|
|
Основы символического метода комплексных амплитуд.ГЛАВА 2. Линейные цепи при гармоническом воздействии.
Основы символического метода комплексных амплитуд. Гармонические колебания могут быть графически представлены в виде векторных диаграмм. Построение и расчеты на векторных диаграммах можно производить чисто графическим путем. Но они всегда оказываются трудоемкими и недостаточно точными. Имеется возможность вычисления, базирующиеся на векторных диаграммах, производить аналитически, не сопровождая их обязательными графическими построениями. Таким методом расчета электрических цепей переменного тока является символический метод или метод комплексных амплитуд. Символический метод является формальным переводом геометрических операций над векторами на язык алгебры комплексных чисел. Вектор на комплексной плоскости. Плоскость векторных диаграмм будем считать комплексной плоскостью. Как известно, всякая точка, в частности, конца нашего вектора U (рис.2.1) может быть математически условно представлена (символизирована) комплексным числом uk.
Рис.2.1 Комплексное число можно записать в трех формах. Первая форма записи – алгебраическая:
Вещественная часть комплексного числа представляет собой проекцию вектора на ось вещественных величин, т.е. Из вышеприведенных соотношений следует вторая форма - тригонометрическая форма записи комплексного числа
Наконец, принимая во внимание формулу Эйлера
получим третью показательную форму записи комплексного числа:
Модуль вектора находится как (2.4)
а аргумент α определяется одним их трех выражений:
В нашем случае аргумент комплексного числа uk является функцией времени:
Поэтому число, символизирующее вращающийся вектор, выразится так: в показательной форме записи
и тригонометрической форме записи
Величина uk является комплексным выражением мгновенного значения гармонического колебания. В дальнейшем для кратности будем называть ее текущим или мгновенным комплексом. Комплексное число
является постоянной величиной, не зависящей от времени; ее называют комплексной амплитудой. Комплексная амплитуда изображается неподвижным вектором длиной U, расположенным на комплексной плоскости под углом ψ к вещественной оси. Таким образом, модуль комплексной амплитуды равен амплитуде: В частном случае начальная фаза ψ может быть равна нулю, тогда комплексная амплитуда С учетом (2.9) выражение мгновенного комплекса можно представить в виде
Для того чтобы от мгновенного комплекса перейти к действительному мгновенному значению, надо спроектировать вращающийся вектор на вещественную ось; тогда
или иначе
Итак, для того чтобы от комплексной амплитуды (тока или напряжения) перейти к выражению мгновенного значения, надо комплексную амплитуду, записанную в показательной форме, умножить на оператор вращения еjωt и найти реальную часть этого выражения. Элементарные цепи переменного тока. Будем называть элементарными цепями переменного тока такие идеализированные цепи, схемы которых содержат, кроме источника гармонических колебаний, один из трех элементов: сопротивление r, емкость C, или индуктивность L. ГЛАВА 2. Линейные цепи при гармоническом воздействии.
Основы символического метода комплексных амплитуд. Гармонические колебания могут быть графически представлены в виде векторных диаграмм. Построение и расчеты на векторных диаграммах можно производить чисто графическим путем. Но они всегда оказываются трудоемкими и недостаточно точными. Имеется возможность вычисления, базирующиеся на векторных диаграммах, производить аналитически, не сопровождая их обязательными графическими построениями. Таким методом расчета электрических цепей переменного тока является символический метод или метод комплексных амплитуд. Символический метод является формальным переводом геометрических операций над векторами на язык алгебры комплексных чисел. Вектор на комплексной плоскости. Плоскость векторных диаграмм будем считать комплексной плоскостью. Как известно, всякая точка, в частности, конца нашего вектора U (рис.2.1) может быть математически условно представлена (символизирована) комплексным числом uk.
Рис.2.1 Комплексное число можно записать в трех формах. Первая форма записи – алгебраическая:
Вещественная часть комплексного числа представляет собой проекцию вектора на ось вещественных величин, т.е. Из вышеприведенных соотношений следует вторая форма - тригонометрическая форма записи комплексного числа
Наконец, принимая во внимание формулу Эйлера
получим третью показательную форму записи комплексного числа:
Модуль вектора находится как (2.4)
а аргумент α определяется одним их трех выражений:
В нашем случае аргумент комплексного числа uk является функцией времени:
Поэтому число, символизирующее вращающийся вектор, выразится так: в показательной форме записи
и тригонометрической форме записи
Величина uk является комплексным выражением мгновенного значения гармонического колебания. В дальнейшем для кратности будем называть ее текущим или мгновенным комплексом. Комплексное число
является постоянной величиной, не зависящей от времени; ее называют комплексной амплитудой. Комплексная амплитуда изображается неподвижным вектором длиной U, расположенным на комплексной плоскости под углом ψ к вещественной оси. Таким образом, модуль комплексной амплитуды равен амплитуде: В частном случае начальная фаза ψ может быть равна нулю, тогда комплексная амплитуда С учетом (2.9) выражение мгновенного комплекса можно представить в виде
Для того чтобы от мгновенного комплекса перейти к действительному мгновенному значению, надо спроектировать вращающийся вектор на вещественную ось; тогда
или иначе
Итак, для того чтобы от комплексной амплитуды (тока или напряжения) перейти к выражению мгновенного значения, надо комплексную амплитуду, записанную в показательной форме, умножить на оператор вращения еjωt и найти реальную часть этого выражения.   Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
где 
(2.1)
. Коэффициент при j мнимой части комплексного числа равен проекции вектора на ось мнимых величин, т.е. 
(2.2)
(2.3)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
, т.е. вектор направлен вдоль оси вещественных значений.
(2.10)
(2.11)
(2.12)