Алгоритм определения токов по МУП

1. Определить число уравнений Х_МУП = у − 1.

2. Выбрать базисный узел (в общем случае произвольно).

3. Если в схеме включены ветви с идеальным источником э.д.с., то необходимо ввести обобщенные узлы.

4. Составить систему по МУП, исходя из канонической.

5. Решить систему относительно неизвестных потенциалов узлов.

6. Определить токи ветвей через известные потенциалы, задавшись их направлением.

Пример 27. Составить систему расчетных уравнений для следующей схемы
(рис. 4.17):

Рис. 4.17

Число Х_МУП уравнений по МУП:

Х_МУП = 5 – 1 = 4.

Выбираем базисный узел:

.

Вводим обобщенный узел 1−2 из узлов 1 и 2.

Уравнение внутренней связи:

.

Уравнение внешней связи:

,

для узла 3:

.

для узла 4:

.

Система уравнений в канонической форме:

Потенциалы определяются по формулам:

где Δ − определитель канонической системы,

Δ₁, Δ₂, Δ₃, Δ₄ – определители, полученные заменой в определителе Δ столб-
ца, составленного из коэффициентов при
соответственно столбцом из свободных членов.

Определим токи ветвей через потенциалы:

Для определения тока составляем уравнение по I закону Кирхгофа для узла 1:

.

Составим систему расчетных уравнений, принимая за базисный узел, примыкающий к ветви 1−2. Принимаем = 0, тогда:

для узла 2:

,

для узла 3:

,

для узла 4:

,

для узла 5:

.

Нельзя одновременно вводить обобщенный узел и брать за базисный один из узлов, примыкающих к ветви с идеальным источником э.д.с.

При расчете второй системы уравнений потенциалы узлов будут другие. Однако, токораспределение в схеме не зависит от абсолютных значений потенциалов узлов, а зависит лишь от разности потенциалов между узлами.

4.4. Особенности составления системы по МУП в схемах
с управляемыми источниками

В систему уравнений по МУП должны входить только потенциалы, которые определяются, и заданные параметры элементов, в том числе токи независимых источников э.д.с.

Если в схеме ИНУН или ИТУН , то необходимо управляющее напряжение выразить через потенциалы узлов схемы

(рис. 4.18 и рис. 4.19).

Если − напряжение на полюсах ветви, то
, где − потенциалы узлов,
которые войдут в систему МУП.

Рис. 4.18

Если − напряжение на участке ветви, то уравнение по II закону Кирхгофа для
ветви примет вид:

или

Рис. 4.19 ,

.

Потенциалы узлов входят в систему МУП.

Если в схеме ИНУТ , то необходимый ток j-ой ветви выразится через потенциалы узлов, прилегающих к j-ой ветви (рис. 4.20 и рис. 4.21):

Рис. 4.20

или

→ .

Рис. 4.21

Если в схеме ИТУТ , то необходимо управляющий ток выразить через потенциалы (аналогично предыдущему случаю).

Пример 28. Рассмотрим схему (рис. 4.22):

− независимые источники э.д.с.

уравнений по МУП.

	k

Рис. 4.22

Примем = 0, тогда:

для узла 1:

,

для узла 3:

.

Учитывая, что , запишем или
.

Подставляя полученный результат в уравнение для узла 3, получим:

или

.

В последнем уравнении остаются два неизвестных . Оно легко решается совместно с уравнением для узла 1.

Таким образом, к алгоритму МУП добавляется ещё один пункт. После составления канонической системы уравнений необходимо выразить параметры управляемых источников через их управляющие параметры, а затем выразить управляющие параметры через потенциалы узлов схемы.

Метод контурных токов

Суть метода контурных токов (ИКТ) заключается в том, что вводятся условные контурные токи, как правило, равные токам главных ветвей, для которых составляется система уравнений по II закону Кирхгофа. Следовательно, число Х_МКТ уравнений по МКТ равно числу главных ветвей схемы, числу независимых контуров и числу уравнений по II закону Кирхгофа: Х_МКТ = Х_II.

Каждое уравнение системы составляется для конкретного независимого контура. Система решается относительно контурных токов, а затем токи ветвей определяются через контурные токи.

Каноническая система уравнений по МКТ имеет вид:

где − соответственно 1-й, 2-й, 3-й …n-ый контурные токи,
относительно которых решается система уравнений;

− собственное сопротивление соответственно
1-го, 2-го, 3-го …n-го контура;

, где j ≠ m – общее сопротивление между j-ым и m-ым контурами;

− контурные э.д.с. соответственно
1-го, 2-го, 3-го, … n-го контуров.

Собственное сопротивление контура определяется как сумма сопротивлений, входящих в данный контур (рис. 4.23).

Рис. 4.23

Например, контур, контурный ток которого обозначен на схеме , включает сопротивления . Его собственное сопротивление определится .

Сомножители с собственными сопротивлениями входят в каноническую систему уравнений для МКТ со знаком плюс.

Общее сопротивление между j-ым и m-ым контурами определяется как сумма сопротивлений, входящих в j-ый и m-ый контуры.

Например, контур, контурный ток которого обозначен на схеме , содержит сопротивление , общее с контуром . Можно записать .

Сомножители с общим сопротивлением входят в каноническую систему уравнений для МКТ со знаком плюс, если направления контурных токов в нем совпадают, и со знаком минус – если не совпадают. В данном случае они не совпадают, поэтому сомножители должны входить в каноническую систему уравнений со знаком минус.

Контурная э.д.с. определяется как алгебраическая сумма э.д.с., входящих в данный контур:

,

где N_d – число э.д.с., входящих в d-ый контур.

Правило знаков. Э.д.с. берется со знаком плюс, если ее направление совпадает с направлением контурного тока, для которого составляется уравнение, и со знаком минус, если не совпадает. (рис. 4.24)

Рис. 4.24

Пример 29. Дана схема (рис. 4.25). Требуется составить систему уравнений по
МКТ.

Рис. 4.25

Определяем число главных ветвей. Для этого строим граф схемы

(рис. 4.26):

Рис. 4.26

Из графа видно, что в схеме две главных ветви. Обозначим направления контурных токов . Очевидно уравнений по МКТ будет два.

Для первого контура:

,

где − собственное сопротивление первого контура;

− общее сопротивление первого и второго контура;

− э.д.с. первого контура;

для второго контура:

,

где − собственное сопротивление второго контура;

− э.д.с. второго контура.

Система уравнений по МКТ имеет вид:

Если в схему включены источники тока, то нужно вводить дополнительные контурные токи, равные по величине токам источников тока и совпадающие с ними по направлению.

Дополнительный контур выбирается так, чтобы в него входил только один источник тока – тот, для которого вводится этот контур, и любые другие ветви схемы.

Дополнительные контурные токи не увеличивают количество уравнений МКТ, то есть порядка системы. Дополнительные контурные токи входят в левую часть канонической системы уравнений, если их контуры имеют общее сопротивление с независимыми контурами.

Пример 30. Рассмотрим схему, отличающуюся от предыдущей наличием ветви с
источником тока (рис. 4.27).

Рис. 4.27

Очевидно, что граф схемы не изменится, так как ветвь с источником тока не входит в граф. Следовательно, как и в предыдущей схеме, будет два независимых контурных тока . Обозначим их в схеме.

Но поскольку включен источник тока , необходимо ввести дополнительный контурный ток , по величине равный и совпадающий с ним по направлению. Обозначим его в схеме = .

Теперь можно составить систему из двух уравнений по МКТ, исходя из канонической.

для первого контура:

.

Изменений в уравнении нет, так как нет общего сопротивления с контуром тока .

для второго контура:

,

Слагаемое вызвано дополнительным контурным током . Здесь − общее сопротивление между вторым и дополнительным контурами.

Записывая систему в канонической форме, необходимо слагаемое

перенести в правую часть, как величину известную, подставив = :

Алгоритм решения задачи МКТ

1. Задаемся направлениями токов ветвей.

2. Строим дерево и граф схемы, из которого определяем количество главных ветвей и независимых контуров.

3. Задаемся направлениями контурных токов независимых контуров(произвольно, по или против часовой стрелки).

4. Если в схеме есть источники тока, то вводим дополнительные контурные токи.

5. Составляем и решаем систему уравнений по МКТ, исходя из канонической.

6. Определяем токи ветвей как алгебраические суммы проходящих через данные ветви контурных токов, при этом контурный ток берется со знаком "+", если его направление совпадает с направлением тока ветви, и со знаком минус, если не совпадает.

Пример 31. Дана схема с четырьмя источниками э.д.с и двумя источниками тока
(рис. 4.28). Требуется определить токи ветвей по МКТ.

Рис. 4.28

Строим дерево и граф схемы (рис. 4.29).

Рис. 4.29

Выбираем направления контурных токов . Поскольку в схеме имеется два источника тока и , необходимо ввести два дополнительных контурных тока, соответственно равных по величине токам источников и совпадающих с ними по направлению: и .

Обозначим направления всех контурных токов в схеме: независимых – сплошной линией, а дополнительных – пунктирной (рис. 4.30).

Дополнительные контуры в
принципе можно было выбрать

и иначе, например по ветвям:

для ,

для .

Нельзя выбирать дополнитель-
ный контур лишь так, чтобы в
него входили оба тока: и , и
.

Рис. 4.30

Записываем уравнения по МКТ:

для первого контура:

;

для второго контура:

.

Переписываем систему в канонической форме:

Определяем токи ветвей, считая, что система решена относительно токов :

Несколько слов о матричной форме решения канонической системы уравнений по МКТ.

Как уже отмечалось, контурные токи можно определить по формулам:

где

, ,

, …, .

4.6. Особенности составления системы уравнений
МКТ в схемах с управляемыми источниками

Если в схеме включены источники, управляемые токами ветвей (ИНУТ

или ИТУТ), то необходимо эти токи ветвей выразить через контурные токи и подставить в каноническую систему уравнений по МКТ.

Если в схеме включены источники, управляемые напряжением на участке схемы (ИНУН или ИТУН), то необходимо управляющее напряжение выразить через контурные токи и подставить в каноническую систему уравнений по МКТ.

Пример 32. Составить систему расчетных уравнений по МКТ для схемы
(рис. 4.31) с заданными параметрами: .

Рис. 4.31

Строим дерево и граф схемы (рис. 4.32), из которого следует, что главных ветвей одна, следовательно, имеется один независимый контур, один неизвестный контурный ток .

Рис. 4.32

Поскольку в схеме имеется источник тока , вводим дополнительный контурный ток. Уравнение по МКТ имеет вид:

.

Выражаем управляемый ток через контурный , но следовательно .

или

.

5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМАХ

Основные понятия. Законы коммутации

В электрических схемах возможны два режима работы: установившийся и переходный.

Режим называется установившемся, если закон изменения тока или напряжения на исследуемом интервале времени не изменяется. Так, если в схеме включен источник постоянного тока или напряжения, на исследуемом интервале времени напряжение или ток будут постоянными: U = const или I = const

(рис. 5.1, а). Если в схеме включен источник гармонического сигнала, то любой ток или напряжение будут изменяться по гармоническому закону, но закон этот изменяться не будет (рис. 5.1,б).

а) б)

Рис. 5.1

Например, в схеме до коммутации источник был отключен, следовательно, ток в каком-то элементе был равен нулю. в момент t = 0 прошла коммутация – включили источник.

Рис. 5.2

В установившемся режиме после коммутации ток стал равен постоянной величине I. Между этими установившимися режимами переходной процесс

(рис. 5.2).

Если в схеме включить или отключить какие-то элементы, то, очевидно, до коммутации будет одна схема, а после коммутации – другая. В первой схеме будет один установившейся режим, а во второй – другой.

Переходный режим или процесс – это режим перехода от одного установившегося режима работы электрической схемы к другому под действием коммутации.

Коммутация – мгновенное изменение топологии и (или) параметров схемы.

В схемах коммутация обозначается ключом. Существует два вида ключей, работающих на замыкание (рис. 5.3,а) и размыкание (рис. 5.3,б):

на замыкание на размыкание

до коммутации до коммутации

после коммутации после коммутации

а) б)

Рис. 5.3

Если в схеме есть ключ на замыкание, то до коммутации в месте ключа до коммутации был разрыв, а после замыкания – коротко замкнутое соединение. Если же ключ на размыкание, то в схеме до коммутации было коротко замкнутое соединение, а после коммутации появился разрыв.

Рассмотрим, например, схему с ключом на замыкание (рис. 5.4,а).До коммутации в схеме был разрыв в месте ключа, то есть источник э.д.с. был отключен, ток не проходил. После коммутации в месте ключа появилось коротко замкнутое соединение (рис. 5.4,б).

а) б)

Рис. 5.4

С точки зрения физики переходные процессы – это переход от одного энергетического состояния (в схеме до коммутации) к другому энергетическому состоянию (в схеме после коммутации).

Так, в приведенной схеме (рис. 5.4,а) до коммутации емкость не заряжена, поэтому ее энергия равна нулю. В схеме после коммутации емкость заряжается. То есть в неё поступает энергия электрического поля.

Таким образом, необходимыми условиями переходного процесса являются, во-первых, коммутация, а во-вторых, наличие в схеме после коммутации реактивных элементов – емкости или индуктивности, энергия которых изменяется. Что касается активного сопротивления, то там тоже могут быть переходные процессы, но связаны они с изменением энергии теплового поля. Эти изменения проходят гораздо медленнее, чем изменения электрического или магнитного полей.

Переходные процессы подчиняются законам коммутации. Любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, поэтому суммарная энергия, запасенная в схеме, может изменяться только плавно, не скачком.

Рассмотрим схему (рис. 5.5):

Рис. 5.5

По II закону Кирхгофа после коммутации

.

Ток i(t) и э.д.с. Е могут принимать только конечные значения.

Допустим, что ток i(t) изменился скачком, то есть за бесконечно малый промежуток времени t → 0 ток изменился на конечную величину Δi. Тогда Δi(Δt)⁻¹ → ∞, Е → ∞, то есть не выполняется второй закон Кирхгофа.

Первый закон коммутации

Ток индуктивности не может изменяться скачком, то есть ток индуктивности в схеме до коммутации равен току индуктивности в схеме после коммутации и определяется в момент коммутации.

Математически закон записывается в виде:

.

Если момент коммутации принять за начало отсчета времени, то есть , то закон может быть записан в виде:

,

где − ток индуктивности в схеме до и после коммутации
соответственно.

Второй закон коммутации

Напряжение на емкости не может изменяться скачком, то есть напряже-

ние на емкости в схеме до коммутации равно напряжению на емкости после коммутации и определяется в момент коммутации:

.

Если , то .

Задача анализа переходных процессов заключается в определении мгновенных значений токов и напряжений всех ветвей схемы за определенный промежуток времени.

Функционирование схемы по законам Кирхгофа описывается системой дифференциальных уравнений. Такую систему можно решить классическим или операторным методами.

,

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: