесел», член Парижской и Петербургской Академий, опубликовал статью «Исследование по вопросам о кривой, которую образует натянутая струна, приведенная в колебание», где впервые задача о колебании струны сводилась к решению дифференциального уравнения в частных производных, названного волновым уравнением:
Здесь t — время; x — координата струны в положении равновесия; Еще через полвека другой соотечественник Д’Аламбера Жан Батист Жозеф Фурье (1768 — 1830), выдающийся математик и сподвижник императора Наполеона, изобрел новый метод, позволивший получить общее решение задачи о колебании конечной струны. Эта задача формулируется так: найти решение волнового уравнения (3.3.1), удовлетворяющее начальным и граничным условиям:
Начальные условия означают, что в момент времени Опуская промежуточные выкладки, выпишем решение Фурье задачи о колебании конечной струны, которое представляет собой бесконечную сумму слагаемых, или, как говорят, разложение функции
Выясним физический смысл решения (3.3.3), и прежде всего функций
Итак,
Из формулы (3.3.4) видно, что каждое решение
Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Ясно, что посередине между узлами расположены точки, в которых отклонения в стоячей волне достигают максимума. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Сделаем общий вывод: колебание конечной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн
Рис. 77. Четыре первые стоячие волны (гармоники) колеблющейся струны. Перейдем теперь к «музыкальному содержанию» решения (3.3.3). Мы пришли к выводу, что струна колеблется не только всей своей длиной, но одновременно и отдельными частями: половинками, третями, четвертями и т. д. Следовательно, струна издает звук не только основной частоты Различие тембров музыкальных звуков прежде всего объясняется составом и интенсивностью обертонов у разных источников звуков. Чем больше у звука обертонов, тем красивее, «богаче» он нам кажется. По тембру, т. е. по составу обертонов, мы отличаем звуки одной и той же высоты и одинаковой громкости, воспроизводимые на скрипке или фортепьяно, голосом или на флейте. Рассмотрим подробнее основной тон струны. Вспоминая, что
откуда легко увидеть законы колебания струны, которые экспериментально пытались обнаружить на монохорде пифагорейцы. А именно: 1. Для струн одинаковой плотности и одинакового натяжения частота колебания обратно пропорциональна длине струны (это в точности пифагорейский закон (3.1.2)). 2. При заданной длине и плотности струны ее частота пропорциональна корню квадратному из натяжения (этот закон, судя по сообщению Боэция, пифагорейцы знали только качественно, ошибочно полагая высоту тона пропорциональной натяжению струны). 3. При заданной длине и натяжении частота струны обратно пропорциональна корню квадратному из ее плотности (этот закон пифагорейцы, конечно, также могли знать только качественно: чем толще струна, тем ниже издаваемый ею звук). Но обратимся вновь к обертонам. Легко видеть, что частоты обертонов
Таким образом, струна издает целый звукоряд тонов, называемый натуральным звукорядом. Теоретически натуральный звукоряд бесконечен. На практике же имеют значение лишь первые 16 обертонов, так как остальные обертоны слишком мало отличаются друг от друга, обладают слишком малой энергией и фактически не слышны. Зато в первых, наиболее сильных обертонах мы находим замечательное свойство: второй обертон с основным тоном образует интервал октавы Итак, мы приходим к разгадке закона целочисленных отношений консонансов (3.1.1), который, по преданию, был экспериментально открыт самим Пифагором. Все совершенные консонансы, т. е. интервалы с отношением частот вида Со временем в теории музыки стали различать и несовершенные консонансы: большую и малую терции. Эти интервалы как среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона (1) и квинты (3/2) нашел еще Архит. В самом деле, для интервального коэффициента большой терции имеем
а для интервального коэффициента малой терции:
Легко видеть, что несовершенные консонансы определяются следующими — пятой и шестой — гармониками колеблющейся струны. По этому поводу еще в XVIII в. французский музыкальный теоретик Балльер с присущей французу легкостью писал: «Разница между древностью и современностью заключается в том, что тогда начинали считать диссонансы с 5-го призвука, а теперь начинают их считать лишь с 7-го». Но почему именно шесть гармоник определяют все консонансы? Почему знаменитый «фальшивый», седьмой, обертон не входит ни в какие музыкальные созвучия, тогда как девятый и восьмой образуют основу всей музыкальной гаммы — известный нам тон-интервал (9/8)? Эти и немало других вопросов все еще остаются тайнами гармонии. В заключение заметим, что пифагорейцы имели практически такое же объяснение явлению консонансов, которое следует из решения (3.3.3). Начиная с Архита греки представляли звук как совокупность множества отдельных ритмических ударов струны по воздуху и таких же колебаний воздуха. Тогда в консонансе октавы отдельные удары верхнего тона происходят в два раза чаще, чем у более низкого основного тона. Следовательно, каждый второй удар верхнего тона достигает нашего уха одновременно с одним ударом основного тона, при этом основной тон как бы целиком переходит в верхний и сливается с ним в едином звучании. В консонансе квинты каждый третий удар верхнего тона совпадает с каждым вторым ударом основного тона, и поэтому квинта звучит менее слитно, чем октава. И так далее. Но совпадение числа ударов струны по воздуху эквивалентно совпадению числа узлов в стоячей волне, которые и определяют число таких ударов в единицу времени, т. е. частоту колебания струны. Таким образом, пифагорейцы совершенно правильно представляли себе физические основы явления консонанса! Мы же имеем еще одну возможность убедиться в блестящей интуиции и глубоком проникновении пифагорейцев в суть физических явлений. Начиная с Пифагора теории музыки посвящали глубокие исследования такие прославленные ученые, как Архит и Евклид, Клавдий Птолемей и Северин Боэций, а впоследствии Иоганн Кеплер, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер. Не всегда эти изыскания приносили желанные плоды (так, о математической теории музыки Эйлера говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов), но всегда они служили развитию как науки математики, так и искусства музыки. И в математике, и в музыке продолжали звучать могучие аккорды, некогда взятые Пифагором. На этом мы расстаемся с пифагорейской теорией музыки. Но расстаемся ненадолго, ибо пифагорейская музыка продолжала звучать в... пифагорейской астрономии. АСТРОНОМИЯ КОСМОС ПИФАГОРЕЙЦЕВ Луций Анней Сенека (ок. 4 до н. э. — 65 н. э.) — римский мудрец и воспитатель малолетнего Нерона — сказал как-то, что, если бы на Земле было только одно место, откуда можно наблюдать звезды, к нему непрерывно со всех концов стекались бы люди. Сколько существует человек, столько его притягивает звездное небо, и этому «звездному притяжению» столь же подвержен разум человека, как и земному — его тело. Где начало и где конец этой черной бездны? Сколько звезд рассыпано в ней? Кто я в этом безбрежном безмолвии? Несть числа вопросам, идущим от звездного неба, они приводят в трепет и восторг и простого селянина, и прославленного мудреца. «Вселенная своей неизмеримой громадностью, безграничным разнообразием и красотой, которые сияют в ней со всех сторон, повергает дух в немое удивление» — так через два тысячелетия после Сенеки писал о звездном небе Иммануил Кант (1724 — 1804). Разумеется, звездное небо будоражило и разум пифагорейцев, и в пифагорейской μάθημα астрономия была наиболее мировоззренчески значимой и одновременно наиболее поэтической наукой. Астрономия, как никакая другая наука, давала пищу богатому воображению пифагорейцев, и они мало заботились об обуздании своих фантазий логическими и эмпирическими доказательствами. Если вавилонская астрономия кропотливо накапливала и обобщала эмпирический материал, который доставляло ей звездное небо, и в результате смогла прийти к выдающимся научным открытиям, каким было, например, открытие сароса (см. с. 28), то пифагорейская астрономия была чисто умозрительной. Она парила на крыльях поэтических фантазий, не отягощая их грузом научных сомнений. И все-таки в своих астрономических гипотезах пифагорейцы исходили из одной глобальной идеи. Они верили в гармоническое устройство Мироздания, в его стройную организованность, рациональную упорядоченность, симметрию, а значит, и красоту. Вот почему Вселенную пифагорейцы впервые назвали словом Космос, что в буквальном переводе означает строй, порядок, прекрасное устроение. «Скажи мне... разве есть что-либо стройное и прекрасное, что не было бы подражанием миру. Отсюда имя Космос, которое греки дали ему» — так писал Апулей через полтысячелетия после Пифагора. К сожалению, сегодня это первоначальное пифагорейское значение слова «космос» забыто. Поистине замечательно, что верная посылка о рациональном устройстве Мироздания привела Пифагора и к ряду верных заключений о его строении. Пифагор из всех плоских линий самой совершенной считал окружность, а из пространственных тел — шар. Ясно, что мерой совершенства этих геометрических объектов служила для Пифагора их симметрия: только окружность и только шар обладают центральной симметрией бесконечного порядка, т. е. при любом повороте вокруг центра они совмещаются сами с собой. Именно «из соображений совершенства» пифагорейцы и утверждали, что траекториями планет являются окружности, а их форма шарообразна. Сегодня хорошо известно, что пифагорейцы в целом оказались правы: планеты действительно движутся почти по окружностям, а их форма почти шарообразна. Это маленькое «почти» представляет одну из больших научных загадок, ибо в каждом типе симметрии, наблюдаемом в природе, при ближайшем рассмотрении обнаруживается маленький изъян. Природа не терпит точных симметрии! Природа почти симметрична, но не абсолютно симметрична. Однако на вопрос, почему это именно так, сегодня, как отмечает Р. Фейнман, «ни у кого нет никакой разумной мысли». Итак, постулаты о том, что Земля есть шар, а траектории планет — окружности, являются важнейшими астрономическими догадками Пифагора. Впрочем, в отличие от орфиков, считавших «по определению» мир яйцом, у которого Земля была желтком, воздух — белком, а небосвод — скорлупой, это скорее были не постулаты, а логические следствия гипотезы о совершенном устройстве Мироздания — гениального мировоззренческого постулата пифагорейцев. Подтверждением этому может служить и тот факт, что миф о мировом яйце пришел к орфикам с Востока. Он известен из древнеиндийских и древнеегипетских легенд. Но ни индийцы, ни египтяне не сделали из этого мифа вывода о шарообразности Земли, хотя если Земля мыслилась ими как желток, то вывод этот был просто очевиден. По-видимому, и Пифагор руководствовался не внешним сходством формы желтка и Земли — такое умопостроение представляется слишком примитивным, а внутренней идеей о совершенстве космоса. Издревле люди отмечали на небосклоне две самые яркие и самые красивые звезды. Они сияли в течение недолгого времени сразу после захода Солнца и незадолго до его восхода и потому были названы Вечерней и Утренней звездами. Об Утренней и Вечерней звездах говорится в поэмах Гомера. Так вот, Пифагор впервые высказал предположение о том, что Утренняя и Вечерняя звезды суть одно и то же и есть не что иное, как планета Венера. Впрочем, честь этого открытия, как и гипотезы о шарообразности Земли, Пифагор часто делит со своим младшим современником Парменидом, древнегреческим философом, который, как и Пифагор, жил в Великой Греции и был идейно связан с пифагорейцами. По преданию, Пифагору принадлежит и первая простейшая космологическая модель, т. е. модель устройства Вселенной. В центре Мироздания Пифагор помещает Землю, вокруг которой вращаются три сферы: сфера Луны, сфера Солнца и сфера звезд вместе с планетами. Очень скоро эта модель была заменена более совершенными моделями, в которых каждой планете выделялась своя круговая траектория. Однако пифагорейская мысль о том, что каждая планета прикреплена к своей прозрачной небесной сфере и вместе с ней совершает круговое вращение, продолжала жить в астрономии вплоть до Иоганна Кеплера. Пифагореец Филолай, живший столетием позже своего учителя, по-видимому, является первым в истории астрономии, кто отважился убрать Землю из центра Мироздания и поместить ее на круговую орбиту. Несмотря на наивную причудливость всей космологической системы Филолая, его модель явилась выдающимся событием в истории астрономии, ибо в ней впервые исключалась особая роль Земли как центра Вселенной и, следовательно, особая роль человечества в этом мире. Вот почему Филолай населяет также и Луну животными и растениями, причем более крупными, красивыми и совершенными, чем земные. Лунные животные, по Филолаю, в 15 раз сильнее земных и настолько совершенны, что вовсе не выделяют остатков пищеварения. Другой важнейшей особенностью Филолаевой модели было то, что она шла вразрез с повседневным опытом, который вроде бы со всей очевидностью указывал на неподвижность Земли. Но Филолай не был гелиоцентристом, он сделал лишь первый шаг в этом направлении. В центре своего космоса Филолай помещает не Солнце, а некий Центральный огонь. Происхождение идеи Центрального огня скорее всего умозрительно, и, видимо, он поставлен в центр Вселенной как источник жизни. Не случайно Филолай называет Центральный огонь Гестией Вселенной: ведь Гестия в греческой мифологии была богиней домашнего очага. Кроме того, по Филолаю, Вселенная и замыкается некой огненной сферой, служащей ее наружной границей.
Рис. 78. Система мира по Филолаю (порядок следования планет Филолаем не указан). Между двух огней Филолай на концентрических сферах располагает Землю, Луну, Солнце, пять планет — Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер, Сатурн (их последовательность Филолаем не указана)[50] и, наконец, сферу неподвижных звезд. Но помимо этих известных космических тел Филолай между Центральным огнем и Землей помещает еще и некую придуманную им Противоземлю, или Антихтон (рис. 78). Земля, по Филолаю, всегда обращена к Центральному огню одной и той же необитаемой стороной, поэтому ни Центрального огня, ни Антихтона не видно. Солнце же якобы лишь отражает свет и тепло Центрального огня. Зачем Филолай придумал Противоземлю? По наиболее распространенной версии, для ровного счета, чтобы число сфер равнялось священной десятке. Но при ближайшем рассмотрении эта версия кажется малоубедительной, ибо Филолай мог зачесть в десятку либо Центральный огонь, либо Огненную сферу. Возможно, Антихтон нужен был Филолаю, чтобы защитить Землю от чрезмерного разогревания Центральным огнем, возможно, для объяснения солнечных затмений. Как бы то ни было, но надуманность и Центрального огня, и Противоземли была очень скоро осознана греками, и уже в космологической модели Платона этих странных объектов нет. Пифагорейская идея о движущейся Земле нашла наиболее яркое развитие в III в. до н. э. в трудах выдающегося соотечественника Пифагора Аристарха Самосского, которого часто называют «Коперником древнего мира». Согласно Аристарху, Солнце являлось неподвижным центром Вселенной, а вокруг него вращались Земля и другие планеты. Земля, по Аристарху, совершала один полный оборот вокруг Солнца за год и, кроме того, один оборот вокруг своей оси за сутки: Но это же в точности Коперникова модель Мироздания! Да, это так. Но пророческие идеи Аристарха не нашли отклика у его современников. Помимо неприятия, «непочтительного» отношения к Земле как центру Мироздания против вращения Земли выдвигалось два существенных возражения. Во-первых, еще в IV в. до н. э. Аристотель правильно заметил, что если бы Земля двигалась в космосе, то это вызвало бы кажущееся перемещение звезд. Допустить же, что такое перемещение незаметно из-за огромных расстояний до звезд во Вселенной, древние не решались. Надо сказать, что это наиболее серьезное возражение было окончательно преодолено лишь в XIX в., когда с помощью утонченных методов наблюдения удалось зафиксировать такое перемещение. Другое возражение выдвинул во II в. александрийский астроном Птолемей. Он показал, что при вращений Земли на ее поверхности достигаются скорости порядка 2000 км/ч, что неминуемо должно приводить к ураганным ветрам и пылевым бурям. Поскольку ничего этого нет, значит, Земля неподвижна. Оба эти довода казались убедительными, и идеям Аристарха, восходящим, по существу, к Филолаю, пришлось еще долгих 18 столетий ждать своего возрождения в трудах великого Коперника. Надо сказать, что сам Коперник в бессмертном труде «Об обращении небесных кругов», составившем основу современной астрономии, неоднократно ссылался на Филолая и других пифагорейцев как на основоположников доктрины о движении Земли. Таков был космос пифагорейцев, в котором гениальные научные озарения переплетались с самыми сказочными фантазиями. Однако главный принцип устройства Мироздания оставался у пифагорейцев неизменным: это был принцип гармонии. С этого принципа начиналось и знаменитое сочинение Филолая «О природе», которое после полуторавековых споров вокруг сохранившихся от него фрагментов все-таки признано подлинным: «Природа, сущая в космосе гармонически слажена из беспредельного и определяющих начал. Так устроен весь космос и все, что в нем». Но истинная гармония немыслима без музыки, и это волшебное звучание пифагорейского космоса нам предстоит услышать. ПИФАГОРОВО ПЕНЬЕ СВЕТИЛ» Я, как древний Коперник, разрушил Пифагорово пенье светил И в основе его обнаружил Только лепет и музыку крыл. (Н. Заболоцкий) Увы, редкий поклонник творчества Николая Заболоцкого (1903 — 1958) может толком объяснить, что это такое «Пифагорово пенье светил». Учение о музыке сфер — самый поэтичный и самый сказочный мотив пифагорейской астрономии — сегодня прочно забыто. А ведь этот мотив имеет тысячелетнюю историю, он исполнялся в тысячах вариантов, начиная от самого Пифагора вплоть до «Гармонии мира» Кеплера, написанной в XVII в. Впрочем, еще раз этот мотив неожиданно зазвучал в начале XX в. Согласно Пифагору, Солнце, Луна и планеты располагались на небесных сферах и совершали вместе с ними круговое вращение. Как и все движущиеся тела, вследствие трения об эфир они издавали звуки, которые соединялись в музыкальные созвучия. Так рождалась чудесная музыка — «мировая музыка», или «гармония сфер»,— музыка, без которой мир бы распался на части. Земная же музыка — это первое из искусств, дарующих людям радость,— являлась, по мнению пифагорейцев, лишь отражением «мировой музыки», царящей среди небесных сфер. По этой причине земная музыка как отголосок мировой находила живейший отклик в душе человека, ибо сам человек был частичкой Мироздания и, значит, в нем изначально звучали мировые гармонии. Вот почему музыка считалась греками славнейшей в семье искусств. Система мира Пифагора, как нам известно, состояла из трех сфер — Луны, Солнца и звезд вместе с планетами, вращавшихся вокруг Земли. Чем дальше находилась сфера от Земли, тем больше была ее линейная скорость и тем выше издаваемый ею тон. Эти рассуждения скорее всего подсказывались простым опытом: камень, раскручиваемый на веревке, со свистом разрезает воздух и прекрасно демонстрирует все описываемые закономерности. Пифагор, естественно, полагал, что эти сферы звучат совершенными консонансами, т. е. если издаваемый Землей тон принять за тонику (1), то сфера Луны звучала в тон кварты (4/3), сфера Солнца — квинты (3/2), а сфера звезд и планет — октавы (2). Таким образом, получался аккорд из совершенных консонансов: до — фа — соль — до1. Итак, внутреннее устройство пифагорова космоса напоминало своеобразную музыкальную шкатулку, в которой каждая из движущихся сфер издавала некоторый звук. «Когда несутся Солнце, Луна и еще столь великое множество таких огромных светил со столь великой быстротою, невозможно, чтобы не возникал некоторый необыкновенный по силе звук», — утверждал неизвестный пифагорейский автор, возможно Филолай. Таким образом, колеблемый движением сфер эфир издает чудесную мировую музыку. Однако человеческое ухо не слышит этой ни с чем не сравнимой музыки. Как рожденный на берегу моря человек перестает в конце концов различать беспрестанный рокот волн, так и слух человека привыкает и не замечает гармонического звучания небесных сфер. И лишь душа человека охотно откликается на это звучание. Дальнейшее развитие пифагорейское учение о гармонии сфер получило в трудах Платона. Платоновский диалог «Тимей», эта квинтэссенция древнего пифагореизма, является лучшим образцом античной космологии. Однако многое в «Тимее» изложено туманными и заумными намеками, что уже в древности вызывало бесконечные споры, разночтения и комментарии, которые длятся и до сего времени. Платон исходит из геоцентрической модели космоса: центром Мироздания для него является неподвижная Земля, вокруг которой на семи сферах вращаются Луна, Солнце, Венера, Меркурий, Марс, Юпитер и Сатурн. Далее следует сфера неподвижных звезд (рис. 79). На базе этой системы Мироздания Платон развивает теорию небесного гептахорда ('επτα-κορδον — семиструнника), — т. е. теорию семи подвижных сфер, настроенных в музыкальных отношениях. Согласно Платону, небесный гептахорд описывается рядом чисел
однако ни физический смысл членов этого ряда, ни их порядок в космической системе Платоном не указан.
Рис. 79. Система мира по Платону. Мы не будем погружаться в пучину толкований и интерпретаций Платонова гептахорда, которых за два с половиной тысячелетия накопилось великое множество. Заметим только, что ряд (4.2.1) содержит в себе все основные музыкальные интервалы: октаву (2/1), квинту (3/2), кварту (4/3), тон (9/8) и полутон ( Ключ же к Платонову гептахорду спрятан в числах 1, 2, 3, а именно в пифагорейском понимании единицы как символа неделимого начала, двойки — как символа неопределенной бесконечности и тройки — как символа определенности. Но для Платона это слишком просто, и в качестве символа беспредельного он берет куб со стороной 2, площадью грани 4 и объемом 8. А в качестве символа определенности — куб со стороной 3 и параметрами 3, 9, 27. Тогда взаимное переплетение этих двух троек чисел плюс начало всего — единица — и дают то единство «беспредельного и определяющих начал», о котором говорил Филолай. Пифагорейское учение о музыке сфер фактически без изменений просуществовало всю античную эпоху, все средневековье, всю эпоху Возрождения вплоть до «великой научной революции» XVI — XVII вв. И заключительный грандиозный каскад аккордов мировой гармонии прозвучал в работах Иоганна Кеплера, «светлого мистика», как красиво назвал его Герман Вейль. Свято следуя пифагорейско-платоновской традиции, Кеплер верил, что в основе Мироздания лежат простые числовые соотношения и совершенные геометрические формы. Всю свою трудную жизнь Кеплер посвятил поиску этих соотношений, «попутно» открыв три знаменитых астрономических закона, которые принесли ему подлинную научную славу, но которые сам автор ценил значительно ниже, чем открытые им мистические соотношения. Поискам гармонических отношений в космосе посвящена одна из глав книги Кеплера «Гармония мира» (1619), названная им своей вершиной: «Жребий брошен. Я написал книгу либо для современников, либо для потомков.,.» Проделав огромную вычислительную работу, Кеплер установил, что отношения экстремальных угловых скоростей[51] для некоторых планет близки к гармоническим. Так, для Марса это отношение равно квинте (3/2), для Юпитера — малой терции (6/5), для Сатурна — большой терции (5/4). «Солнце гармонии засияло во всем блеске... Небесные движения есть не что иное, как ни на миг не прекращающаяся многоголосая музыка». После этого Кеплер начинает безудержно фантазировать. Он утверждает, что Сатурн и Юпитер «поют» басом, Марс — тенором, Земля и Венера — альтом, а Меркурий — дискантом. Кеплер приводит даже нотную запись этих космических мелодий, которую мы воспроизводим непосредственно из «Гармонии мира» на рисунке 80. Более того, Кеплер дает и «слова» к этим космическим песням. Например, он утверждает, что «Земля поет ноты Ml, FA, MI, откуда можно догадаться, что в нашей юдоли царят MIseria (бедность) и FAmes (голод)».
Рис. 80. Нотная запись «небесной музыки» из «Гармонии мира» Кеплера. Никаких «математических доказательств» этому Кеплер уже не приводит, да и вообще значительная доля «Гармонии мира» занята повторением мыслей Кеплера, изложенных им в его блестящей юношеской работе «Тайна мироздания» (1696). Кеплер устал от сверхчеловеческой вычислительной работы и сам признавался в этом: «Мозг мой устает, когда я пытаюсь понять, что я написал, и мне уже трудно восстановить связь между рисунками и текстом, которую я сам когда-то нашел...» Между тем на смену фантазиям Кеплера уже шли уравнения Ньютона: занималась заря нового естествознания. Красивая сказка о музыке сфер доживала свой век, и работы Кеплера были ее лебединой песней. Не следует спешить обвинять Кеплера в мистицизме, увлечении астрологией и числовых спекуляциях. Правильнее, видимо, вспомнить о времени, в котором он жил и творил: XVI в. закончился костром на Площади Цветов в Риме, где 17 февраля 1600 г. был сожжен Джордано Бруно. Следует вспомнить трагическую историю матери Кеплера Катерины Кеплер, которую публично объявили ведьмой и процесс над которой тянулся страшные 6 лет. Обвиняемую заковывали в цепи, ставили перед палачом и орудиями пыток, и только искусные действия ее сына Иоганна, который сам вел защиту, позволили выиграть процесс у церкви. «Арестованную, к сожалению, защищает ее сын, господин Иоганн Кеплер, математик», — писал судебный писец. Только в родном городе Кеплера Вейле с 1615 по 1629 г. из нескольких сот жителей ужасная смерть постигла 38 «колдуний». Вот в какое время рождалось современное естествознание! И все-таки самым удивительным, пожалуй, является то, что пифагорова музыка сфер вновь зазвучала в 20-е гг. XX в. в самой современной области естествознания — атомной физике. Из макрокосмоса мировая музыка перешла в микрокосмос! Согласно теории Нильса Бора, развитой им в 1913 г., движение электрона вокруг атомного ядра возможно только по избранным «разрешенным» орбитам, двигаясь по которым электрон вопреки законам классической электродинамики не излучает энергии, но может скачком переходить с одной орбиты с энергией
В простейшем случае для атома водорода, содержащего один электрон, энергия n -го энергетического уровня равна:
Здесь
При переходе со второго, третьего и т. д. энергетических уровней ( Вот что по этому поводу писал в 1925 г. А. Зоммерфельд: «Управляемые целыми квантовыми числами спектральные серии фактически по смыслу являются обобщением древнего трезвучия лиры, из которого пифагорейцы еще 2500 лет назад выводили гармонию явлений в природе, а наши кванты действительно напоминают о той роли, которую, по-видимому, играли целые числа у пифагорейцев, причем не в качестве некоего атрибута, а как суть физических явлений. Возможно, начало математической физики надо отнести именно ко времени пифагорейцев, которые около 600 лет до н. э. в Южной Италии установили целочисленные отношения между длинами струн лиры при их гармоническом звучании, т. е. впервые выразили физическое явление математическими соотношениями. И когда сегодня в путанице линий спектра железа мы наводим порядок, то нами руководит твердая вера в целочисленность и гармонию явлений природы... Вот Кеплеру бы дожить до современной квантовой теории! Он увидел бы осуществленной свою самую смелую юношеск   ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
— неизвестная функция, выражающая отклонение точки с координатой x в момент времени t от положения равновесия; 
— коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны (
; T — сила натяжения струны; ρ — плотность однородной струны). Символы 
и 
обозначают частную производную второго порядка, которая определяется как производная от производной (
).·Частные производные 
и 
, как и обыкновенная производная 
, характеризуют скорость изменения функции 
по каждой из переменных x или t в отдельности при условии, что другая переменная не изменяется. Предполагается, что струна совершает малые колебания, происходящие в одной плоскости.
струне придали некоторую форму 
и сообщили ускорение 
. Граничные условия показывают, что на концах 
или 
струна жестко закреплена.
, составляющих это решение. Для этого выполним искусственное преобразование:
представляет собой гармоническое колебание (т. е. колебание по закону синуса) с одной и той же частотой 
и фазой 
. Амплитуда же колебаний 
для разных точек струны разная. Ясно также, что при 
, т. е. на концах струна неподвижна. Итак, во времени колебания струны происходят с постоянной частотой 
, но с переменной по координате x амплитудой. При этом все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в одну или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называют стоячими волнами. Пользуясь выражением для амплитуды стоячей волны (3.3.4) и учитывая, что 
, найдем неподвижные точки стоячих волн:
. В k -й стоячей волне имеется k пучностей и 
узлов. На рисунке 77 показаны четыре первые стоячие волны струны.
, но и призвуки частот 
, 
, …, 
, …. Тон основной частоты струны 
называется основным тоном струны, а остальные тона, соответствующие частотам 
, называются обертонами (верхними тонами) или гармониками. Основной тон струны принимается за первый обертон. Именно обертоны, сливаясь в общем звучании с основным тоном, который имеет наибольшую амплитуду и потому наиболее заметен, придают звуку музыкальную окраску, называемую тембром.
, третий и второй обертоны—интервал квинты 
, четвертый и третий — кварты 
. Но ведь это есть не что иное, как набор совершенных консонансов! Причем у второй гармоники с первой совпадает каждый второй узел стоячей волны, у третьей с первой — каждый третий, а у четвертой с первой — каждый четвертый (рис. 77). Ясно, что, чем больше узлов у двух стоячих волн совпадает, тем они «больше похожи» друг на друга, т. е. тем созвучнее образуемый ими интервал. Следовательно, с ростом номера гармоники степень консонантности интервала убывает.
, определены самой природой колебания струны. Все совершенные консонансы заключены в первых четырех, наиболее мощных гармониках колеблющейся струны, причем по мере удаления от первой гармоники (основного тона) степень консонантности интервала убывает. Этот «закон консонансов» является следствием математического решения задачи о колебании конечной струны (3.3.3).
). Объясняется это просто, ибо платонов гептахорд составлен из первых трех степеней чисел 2 и 3. Но квинта (3/2) и октава (2/1), как было показано на с. 194, позволяют получить любой звук пифагоровой гаммы и, значит, любой интервал. Таким образом, платонов гептахорд содержит в себе строй любого лада, и неудивительно, что Платон находит в нем дорийский лад — этот истинно национальный лад древних греков.
на другую «дозволенную» орбиту с энергией 
, испуская 
или поглощая 
при этом порцию «квант» электромагнитной энергии с частотой:
называется квантовым числом. Тогда совокупность частот, излучаемых атомом водорода при переходе с верхнего энергетического уровня на нижний 
) на первый (
) получается так называемая спектральная серия Лаймана, для которой 
, 
, 
. Но ведь это — кварта, тон и полутон чистого строя! Таким образом, как отмечал Эйнштейн, было открыто некоторое подобие между колебанием струны и атомом, испускающим излучение.