Надежность восстанавливаемых объектов

Для восстанавливаемых систем характерно чередование времени исправной работы и времени восстановления (ремон- тов). Эксплуатация многих восстанавливаемых объектов может быть описана следующим образом. В начальный момент време- ни объект начинает работу и функционирует до отказа. При от- казе происходит восстановление, и объект опять работает до отказа и т.д. Функционирование объекта можно рассматривать как случайный процесс перехода объекта из одного состояния в другое, обусловленный отказами и восстановлением состав- ляющих систему элементов.

Оказалось удобным процесс возникновения отказов рассмат- ривать как поток случайных событий, происходящих случайно во времени. Последовательность отказов, происходящих один за дру- гим в случайные моменты времени, носит название потока отказов. Этот процесс при определенных условиях может быть дос- таточно строго описан дискретным марковским процессом

(с непрерывным временем и конечным числом состояний).

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространены следующие допу- щения [17]:

– поток отказов системы носит пуассоновский характер, и интенсивность отказов равна l;

–

– система может находиться в двух состояниях: 1 – работо- способное, 2 – ремонт.

Допущения во многом справедливы, поскольку, во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функ- ционирование системы на участке нормальной эксплуатации; во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

В качестве примера вычисления показателей надежности рассмотрим восстанавливаемый объект, у которого поток отка- зов простейший (пуассоновский) с параметром потока

ω = λ = 1/ T ₀,

а распределение времени восстановления подчиняется экспо- ненциальному закону с интенсивностью восстановления

μ = 1/ T _в,

где T ₀ – средняя наработка между отказами; T _в – среднее время восстановления.

Рис. 5.6

Поведение системы с точки зре- ния работоспособности можно опи- сать графом переходов (рис. 5.6), на котором кружки с номером означают состояние системы, а стрелки (дуги) – направление переходов системы и вероятности этих переходов за бес- конечно малый интервал времени.

Вероятности переходов в силу сделанных предположений и свойства показательного закона надежности не зависят от времени. Обозначим вероятность нахождения системы в рабо-

тоспособном состоянии

(ремонта) P 2 (t).

P 1 (t), а в состоянии восстановления

Для расчета надежности при экспоненциальном распреде- лении наработки между отказами и времени восстановления ис- пользуем метод дифференциальных уравнений для вероятно- стей состояний (уравнений Колмогорова – Чепмена):

¶ P 1 (t) = -l P (t) + m P (t), ¶ P 2 (t) = l P (t) - m P (t).

¶ t 1 2 ¶ t 1 2

Решая уравнения, получим:

-l é t ù

+òme(l+m)t d tú.

ë 0 û

Это позволяет оценить вероятности работоспособного со- стояния объекта в зависимости от начального состояния:

P 1(t) =

m

l+ m

+ C e-(l+m) t;

C 1 =l / (l+ m);

C 1 = -m / (l + m).

Следовательно, вероятность нахождения объекта в нерабо- тоспособном состоянии

P (t) = l (1 - e-(l+m) t).

2 m+l

Вероятность нахождения в работоспособном состоянии

P (t) =

m æ1 +le-(l+m) t ö.

1 m+l ç m ÷

è ø

Рассмотрим численные показатели надежности восстанав- ливаемых объектов.

Этот класс объектов характеризуется безотказностью, дол- говечностью, ремонтопригодностью, которые имеют количест- венные показатели.

К показателям безотказности относятся следующие:

1. Параметр потока отказов – плотность вероятности воз- никновения отказа восстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени. Иными словами, это математическое ожидание числа отказов в единицу времени r (t), взятое для рассматриваемого момента времени:

w(t) =lim P >1 (t) или w(t) = d [ M (r (t))],

D t ®0 D t dr

где

P >1 (t) – вероятность того, что в течение промежутка време-

ни D t произойдет более одного отказа.

Статистический параметр потока отказов

å ni (t + D t) - å ni (t)

wˆ (t) = i =1 i =1,

N (0) D t

где ni (t) – число отказов к моменту t; N (0) – число объектов.

Потоки отказов по своему характеру бывают самыми раз- личными. Наибольшее практическое применение находит про- стейший поток, который характеризуется тремя свойствами:

– ординарностью, выражающейся в том, что вероятность появления двух и более отказов оборудования в течение проме-

жутка времени D t

промежутка, т.е.

стремится к нулю при уменьшении этого

lim P >1 (t) = 0;

D t ®0 D t

– стационарностью, заключающейся в том, что параметр потока отказов является постоянным, т. е. w(t) = const;

– отсутствием последействия, состоящим в том, что отказы, произошедшие ранее, не влияют на возникновение последую- щих отказов.

Пусть интервалы времени безотказной работы между двумя соседними отказами распределены по экспоненциальному зако- ну. Тогда вероятность того, что за промежуток времени t в сис- теме произойдет k отказов, определяется по формуле Пуассона:

Pk (t) =

(l t) k

k!

e-l t,

где λ – среднее число отказов в единицу времени (интенсив-

ность отказов), λ = const.

Из перечисленных свойств следует, что при простейшем потоке отказов (при k = 0)

w(t) = l(t) = w0 = l0,

т.е. параметр потока отказов совпадает с интенсивностью отказов.

2. Вероятность безотказной работы. Параметр потока отка- зов и наработка до отказа характеризуют безотказность ремон- тируемого изделия лишь при условии его мгновенного восста- новления после отказа, т. е. не учитывают времени, необходи- мого для его восстановления.

В этом случае для большинства нерезервированных объек- тов в период их нормальной работы вероятность безотказной работы

P (t) = exp(-w0 t).

3. Наработка до отказа. Для ремонтируемых объектов удобным для практики критерием надежности является среднее время работы между двумя соседними отказами, или наработка до отказа. Значения этого параметра определяются по результа- там обработки статистического материала, полученного в ходе эксплуатации или экспериментов.

Наработка до отказа – отношение наработки восстанав- ливаемого объекта к математическому ожиданию числа его от- казов в течение этой наработки:

Tr (t) =

t

M [ r (t)].

Другими словами, это математическое ожидание времени между двумя ближайшими последовательными отказами. В об- щем случае наработка до отказа зависит от длительности интер- вала, в течение которого она определяется. Это обусловлено не- постоянством характеристики потока отказов.

Для интервала нормальной работы при экспоненциальном законе распределения отказов справедливо соотношение

Статистически наработка до отказа определяется следую- щим образом:

r (t) i =1

где ti

– время безотказной работы между (i– 1)-м и i -м отказами.

Увеличение безотказности позволяет обеcпечить безава- рийную работу объекта и в значительной степени повысить тех- нико-экономическую эффективность.

Восстановление отказавшего элемента часто требует вре- мени, которым нельзя пренебречь. Среднее время восстановле- ния системы Т _в – это математическое ожидание продолжитель- ности восстановления системы после отказа, т. е. среднее время вынужденного, нерегламентированного простоя, вызванного отысканием и устранением отказа,

¥ ¥

T в (t) = ò t f в (t) dt = ò(1 - F в (t)) dt,

0 0

где

f в (t) – плотность вероятности времени восстановления;

F в (t) – функция распределения времени восстановления.

Основной характеристикой восстанавливаемой системы яв- ляется коэффициент готовности. Коэффициент готовности K _г для установившегося режима эксплуатации определяется как вероятность того, что система будет исправна в произвольно выбранный момент в промежутках между плановыми техниче- скими обслуживаниями:

K г =

Tr.

Tr + T в

В качестве основных показателей долговечности исполь- зуют средний ресурс и средний срок службы.

Средний ресурс – математическое ожидание ресурса с уче- том восстановления.

Статистически средний ресурс определяют по формуле

N i =1

где N – число объектов; t p i – ресурс i -го объекта.

Различают несколько видов ресурса: гарантированный, гамма-процентный и назначенный ресурс.

Средний срок службы – математическое ожидание срока службы (календарной продолжительности эксплуатации) объек- та от начала эксплуатации до наступления предельного состоя- ния с учетом восстановления. Статистически его можно опреде- лить по формуле

N i =1

сл i,

где t сл i

– срок службы i -го объекта.

Ремонтопригодность характеризуется показателями: веро- ятностью восстановления в заданное время Р _в и средним време- нем восстановления Т _в.

В комплекс показателей надежности восстанавливаемых объектов входят и все показатели надежности невосстанавли- ваемых объектов.

Надежность систем

Основной задачей расчета надежности системы является определение показателей безотказности ее по данным о надеж- ности элементов и связях между ними. Для выполнения этого необходимо:

– обосновать выбор того или иного конструктивного решения;

– выяснить возможность и целесообразность резервирования;

– выяснить, достижима ли требуемая надежность при су- ществующей технологии разработки и производства.

Расчет надежности состоит из следующих этапов:

1) определение состава рассчитываемых показателей на- дежности;

2) составление (синтез) структурной логической схемы на- дежности (структуры системы), основанное на анализе функ- ционирования системы (какие блоки включены, в чем состоит их работа, перечень свойств исправной системы и т.п.), и выбор метода расчета надежности;

3) составление математической модели, связывающей рас- считываемые показатели системы с показателями надежности элементов;

4) выполнение расчета, анализ полученных результатов, корректировка расчетной модели.

При определении надежности всегда составляется струк- тура системы – логическая схема взаимодействия элементов, оп- ределяющая работоспособность системы, т.е. графическое ото- бражение элементов системы, позволяющее однозначно опреде- лить состояние системы (работоспособное/неработоспособное) по состоянию (работоспособное/ неработоспособное) элементов.

По структуре выделяют системы:

– без резервирования (основная система);

– с резервированием.

При расчете для систем с невосстанавливаемыми элемен- тами определяются следующие показатели:

– cредняя наработка до отказа (T _0с);

– вероятность безотказной работы P _с(t);

– интенсивность отказов λ_с(t);

– плотность вероятности отказов f _с(t).

Надежность любого изделия определяется надежностью деталей, составляющих это изделие. При этом наиболее часто встречаются два способа соединения деталей: последовательное и параллельное.

Последовательное соединение

Последовательным называют такое соединение (рис. 5.7), при котором отказ любого элемента приводит к отказу изделия в целом, т.е. изделие работоспособно, если все элементы рабо- тоспособны.

Рис. 5.7

Если в системе с последовательным соединением элемен- тов отказы статистически независимы, то, как известно, эта сис- тема сохраняет работоспособность только тогда, когда все ее последовательно соединенные элементы работают безотказно. При этом вероятность наступления совместного события, со- стоящего из независимых событий, равна произведению вероят- ностей наступления каждого события, т.е. вероятность безотказ- ной работы системы с неодинаковыми последовательно соеди- ненными элементами

P с (t) = Õ Pi (t),

i =1

(5.8)

где n – число элементов или подсистем; P_i (t) – вероятность без- отказной работы i -го элемента.

Если вероятность безотказной работы каждого из элементов постоянна, то будем иметь простейшую задачу надежности. На- пример, если мы имеем 4 элемента и надежность каждого извест- на: Р ₁ = 0,9; Р ₂ = 0,8; Р ₃ = 0,7; Р ₄ = 0,6, то надежность всей системы Р = Р ₁· Р ₂· Р ₃· Р ₄ = 0,3024. Как видно на этом примере, надежность системы, состоящей из последовательно соединенных элементов, меньше надежности любого из ее элементов.

Если значения наработки элементов до отказа распределе- ны по экспоненциальному закону (т.е. все элементы имеют по- стоянные интенсивности отказов), то вероятность безотказной работы i -го элемента определяется по формуле:

Вероятность безотказной работы системы последовательно соединенных элементов

P c (t) = e

Средняя наработка до отказа

-ål it

i =1.

(5.9)

T 0c = òe

i =1

dt =

.

(5.10)

Полученное выражение показывает, что среднее время без- отказной работы системы с последовательным соединением элементов есть величина, обратная сумме интенсивностей отка- зов отдельных элементов.

Пример 5.3. Предположим, что для работы системы с после- довательным соединением элементов при полной нагрузке необ- ходимы два разнотипных насоса, причем насосы имеют постоян-

ные интенсивности отказов (соответственно

l1 = 0, 0001 1 / ч,

l2 = 0, 0002 1 / ч). Требуется вычислить среднее время безотказ-

ной работы данной системы и вероятность ее безотказной работы в течение 100 ч. Предполагается, что оба насоса начинают работать в момент времени t = 0.

Решение. С помощью формулы (5.9) находим вероятность безотказной работы заданной системы в течение 100 ч:

P (t) = e-(l1 +l2) t → P (100) = e-0,0003×100= 0,97045.

c c

Используя формулу (5.10), получим среднюю наработку до отказа:

T 0c =

l1 + l2

= 3333,3 ч.

Параллельное соединение

В случае параллельного соединения (рис. 5.8) вероятность от- каза каждого i -го элемента равна (1– Р_i), а вероятность отказа всей системы равна произведению отказов всех независимых элементов.

Такая система выходит из строя только в случае отка- за всех ее элементов при ус- ловии, что все элементы сис- темы функционируют и нахо- дятся под нагрузкой, а отказы элементов статистически не- зависимы. Вероятность без- отказной работы системы

с параллельным соединением неодинаковых элементов

Рис. 5.8

P c = 1 - Õ(1 - Pi),

i =1

где n – число элементов; Pi – безотказность i -го элемента.

(5.11)

Если вероятность безотказной работы каждого из элемен- тов постоянна, то будем опять иметь простейшую задачу на- дежности. Например, если мы имеем 5 одинаковых элементов

и надежность каждого известна: Р_i = 0,6, то надежность всей системы Р _с = 1 – (1 – Р ₁)(1 – Р ₂)(1 – Р ₃)(1 – Р ₄)(1 – Р ₅) =

= 1 – 0,01024 = 0,99. Как видно на примере, надежность систе- мы, состоящей из параллельно соединенных элементов, больше надежности любого из ее элементов. Это означает, что можно существенно повысить надежность системы, если вместо одного малонадежного элемента включить в общую систему блок из нескольких параллельно соединенных элементов.

Пример 5.4. В системе после- довательно соединенных трех эле- ментов имеется один элемент с ма-

лой надежностью P 2

(рис. 5.9, а).

P 1 = 0,3,

P 3 = 0,8, то

Рис. 5.9

общая надежность системы P = P P 1 P = 0, 216. Проанализи- ровать, как будет меняться вероят- ность безотказной работы системы

Решение. Если включить в систему еще один элемент (рис. 5.9, б), то надежность второ- го звена

´ P 3 = 0,3672.

P = P × P 2 ´

параллельно соединенных элементов (рис. 5.9, в), то надежность среднего звена

´ P 3 = 0, 47.

щественно.

Таким образом, надежность системы увеличилась су-

В случае, когда надежность элементов меняется во време- ни, но интенсивность отказов постоянна, получим:

-l it

c

(5.12)

i =1

Среднее время безотказной работы

¥ æ1 1 1 ö æ 1 1 ö

T 0с = ò P c (t) dt = çl+ l

+... l

÷-çl + l

+l + l

+...÷+

0 è1 2

n ø è

1 2 1 3 ø

+æ 1 + 1

+...ö+ (-1) n +1 1.

çl + l + l l + l + l ÷ n

è 1 2 3 1 2 4 ø

ål i i =1

В случае одинаковых элементов среднее время безотказной работы

T 0c

1 n 1

l i =1 i

(5.13)

Пример 5.5. Два одинаковых двигателя работают в системе с резервированием, причем если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной нагрузке. Найти безотказность системы в течение 400 ч (продолжитель- ность выполнения задания) при условии, что интенсивности от- казов двигателей постоянны (λ = 0,0005 1/ч), отказы двигателей статистически независимы и оба двигателя начинают работать в момент времени t = 0.

P (t) = 1 - Õ(1 - e-l it) = 1 - (1 - l)2= 2e-l t - e-2l t,

Средняя наработка до отказа

0c lç

2 ÷ 2l

è ø

Простые комбинации подсистем с параллельным и после- довательным соединениями элементов легко проанализировать путем последовательного объединения подсистем в группы па- раллельно или последовательно соединенных эквивалентных элементов. В качестве примера [12] рассмотрим последователь- ное соединение подсистем с параллельными элементами, пред- ставленное на рис. 5.10, а.

Рис. 5.10

Для вычисления надежности системы вначале объединим параллельное соединение элементов подсистем, а затем будем рассматривать последовательное соединение эквивалентных элементов. Допустим, что известны показатели надежности этих

элементов:

PA = 0, 9,

PB = 0,8,

PC = 0, 7,

PD = 0, 6.

Тогда найдем

вероятности безотказной работы последовательно соединенных эквивалентных элементов:

PAB = 1 - 0,1× 0, 2 = 0,98; PCD = 1 - 0,3 × 0, 4 = 0,88.

Безотказность работы всей системы P с = 0,98 × 0,88 = 0,8624.

Теперь рассмотрим случай (рис. 5.10, б), когда подсистемы с последовательным соединением элементов соединены парал- лельно. Сначала объединим последовательно соединенные эле-

менты подсистем, а затем рассмотрим параллельно соединенные эквивалентные элементы. Предположим, что в данном случае элементы имеют такую же надежность, как и в предыдущем примере. Тогда найдем вероятности безотказной работы парал- лельно соединенных эквивалентных элементов:

PAC = 0,9 × 0, 7 = 0, 63; PBD = 0,8 × 0, 6 = 0, 48.

Следовательно, вероятность безотказной работы всей сис- темы:

P с = 1 - (1 - PAC)(1 - PBD) = 1 - 0,37 × 0,52 = 0,8076.

Различие в значениях показателей надежности систем обу- словлено различным соединением подсистем.

Можно рассматривать и более сложные соединения, на- пример соединение элементов по мостиковой схеме, или решать задачи с ненагруженным резервом, когда при резервировании один элемент находится под нагрузкой, а остальные n исполь- зуются как ненагруженный резерв.

Задачи для самостоятельного решения

1. Блок состоит из 4 эле- ментов, соединенных так, как показано на рисунке. Для каж- дого элемента известна вероят- ность отказа:

Q ₁ = 0,3; Q ₂ = 0,2; Q ₃ = 0,4; Q ₄ = 0,1.

Определить вероятность безотказной работы системы.

2. Невосстанавливаемое устройство состоит из 2000 после- довательно соединенных элементов, средняя интенсивность от- казов которых равна 0,2·10^–6 1/ч. Определить вероятность безот- казной работы устройства за время 200 ч и среднее время безот- казной работы устройства.

3. Система состоит из че- тырех элементов, соединенных так, как показано на рисунке. Определить вероятность безот- казной работы в течение 100 ч,

среднее время безотказной работы системы, а также частоту от- казов и интенсивность отказов системы в момент времени 100 ч, если интенсивность отказов элементов l₁ = 0,2·10^–3 1/ч

l₂ = 0,8·10^–3 1/ч.

4. Были подвергнуты испытаниям ведущие валы 46 авто- мобилей. В данном случае отказ регистрировался, когда веду- щий вал изнашивался настолько, что появлялся избыточный шум. Были получены следующие данные: при пробеге от 0 до 20 000 км отказало 19 валов, при пробеге от 20 000 до 40 000 км отказало 11 валов и т.д.

Определить вероятность безотказной работы автомобиля к моменту пробега 20 000 км, а также определить интенсивность отказов.

5. Блок состоит из 5 эле- ментов, соединенных так, как показано на рисунке. Для каждого элемента из- вестна вероятность отказа:

Q ₁ = 0,3; Q ₂ = 0,2; Q ₃ = 0,4; Q ₄ = 0,1; Q ₅ = 0,5.

Определить вероятность безотказной работы системы.

6. Блок состоит из 4 элементов, соединенных так, как показа- но на рисунке. Для каждого элемента известна вероятность безот- казной работы:

Р ₁ = 0,7; Р ₂ = 0,9;

Р ₃ = 0,8; Р ₄ = 0,95.

Определить вероятность отка- за системы.

7. Блок состоит из 4 элемен- тов, соединенных так, как пока- зано на рисунке. Для каждого элемента известно время безот- казной работы:

Т ₁ = 100 ч, Т ₂ = 300 ч, Т ₃ = 200 ч, Т ₄ = 150 ч.

Определить среднее время безотказной работы системы.

8. Система состоит из 3 устройств, среднее время безотказ- ной работы которых равно соответственно Т ₁ = 100 ч, Т ₂ = 300 ч, Т ₃ = 200 ч. Для устройства справедлив экспоненциальный закон распределения надежности. Определить среднее время до пер- вого отказа системы.

9. Система состоит из 20 одинаковых элементов, соединен- ных последовательно. Какова должна быть вероятность безот- казной работы каждого из элементов, если вероятность безот- казной работы системы равна 0,999?

10. Система состоит из трех блоков. Для каждого блока из-

1/ч,

1/ч. Определить вероятность безотказной работы

системы в течение 100 ч.

11. Было испытано 1000 однотипных клапанов для штанго- вого насоса. За 3000 ч отказало 80 клапанов, а за интервал вре- мени 3000–4000 ч отказало еще 50 клапанов. Определить веро- ятность безотказной работы и вероятность отказа клапанов в течение 3000 ч, а также интенсивность отказов в промежутке времени 3000–4000 ч.

12. В течение некоторого периода времени велись наблю- дения за работой насосной установки. За весь период наблюде- ний было зарегистрировано 15 отказов. До начала наблюдения насосная установка проработала 258 ч, а к концу наблюдений наработка насосной установки составила 1233 ч. Определить среднюю наработку до отказа.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: