Выбросы и решение задач надежности

Итак, пусть X (t) – непрерывный случайный процесс, а –

значение ординаты этой функции, превышение которого (выбро- сы за которое) нас интересует. Определим вероятность того, что за бесконечно малый промежуток времени dt, непосредственно следующий за моментом времени t, произойдет выброс [22]. Для того чтобы выброс действительно имел место, необходимо реали- зовать два события: во-первых, в момент времени t ордината слу- чайной функции должна быть меньше а, во-вторых, в момент времени (t + dt) ордината должна быть больше а, т.е.:

X (t) < a,

X (t + dt) > a.

(4.16)

Полагая скорость изменения случайной функции v (t) = dx / dt постоянной в течение времени dt, можно с точностью до бесконеч- но малых второго порядка написать:

X (t + dt) = X (t) + v (t) dt.

Тогда

X (t) > a - v (t) dt, и вместо двух неравенств (4.16) по-

лучим одно:

a - v (t) dt < X (t) < a при v (t) > 0.

Введем в рассмотрение двумерный закон распределения

ординаты случайной функции и ее скорости

f (x, v t)

в один

и тот же момент времени t, тогда вероятность выброса в интер- вале времени dt может быть записана в следующем виде:

¥ a

P [ a - v (t) dt < X (t)< a ] =òò

0 a - vdt

f (x, v t) dxdv.

Пределы интегрирования охватывают все значения X (t) и v(t), удовлетворяющие неравенствам (4.16). Внутренний инте- грал может быть вычислен сразу по теореме о среднем, так как у него пределы отличаются на бесконечно малую величину:

a

поэтому

ò

a - vdt

f (x, v t) dx = vdt f (a, v t),

¥

P [ a - v (t) dt < X (t) < a ] = dt ò f (a, v t) vdv.

Если разделить вероятность выброса на время dt, в течение которого он ожидается, то получим временную плотность веро- ятности выброса за уровень а в момент t (среднее число выбро- сов в единицу времени):

Тогда

¥

p (a t) = ò f (a, v t) vdv.

P [ a - v (t) dt < X (t)< a ] = p (at) dt.

(4.17)

(4.18)

Данный интеграл представляет собой математическое ожи- дание положительной скорости v (t). Пользуясь полученным вы- ражением, можно найти среднее время пребывания случайной величины X (t) выше заданного уровня a для любого промежутка времени T. Для этого разобьем промежуток Т на n равных по ве- личине малых интервалов dt_j, каждый из которых расположен вблизи момента времени t_j (j = 1, …, n). Вероятность того, что ор- дината случайной функции X (t_j) будет выше заданного уровня,

¥

P [ X (t) > a ] =ò f (x t j) dx.

a

Будем считать интервалы dt_j настолько малыми, что воз- можной сменой знака X (t) внутри интервала можно пренебречь. Тогда, если ввести в рассмотрение систему случайных величин

D t j, равных по величине соответствующему интервалу, если произошло превышение заданного уровня, и равных нулю, если

такого превышения нет, то общее время Ta пребывания выше

n

заданного уровня а будет равно сумме D t j, т.е. Ta = åD tj.

j =1

mTa = å M [D t j ].

j =1

Поскольку величина

D t j

может принимать только два зна-

чения (D t j

или 0), то ее математическое ожидание равно произ-

ведению dt_j на вероятность превышения функцией предела а:

¥

M éëD t j ùû= dt j ò f (x t j) dx.

a

Переходя к пределу при

n ® ¥,

получим среднее время

пребывания случайной величины X (t) выше заданного уровня a

для любого промежутка времени T:

T ¥

mTa = òò f (x t) dxdt.

0 a

(4.19)

a

необходимо разделить среднее время пребывания

m на среднее

число выбросов N_a за время T. Для этого разобьем промежуток Т опять на n равных по величине малых интервалов dt_j, каждый из которых расположен вблизи момента времени t_j (j = 1, …, n), и вве- дем вспомогательные величины N_j = 1 (если внутри интервала про-

Тогда полное число выбросов Na = å N j.

j =1

Найдем математическое ожидание полного числа выбросов

(среднее значение):

mNa = M [ Na ] = å M [ N j ].

j =1

Но математическое ожидание каждой из величин N_j численно

равно вероятности выброса в j -м интервале, т.е. p (a t j) dt j, а по- тому будем иметь:

mNa

= å

j =1

p (a t

j) dt j.

Увеличивая число интервалов dt_j до бесконечности и учи- тывая (4.17), получим среднее число выбросов N_a за время T:

T ¥

mNa = òò vf (a, v t) dvdt.

0 0

Средняя продолжительность выброса

T ¥

(4.20)

m òò f (x t) dxdt

m = Ta = 0 a.

(4.21)

Na òò vf (a, v t) dvdt

0 0

Для стационарных процессов эти формулы упрощаются, так как и плотность распределения ординат случайной функции

f (x t), и плотность распределения ординат и скорости f (x, v t)

не зависят от времени. Обозначая эти плотности соответственно

через

f (x) и

f (x, v), замечаем, что интегрирование по t равно-

сильно умножению на Т и, следовательно, для стационарной функции формулы примут вид:

¥

mTa = T ò f (x) dx,

a

(4.22)

¥

mNa = T ò vf (a, v) dv,

(4.23)

¥

ò vf (a, v) dv

(4.24)

Таким образом, для стационарного процесса среднее время пребывания случайной функции выше заданного уровня а, рас- считанного для промежутка времени Т, и полное число выбро- сов за тот же промежуток времени пропорциональны рассмат- риваемому промежутку времени Т, а средняя продолжитель- ность выброса от этого промежутка не зависит. Поэтому для стационарного процесса можно ввести понятие среднего числа выбросов в единицу времени:

a T

¥

= ò vf (a, v) dv,

(4.25)

которое не отличается от временной плотности вероятности вы- броса за единицу времени (см. (4.17)).

Получим окончательные числовые результаты для стацио- нарного процесса, описываемого нормальными законами рас- пределения.

Для нормального стационарного процесса плотность рас- пределения

(0).

f (x) =

-(x - mx)²

s x

Скорость и ордината для одного и того же момента време- ни являются несвязанными случайными функциями, а следова- тельно, и независимыми, потому двумерная плотность распре- деления равна произведению плотностей:

f (x, v) =

(x - m)²

1 e 2s2

v 2

s x

s2 = - d 2 t

x v

s v

где v

d t2 Kx ()

.

t=0

В этом выражении учтено, что для стационарного процесса

mv = 0.

Подставляя (4.26) в (4.25), получим среднее число выбро- сов в единицу времени:

1 é (a - m)2ù¥ é v 2ù

exp ê-

x

2s2

úòexp ê-

2s2

ú vdv.

x v ë x û0 ë v û

Сделаем замену переменных:

Тогда

2s2 3 v

¥

¥ ¥

é v 2 ù 2 U 2

òexp ê- 2 ú vdv =- s v òe

dU = -s

= s v,

0 ë2s v û

поэтому

a 2ps

-(a - mx)²

(4.27)

Формула (4.27) носит название формулы Райса и определя- ет число выбросов в единицу времени для нормального стацио- нарного процесса.

Более сложной является задача определения вероятности того, что за данный промежуток времени Т не произойдет ни одного выброса, ибо для этого необходимо знать закон распре- деления числа выбросов. Часто практический интерес представ- ляет частный случай, когда среднее число выбросов за данный промежуток времени достаточно мало, так что появление вы- бросов можно считать независимыми «редкими» событиями. В этом случае появление выбросов можно приближенно описать законом Пуассона.

Случайная величина имеет распределение Пуассона, если ее вероятность

P (k) =

k

k!

где l – параметр распределения; k = 0, 1, 2, … Если нет ни одно- го выброса, то k = 0.

Таким образом, вероятность того, что за данный промежуток

a

(4.28)

Полученные соотношения можно использовать для реше- ния вопросов надежности элементов конструкции. Будем опре- делять параметры системы в предположении, что за все время наблюдения Т рабочие значения характеристик системы R не превысят предельных значений S.

Согласно (4.20) среднее число выбросов случайной функ- ции R (t) за случайный уровень S в течение срока службы Т мож- но записать в следующем виде:

T ¥

mNS = òò R & f (S, R & t) dR & dt,

0 0

где R &– производная по времени от R;

закон распределения в момент времени t.

f (S, R & t)

– совместный

Тогда вероятность того, что за время Т не произойдет ни одного выброса (надежность), в соответствии с (4.28)

T ¥

H = P 0 = exp(-òò R & f (S, R & t) dR & dt).

0 0

В дальнейшем будем полагать, что характеристики напря- женного состояния конструкции линейно зависят от нагрузки

(R = K % q),

при этом характер действия нагрузки таков, что силами

инерции можно пренебречь при определении рабочих параметров.

= ìï

T s &

é(m

- m)2ùüï

H exp í- R

2p

exp - S R ý.

2(s2 + s2)

(4.29)

ïî ë S R ûþï

Пример 4.6 [3]. Определить надежность по прочности цилин- дрического сосуда радиусом r = 1 м с толщиной стенок h = 1,67 см, находящегося под действием внутреннего давления q. Считаем действие нагрузки стационарным нормальным процессом, корре-

ляционная функция которого

K (t) = s2 e-atæcosbt+asin btö,

è ø

при этом

m = 5 ×106

Па,

s = 5 ×105

Па, a = 0,1 с^–1, b=0,7 с^–1,

Решение. Согласно безмоментной теории оболочек макси-

мальное напряжение в цилиндре Тогда

R = qK %= qr / h, т.е.

K %= r / h.

2 d 2

2 2 2

s R & = KR &(0) = -

d t2

KR (t)

t=0

=s R (a2+ b2) = K %

s q (a2+ b2).

Согласно (4.29) надежность

ìï

é (m

- K % m)2 ùüï

H = exp í-

exp ê-

S q úý.

(4.30)

ê 2(K %2s2+ s2) ú

îï ë

q S ûþï

Подставляя в (4.30) числовые значения, получим Н = 0,99.

Используя приведенный подход, можно решать обратную задачу – определение геометрических параметров конструкции при заданной надежности.

цесс с корреляционной функцией вида

K (t) =s e-at(1 + a t).

сти Н = 0,99, если

m = 1·10⁶ Па,

s = 1·10⁵ Па,

m = 5 ×108

Па,

Решение. Для рассматриваемой корреляционной функции

s2 = = - d 2

t = %2s2a2

R & KR &(0)

d t2 KR () t=0

K q.

Подставляя полученное выражение в (4.29), получим:

ïì TK %s a

é (m

- K % m)2 ùüï

H = exp í-

q exp ê-

S q úý.

ê2(s2 + K %2s2) ú

îï ë

S q ûþï

Для нахождения K % дважды прологарифмируем получен- ное соотношение:

(m - K % m)2

S q

2(s2 + K %2s2)

= - ln TK %sa.

(4.31)

S q q

Поскольку

s S = 0

(т.е. уровень, за который выбросы за-

прещены, детерминирован), то из уравнения (4.31) можно найти

K %(в противном случае уравнение (4.31) решаем численно):

где

A =-ln 2p(-ln H).

T a

K %=

mS,

mq + s q 2 A

Подставляя численные значения, будем иметь: А = 22,

K %= 300.

Для рассматриваемой пластины [5]

K %= ca 3 / h 3, где с – ко-

эффициент, учитывающий условия закрепления, с = 0,497; а –

коэффициент формы, а = 1.

Отсюда

h = = = 4, 07 ×10-2 м.

Аналогично можно решать задачи на случай проектирова- ния элементов конструкций заданной надежности по жесткости или по устойчивости.

В заключение следует отметить, что среди прикладных за- дач теории случайных процессов, относящихся к механическим системам, большое место занимают задачи, связанные с анали- зом случайных колебаний. Эти задачи дают возможность иссле- довать динамические процессы, возникающие в колебательных системах, получить информацию о статистических свойствах системы, в том числе необходимую для оценки ее надежности.

Вибрационная надежность

Оценка надежности систем, испытывающих вибрации, в значительной мере основана на анализе случайных выбросов колебательных процессов и связанных с ними процессов накоп- ления повреждений. В основе теории вибрационной надежности

лежит понятие отказа, который может быть как результатом развития дефектов, содержащихся в системе к началу эксплуа- тации, так и результатом накопления повреждений и необрати- мых изменений в процессе эксплуатации.

При расчетах вибрационной надежности первоначально выбирают пространство качества, т.е. совокупность параметров вибрационного поля и связанных с ним физических полей, и области допустимых состояний в этом пространстве качест- ва – ограничений на параметры этих полей.

В качестве критериев вибрационной надежности обычно выбирают виброускорения, виброперемещения или вибронап- ряжения. Простейшей и наиболее употребительной мерой виб- ронапряженности служит максимальная величина виброускоре- ния а (t), либо измеряемая в абсолютных величинах, либо отно- симая к ускорению силы тяжести на земной поверхности g. Ус- ловие качества требует, чтобы максимальное виброускорение в точках системы не превышало предельно допустимых значе- ний а^*. Другая мера вибронапряженности – виброперемещения. В зависимости от назначения элементов системы ограничения могут накладываться как на абсолютные, так и на относитель- ные перемещения.

Прочность системы, как правило, оценивают величиной вибронапряжений, возникающих в ее элементах. Условие каче- ства требует, чтобы максимальные напряжения (в случае слож- ного напряженного состояния – некоторые максимальные экви- валентные напряжения) не превышали допускаемых значений. Включение в число параметров качества усилий и моментов, возникающих в элементах системы, позволяет вести расчет по несущей способности элементов. Поскольку вибрационное на- гружение, которое в конечном счете приводит к отказу элемента системы, обычно сопровождается накоплением повреждений, то более правильный подход к оценке вибрационной надежности основан на рассмотрении процесса накопления повреждений. В число параметров качества системы при этом включаются ме-

ры повреждения и остаточных деформаций, размеры трещин и других дефектов и т.п. Условия качества сводятся к требова- нию, чтобы характеристики повреждаемости не превышали предельно допустимых значений. Одно из преимуществ подхода к вибрационным расчетам на основе методов теории надежно- сти состоит в возможности комплексного учета всего разнооб- разия факторов, влияющих на надежность и долговечность.

Пример 4.8. Рассмотрим приборы, установленные на упру- гой пластине. Пусть пластина совершает случайные колебания в направлении, ортогональном ее плоскости (рис. 4.6). Вибраци- онное поле характеризуется функцией прогиба пластины w (x, t),

ускорением

a (x, t)

и абсолют-

ными перемещениями приборов ui (t) (i = 1, 2, …). Если по усло- виям эксплуатации вибропе- регрузки ограничены по модулю величиной а ^*, а относительные перемещения – величиной u ^*, то допустимая область определяет- ся условиями:

Рис. 4.6

ai (x, t)

£ a *,

ui (x, t) - w (xi, t)

£ u * (i = 1, 2, …).

Задачи для самостоятельного решения

1. Прямоугольная пластинка с длиной l = 200 мм и шириной b = 100 мм шарнирно оперта по двум противоположным сторо- нам и нагружена равномерным давлением q = 4·10⁵ Па, как по- казано на рисунке. Материал

пластины – сталь (ν = 0,3). Модуль Юнга и толщина являются случайными параметрами, имеющими заданные законы распре- деления.

Модуль Юнга имеет распределение Гаусса (среднее значе- ние 2·10¹¹ Па, среднеквадратичное отклонение 2·10¹⁰ Па), а толщина – равномерное распределение (минимальное значе- ние толщины 8 мм, максимальное 12 мм).

Определить надежность конструкции по жесткости, если предельное значение прогиба распределено по нормальному закону (среднее значение равно 4,55 мм, а среднеквадратичное отклонение 0,455). Проанализировать изменение надежности при изменении среднеквадратичного отклонения и допуска на толщину.

2. Оценить вероятность безотказной работы шарнирно опертой балки прямоугольного сечения, к которой приложена сосредоточенная нагрузка. Нагрузка q, длина балки l и место приложения нагрузки являются случайными величинами, рас- пределенными по нормальному закону, при этом m_q = 27 кН,

s _q = 0,89 кН; m_l = 3050 мм, s _l = 10 мм; для расстояния а от точки приложения нагрузки до одного из концов балки m_а = 1830 мм,

s _а = 10 мм. Предельные характеристики материала: s _S = s_т =

S

= 32,8 МПа.

Предполагается, что ширина прямоугольного сечения равна половине высоты балки и допуски для размеров составляют ±3 %, среднее значение высоты 62,15 мм.

Исследовать чувствительность надежности к следующим па- раметрам: среднее квадратичное отклонение прочности (изменяет- ся в пределах 10–80 МПа), среднее квадратичное отклонение на- грузки (изменяется в пределах 500–4000 Н), допуски для размеров прямоугольного сечения (изменяются в пределах 1–10 %).

3. Трубопровод диаметром d = 5 см с толщиной стенок h = 0,2·10^–2 см выполнен из стали, несущая способность которой случайна, и нагружен внутренним давлением q, являющимся случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами m_q = 10 МПа, s _q = 1 МПа. Закон распределения несущей способности – усеченный нормальный с параметрами m_S = 200 МПа, s _S = 20 МПа, параметр усечения слева S ₁ = 180 МПа. Определить надежность трубопровода. Провести сопоставление результатов со случаем, когда усечением закона распределения несущей способности можно пренебречь. Проанализировать влияние величины усечения на надежность.

Замечание: усеченное нормальное распределение используют, когда физиче- ские случайные величины меняются в ограниченных пределах от х ₁ до х ₂ (как по- казано на рисунке). Плот- ность распределения в этом случае имеет вид:

ì 0 при

x £ x 1;

ï

s

é

exp ê-

ê

(x - mx

2s2

)2 ù

ú

ú

при

x 1 < x £ x 2;

ï x ë x û

x > x 2,

где C =

1; t

= x 1 - mx;

t = x 2 - mx;

m и s – ма-

4. Оценить вероятность безотказной работы тяги сцепления автомобиля. Анализ видов отказа тяги показал, что наиболее вероятным является отказ вследствие разрушения при приложе- нии растягивающей нагрузки. Нагрузка, характеристики мате- риала и геометрические параметры тяги являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону.

Предел прочности на растяжение для материала, из которо- го изготовлена тяга, имеет среднее значение 100 МПа и среднее квадратичное отклонение 10 МПа. Тяга имеет круглое попереч- ное сечение, радиус которого равен 0,18 см, и производствен- ный допуск для диаметра D составляет ±2 %, исходя из преде- лов, равных 4s (т.е. s _D = 0,5 %). Нагрузка, действующая на тягу, имеет среднее значение 10 000 Н при среднем квадратичном от- клонении 1000 Н.

Исследовать чувствительность надежности к изменению среднего квадратичного отклонения прочности от 20 до 400 МПа и к изменению допусков для диаметра от ±0,5 до ±10 %, исходя из пределов, равных 4s.

5. Оценить вероят- ность безотказной работы системы, представленной на рисунке, если размеры круглых поперечных се- чений стержней и нагруз- ка являются случайными величинами, распределен- ными по нормальному закону.

Принять, что ферма симметричная, т.е. стержни 1 и 3 оди- наковые, материал всех стержней одинаковый, длины L ₁ = L ₂ =

= L, угол a = 30º. Радиусы поперечных сечений распределены

по нормальному закону (mr

= 1 см,

s r = 0,1 см). Для нагрузки

m_q = 30 кН, s _q = 1,0 кН. Предельные характеристики материала:

s _S = s_т = 10 МПа, ss S = 0,3 МПа.

Исследовать чувствительность надежности к следующим параметрам: среднее квадратичное отклонение прочности (из- меняется в пределах 10–60 МПа), среднее квадратичное откло- нение нагрузки (изменяется в пределах 10–50 кН), допуски для размеров сечения (изменяются в пределах 1–10 %).

6. Оценить вероятность безотказной работы круглой пла- стинки, шарнирно опертой по контуру, которая деформируется под действием нагрузки, равномерно распределенной в цен- тральной части по площади круга радиусом d, как показано на рисунке, если нагрузка, ради-

ус пластинки и радиус пло- щади круга приложения на- грузки являются случайными величинами, распределенны- ми по нормальному закону.

Предел прочности материала пластинки имеет среднее зна- чение 50 МПа и среднее квадратичное отклонение 5 МПа. Ради- ус пластинки b равен 40 см, и производственный допуск для диаметра D составляет ±2 %, исходя из пределов, равных 4s (т.е. s _D = 0,5 %). Радиус площади круга приложения нагрузки равен 0,1 радиуса пластинки. Нагрузка, действующая на пла- стинку, имеет среднее значение 1250 Н при среднем квадратич- ном отклонении 100 Н.

Исследовать чувствительность надежности к изменению среднего квадратичного отклонения прочности от 2 до 10 МПа и к изменению допусков для диаметра от ±0,5 до ±10 %, исходя из пределов, равных 4s.

7. Прямоугольная пластина (см. рисунок), два края которой шарнирно оперты, один защемлен, а один свободен, нагружена по шарнирным сторонам

продольной сжимающей на- грузкой q, величина которой случайна и распределена по закону равной вероятности в

пределах (15 … 25)·10⁵ Н/м. Размеры пластины: а = 2 м, b = 1 м. Примем n = 0,25; Е = 2·10¹¹ Па. Найти толщину пластины, при которой ее надежность по устойчивости Н = 0,99.

8. Балка круглого попе- речного сечения (радиус – величина случайная) нагру- жена случайной поперечной силой, как показано на ри-

сунке. Известны значения математического ожидания и диспер- сии каждой из случайных величин. Материал балки – сталь.

1) Определить математическое ожидание и дисперсию мак- симального прогиба.

2) Считая случайной только нагрузку (нормальное распре- деление, m_q = 2·10⁴ Н, σ _q составляет 10 % от m_q), определить ра- диус поперечного сечения из условия, что надежность конст- рукции по жесткости равна 0,98, если известно, что прогиб не

должен превышать y = l (l = 1 м; a = 0,25 м).

0 500

9. Балка прямоугольно- го профиля с размерами h и b, имеющая постоянную из- гибную жесткость, нагруже- на случайной нагрузкой q, как показано на рисунке.

Размер балки также является величиной случайной. Известны значения математического ожидания и дисперсии каждой из случайных величин.

1) Определить математическое ожидание и дисперсию мак- симального напряжения.

2) Считая случайной только нагрузку (нормальное распре- деление, m_q = 4·10³ Н, σ _q составляет 10 % от m_q), определить вы- соту h поперечного сечения балки (h/b = 1,5) из условия, что на- дежность конструкции по прочности равна 0,99 (материал – сталь), если известно, что l = 2 м.

10. Балка квадратного сечения, имеющая постоянную из- гибную жесткость, нагружена, как показано на рисунке. Длина балки l и размер a являются

величинами случайными. Известны значения матема- тического ожидания и дис- персии каждой из случай- ных величин.

1) Определить математическое ожидание и дисперсию ре- акций в опорах.

2) Считая случайной только нагрузку (нормальное распре- деление, m_q = 2 МПа, σ _q составляет 10 % от m_q), определить вы- соту h поперечного сечения балки из условия, что надежность конструкции по прочности равна 0,99 (материал – сталь), если известно, что l = 1 м.

11. Круглая пластинка радиусом 1 м нагружена в центре сосредоточенной силой q, действие которой представляет собой стационарный нормальный случайный процесс с корреляцион-

ной функцией вида

K (t) = s2 e-atæcosbt+asin btö. Концы

è ø

пластины защемлены по всему контуру. Подобрать толщину пластины так, чтобы ее надежность по жесткости равнялась 0,99,

при этом w _зад = 0,5·10^–2 м; T = 10 лет = 315·10⁶ с; m = 10 Н;

q

b = 0,7 c-1;

E = 2×1011 Па.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: