|
|
Оптимизация виброзащитной системыВопросы защиты приборов и оборудования от вибрационных воздействий рассмотрены во многих работах. Если внешние на- грузки являются гармоническими, то такая задача решается срав- нительно просто. Решение же задачи об оптимальной защите при случайных внешних воздействиях встречает ряд аналитических и принципиальных трудностей, связанных с постановкой задачи. Известно, что при решении задач оптимальной виброзащиты в вероятностной постановке часто используют критерии мини- мума среднеквадратической ошибки. Например, ставится усло- вие, чтобы средний квадрат перемещения защищаемого объекта относительно основания, средний квадрат абсолютного ускоре- ния объекта и т.д. принимали минимальные значения. Однако при такой постановке задачи возникают существенные затруднения. Рассмотрим, например, широко известную задачу виброза- щиты основания от колеблющегося объекта. Пример 6.1 [4]. Объект массой т связан с основанием пру- жиной жесткостью с и демпфером вязкого трения (коэффициент вязкого трения α) (рис. 6.2). Предположим, что случайная на- грузка q (t) соответствует ограниченному белому шуму в диа- пазоне частот 0 £ w£ w0. Определить спек- тральные функции и дисперсии перемещения и скорости массы, а также дисперсию дина- мического воздействия на основание. Опре- делить также (в случае w0 ®¥) наилучшее значение демпфирования, при котором сред- неквадратическое отклонение величины воз- действия на основание минимально.
Решение. Спектральная функция случайного воздействия задана выражениями: 0 £ w£ w0 w > w0 Sq (w) = S 0, Sq (w) = 0.
(6.3)
Уравнение движения массы
(6.4)
где 2 n =a / m; p 2 = c / m. Как было показано ранее, если принять, что q = q e i w t,
где H (i w) = S (w) = H (i w) 2 S (w),
(6.5) -w2 + 2 in w + p 2 При 0 £w £ w0
Sx
(w) = S 0
1;
(6.6)
при w> w0 Sx (w) = 0. Для спектральной функции скорости и ускорения получаем:
Сила, передаваемая основанию, R = cx + a x &, следовательно,
(6.8)
На рис. 6.3 приведены графики Sx, Sx &, SR для значения ко- эффициента затухания n / p =0, 2 в предположении w > p.
Рис. 6.3
Как видно из этих графиков, при постоянной плотности воздействия спектр колебаний неравномерен. Система усилива- ет колебания с частотами, близкими к собственной частоте, и ослабляет высокочастотные колебания. Определение дисперсии всех определяемых величин сво- дится к вычислению интегралов. В частности, дисперсия пере- мещения
Dx = ò Sx (w) d w = ò H (i w) 2 S (w) d w. (6.9) 0 0
Эти интегралы табулированы [20]. На рис. 6.4 показана за- висимость дисперсии перемещения от относительной частоты внешней нагрузки при n / p = 0, 2.
персия остается конечной: Рис. 6.4 p S p 2 D = 0. x w®¥ 4 c 2 n При w0 ® ¥ дисперсия силы, передаваемой основанию,
R 4 0 ç ÷
Из полученного выражения следует, что дисперсия неогра- ниченно возрастает при n ® 0 (при этом возрастает амплитуда колебаний вблизи резонансной частоты) и при n ® ¥ (непо- средственная передача возмущающей силы на основание). Ми- нимальное значение дисперсия принимает при этом декремент затухания d = 3,64): n = p /2 (при
min = p S 0 p. Отметим ряд трудностей, сопутствующих приведенному решению: 1. При случайном возбуждении типа белого шума наивы- годнейшим является весьма большое демпфирование системы. Как и при расчете системы виброизоляции, при синусоидальном возбуждении выясняется, что система тем более эффективна, чем ниже частота ее настройки p. Но это означает, что жест- кость соединения объекта с основанием должна быть мини- мальна, а это в свою очередь ведет к недопустимо большим пе- ремещениям объекта. Это затруднение можно преодолеть, до- полняя условие минимума критерия качества ограничениями, которые накладываются на параметры. 2. В зависимости от того, что минимизируется – средний квадрат ускорения или средний квадрат относительного пере- мещения, получаются различные решения. 3. Оптимальные параметры линейной виброзащитной сис- темы зависят от интенсивности воздействия. В реальных конст- рукциях интенсивность вибрационного воздействия редко оста- ется постоянной в течение срока эксплуатации конструкции. Линейные системы, параметры которых подобраны примени- тельно к некоторому уровню воздействия, перестают быть оптимальными при изменении этого уровня. Для выхода из соз- давшегося затруднительного положения приходится интерпре- тировать линейную систему как результат статистической линеаризации некоторой нелинейной системы. Эти трудности усугубляются, если объект обладает несколькими степенями свободы и если внешнее воздействие является нестационарным случайным процессом. Трудности преодолеваются выбором более удачного крите- рия качества для виброзащитной системы, ибо основным требо- ванием к ней является требование надежного функционирова- ния. Конечно, средние квадраты перемещений и ускорений объ- екта в некоторой степени характеризуют условия надежного функционирования. Но с технической точки зрения было бы правильнее минимизировать вероятность того, что за время экс- плуатации объекта его параметры хотя бы раз выйдут из облас- ти допустимых значений. Таким образом, оптимизация по надежности, будучи более естественной и обоснованной, в то же время снимает трудности, возникающие при применении более частных критериев. Этот метод оптимизации применим как к линейным, так и к нелиней- ным системам с произвольным числом степеней свободы, кроме того он не накладывает дополнительных ограничений на стохас- тическую природу внешних воздействий. Общая постановка задачи о проектировании виброзащиты формулируется следующим образом [6]. Пусть некоторая меха- ническая система с конечным или бесконечным числом степе- ней свободы прикрепляется к основанию при помощи конечного числа опор. В общем случае свойства этих опор неизвестны; то- гда говорят о выборе структуры виброзащиты. Однако чаще система виброзащиты ищется в классе простых линейных свя- зей, содержащих упругость и вязкое трение. В этом случае неиз- вестными параметрами являются координаты опор, коэффици- енты их жесткости и вязкости. Под действием внешних сил или ускорений, сообщаемых основанию, в системе возникает неко- торое вибрационное поле. Из технических соображений выби- рается система параметров качества и допустимая область в пространстве параметров качества. Далее вычисляется показа- тель надежности системы как функция неизвестных параметров виброзащиты. Последние находятся из условия, чтобы этот по- казатель принимал максимальное значение. Как правило, пока- затели надежности как функции параметров виброзащиты не имеют изолированного максимума. Кроме того, указанные па- раметры обычно могут принимать значения лишь из некоторой ограниченной области. Поэтому проектирование виброзащиты сводится к неклассической задаче оптимизации, которая может быть разрешена лишь численными методами. Одним из центральных остается вопрос о выборе парамет- ров качества и области их допустимых значений. Наряду с огра- ничениями, накладываемыми на абсолютные ускорения, могут быть также поставлены ограничения на относительные переме- щения различных точек системы. Поясним постановку и метод решения задачи на следую- щем примере, в котором, как и в примере 6.1, рассмотрена од- номассовая система, но колебания возникают за счет кинемати- ческого воздействия.
Пример 6.2 [6]. Пусть объект массой m при помощи упругой связи с жесткостью с и вязкой связи с коэффициентом трения α прикреплен к основанию, которое совершает случайные колебания по закону x 0 (t). Для надежного функционирования объекта требу- ется, чтобы относительное перемещение и абсолютное ускорение объекта не превышали по модулю предельно допустимых значе- ний. Требуется подобрать параметры оптимальной по надежности виброзащиты так, чтобы вероятность пребывания в допустимой области за время 0 £ t £ T была максимальной. Решение. Уравнение движения массы m & x &(t) + cx &(t) + a x (t) = cx &0(t) + a x 0(t).
(6.10)
Рис. 6.5 u (t) = x (t) - x 0 (t). (6.11) Тогда уравнение (6.10) примет следующий вид:
Обозначим предельно допустимые значения относительно- го перемещения массы через u *, а абсолютного ускорения a = & x &0(t) + u &&(t) через a *. Тогда ограничения в задаче, опреде-
a (t) < a *. (6.13)
В дальнейшем ограничимся случаем, когда ускорение ос- нования & x &0(t) представляет собой стационарный гауссовский процесс. Тогда математическое ожидание числа выбросов из допустимой области (в нашем случае она двумерна) в единицу времени не будет зависеть от времени. Вместо критерия макси- мизации вероятности пребывания системы в допустимой облас- ти в этом случае может быть принят критерий минимума числа выбросов в единицу времени, т.е. N (u *, a *) ® min. (6.14)
Поскольку допустимая область (6.13) представляет собой прямоугольник, то математическое ожидание числа выбросов N (u *, a *) находится по формуле: N (u *, a *) = u * ¥ a * ¥ = òò a & f 1(a *, u) f 2(a &) duda &+ òò u & f 1(u *, a) f 2(u &) dadu &, (6.15)
где -¥ 0
-¥ 0
ïì 1
æ u 2
ua a 2öüï f 1 (u, a) = exp í- ç - 2 r
+ 2 ÷ý;
) ès1 s1s2 s2øþï
f 2 (u &) = s& 2pexpç- 2s&2 ÷; f 2(a &) = s& 2pexpç- 2s&2÷, где s2, s2, r – дисперсии и коэффициент корреляции процес-
u (t) и a (t) соответственно; s&2, s&2 – дисперсии процессов
Представим процесс & x &0(t) в виде: ¥ 0 & x &0 ò & x & (t) = m + A (t)e i w t, -¥ где A (t) – обобщенная случайная функция (спектр процесса). Представляя в аналогичной форме процесс u (t): u (t) = mu ¥ + ò B (t)e i w t, -¥ и используя уравнение (6.12), получим:
u =- 2. (6.16) Спектральные плотности процессов u (t) и a (t) вы- ражаются через спектральную плотность S & x &0(w) процесса & x &0(t): S (w) (w2 + 4 n 2w2) S (w) S (w) = & x &0; S (w) = 0 & x &0;
Sua (w) = - 0 & x &0. (w2 - w2)2 + 4 n 2w2 (6.17)
Используя соотношения (6.16) и (6.17), применим формулу (6.15) для математического ожидания числа выбросов. Миними- зация этой характеристики по варьируемым параметрам систе- мы дает (при заданных ограничениях) решение задачи об опти- мальной виброзащите. На рис. 6.6 представлены некоторые численные результаты решения задачи 6.2 [6]. Ускорение & x &0(t) выражено экс- поненциально-коррелированным процессом, спектральная плотность которого S & x &0 s2a
a2 + w2 Параметры системы: m = 0, n = 0,05w, a * = 2s, u *a2 =
& x &0 0 0
Рис. 6.6 Рис. 6.7
Сплошная линия на рис. 6.6 показывает зависимость отно- шения N / a от безразмерной собственной частоты w / w*
w0, стремящейся к нулю. Однако из-за ограничений этот мини- мум не представляет интереса. Относительный минимум на- блюдается вблизи частоты w*. Штриховые линии на рис. 6.6 соответствуют выбросам из полос u (t) < u * и a (t) < a *. Абс-
принять, что a» & x & - w2 u. Если w= w*, то фазовая точка (u, a) будет двигаться по
ноопасность выбросов из полос u (t) < u * и a (t) < a *. Зависимость математического ожидания числа выбросов от двух варьируемых параметров (безразмерной собственной частоты и безразмерного параметра демпфирования n / w0) пред- Кривые на этом графике соответствуют изолини- ям равных значений N (u *, a *). Изменение демпфирования в ши- роких пределах относительно мало влияет на число выбросов. За- висимость этого числа от собственной частоты более существенна. Приведенные выше данные относились к случаю, когда вибрация основания представляет собой широкополосный про- цесс. По аналогии можно рассмотреть и узкополосный процесс. Расположение экстремумов существенно зависит от величины несущей частоты. При этом максимум соответствует резонансу системы с несущей частотой; минимумы, если они существуют, располагаются в дорезонансной области.
  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Рис. 6.2
m 2
(p 2 - w2)2 + 4 n 2w2
Из графика следует, что дисперсия возрастает главным образом за счет колебаний с частотами, близкими к собственной частоте системы. При не- ограниченном спектре воз- мущения (w0 ® ¥) дис-
Введем новую переменную – относительное перемещение массы (рис. 6.5)
ляющие область допустимых значений, можно записать в сле- дующем виде:
u (t) < u *,
îï 2(1 - r
траекториям, близким к диагонали прямоугольника области до- пустимых значений, определенной условиями (6.13). Минимум числа выбросов из этого прямоугольника достигается, таким образом, при условиях, обеспечивающих приблизительную рав-