Линии эллиптического и гиперболического типов

Если I₂>О, то уравнение (1.43), согласно (1.41), можно записать так:

(1.44)

Так как

то а₁₁а₂₂>О, т.е. коэффициенты а₁₁ и а₂₂ оба отличны от нуля и

имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком I₁=a₁₁+а₂₂. Будем

в дальнейшем считать, что I₁>О, т.е. а₁₁>0 и а₂₂>0 (если это не так, то умножим обе части 1.44 на — 1). Заметим, что при такой операции (нормировании) знак I₂ не меняется.

Теорема 1.3. Пусть уравнение (1.27) КВП — эллиптического типа (I₂>О) нормировано так, что I₁>О. Тогда при I₃<0 — это уравнение эллипса. При I₃=0 — единственная точка (уравнение вырожденного эллипса). При I₃>0 — пустое множество точек (уравнение мнимого эллипса).

Доказательство. Так для уравнения (1.44), I₁=а"₁₁+а"₂₂,

I₂=а"₁₁а₂₂, то из условия I₁>О, I₂>0 следует, что а"₁₁>О,

а"₂₂>0. Поэтому уравнение (1.44) можно записать так:

, при I₃<0; (1.45)

, при I₃=0; (1.46)

, при I₃>0; (1.47)

Теорема доказана.

2 типа (I₂<0). Тогда при I₃ 0 — это уравнение гиперболы, а при I₃=0 пара пересекающихся прямых.

Доказательство. Так как для уравнения (1.44):

то из I₂<0 следует а"₁₁, и а"₂₂ имеют разные знаки. Пусть а"₁₁>0 что а"₂₂<О,. Тогда уравнение (1.44) можно записать так:

, при I₃<0; (1.48)

, при I₃=0; (1.49)

, при I₃>0; (1.50)

Уравнение (1.48) задает гиперболу, симметричную относительно

оси О"Y".

Уравнение (1.49) можно переписать так:

— пара пересекающихся прямых в системе координат 0"Х"Y".

Уравнение (1.50) — каноническое уравнение гиперболы.

Случай, когда а₁₁"<О, а₂₂">0 рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Линии параболического типа

Пусть КВП задана уравнением вида (1.27) и является кривой

параболического типа, т.е. I₂=О. Тогда I₁ О. Действительно,

если I₁=а₁₁+a₂₂=О, то I₁²=а₁₁²+а₂₂²+2a₁₁a₂₂=О, т.е.

(*)

Так как I₂=a₁₁a₂₂—а₁₂²=О, то из (*) следует, что —(a₁₁²/2)—(а₂₂²/2)=а₁₂².. Значит, a₁₁=a₂₂=a₁₂=0 — противоречие с тем, что уравнение (1.27) — уравнение кривой второго порядка.

Заметим, что если в уравнении (1.27) а₁₂ О, то путем поворота системы координат 0ХУ можно придти к уравнению вида (1.40)

Так как I₁=а'₁₁+а₂₂ О, I₂=a'₁₁а'₂₂=О, то один из коэффициентов a'₁₁ и а'₂₂ равен нулю, а другой не равен нулю.

Будем считать, что а'₁₁=О, а'₂₂ 0 (случай а'₁₁ О, a'₂₂=0

рассматривается аналогично). Тогда I₁=a'₂₂ и уравнение (1.40)

можно записать так:

(1.51)

Осуществим теперь параллельный перенос:

, т.е.

. (1.52)

Тогда x"=x' и у"=у'+а'₂₃/I₁. Значит, в новой системе координат

О"Х"У" уравнение КВП примет вид:

(1.53)

где

Теорема 1.5. Пусть уравнение (1.27) — есть уравнение парабо-

лического тип. Тогда при I₃ 0 это уравнение параболы, а при I₃=0 — это уравнение либо пары параллельных действительных прямых, либо пары мнимых параллельных прямых.

Доказательство. Итак, для уравнения (1.27)

(1.54)

Так как I₁ О, то при I₃ 0 следует, что а"₁₃ О, а при I₃=0 получаем, что а"₁₃=О. Тогда уравнение (1.53) можно записать так

при I₃ О, (1.55)

при I₃=О, (1.56)

Очевидно, что уравнение (1.55) — уравнение параболы. Чтобы

оно стало каноническим, достаточно осуществить параллельный перенос системы координат 0"Х"У":

y"=Y;

и обозначить —а"₁₃/I₁=р. Тогда в системе координат ОХУ получаем уравнение

У² = 2рХ.

Уравнение (1.56) можно записать так:

(1.57)

Тогда, если a"₃₃/I₁<0, то из (1.57) получаем

— пара параллельных прямых: и

Если же а"₃₃/I₁>0, то уравнению (1.57) не удовлетворяют

координаты ни одной точки плоскости, т.е. геометрический образ является мнимым. Поэтому и говорят, что в атом случае получаем пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.

ГЛАВА II

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 11. Основная теорема о поверхностях второго порядка

Определение 2.1. Поверхностью второго порядка (ПВП) называ-

ется множество всех точек пространства, которые в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению:

(2.1)

Аналогично, как и для случая кривых второго порядка, можно

показать, что величины

; ;

, ,

являются инвариантами уравнения (2.1).

Тогда в зависимости от значений инвариантов, имеет место

следующая теорема.

Теорема 2.1. Для любой поверхности второго порядка сущест-

вует прямоугольная система координат OXYZ, в которой уравнение(2.1) имеет один из следующих 17 видов:

1) эллипсоид:

2 ) мнимый эллипсоид:

+

3) однополостный гиперболоид:

4) двуполостный гиперболоид

5) конус:

6) мнимый конус

7) эллиптический параболоид: z=ах²+by² (а,Ь>О);

8) гиперболический параболоид: z=—ax²+by² {а,b>0);

9 ) эллиптический цилиндр:

10) мнимый эллиптический цилиндр:

11) гиперболический цилиндр:

12) параболический цилиндр: у²=2рх;

13) пара пересекающихся плоскостей:

14) пара мнимых пересекающихся плоскостей:

15 ) пара параллельных плоскостей: у²=а²(а 0)

16) пара мнимых параллельных плоскостей: у²+а²=О (а О);

17) пара совпадающих плоскостей: у²=О.

Уравнения 1)-17) называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка.

Выделим некоторые общие типы поверхностей второго порядка.

Цилиндрические поверхности

Определение 2.2. Цилиндрической поверхностью называется

Рис. 15. Рис. 16.

множество параллельных прямых (образующих), проходящих через

все точки некоторой линии, называемой направляющей (рис. 15).

Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в пря

моугольной системе координат OXYZ, что образующие этой поверх

ности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением

F(x,у) =0 (2.2)

(рис. 16).Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндри-

ческой поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M₁(х₁,у₁,О). Так как точки M и М₁ лежат на образующей, то х₁=х, у₁=у. А так как точка М₁ лежит на направляющей, то координаты точки М₁, а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=О.

Итак, уравнению (2.2) удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение F(x,у)=0

— искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая

является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=О, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

1) х²+y²=z² — прямой круговой цилиндр (рис. 17);

2)

- эллиптический цилиндр (рис. 18);

3)

- гиперболический цилиндр (рис. 19);

4) у²=2рх — параболический цилиндр (рис. 20).

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых

цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

Рис. 17. Рис. 18.

Рис. 19. Рис. 20.

Конические поверхности

Определение 2.3. Конической поверхностью называется множе-

ство прямых (образующих), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую) (рис.21).

Коническая ПВП — коническая поверхность с направляющей,

являющейся КВП.

Рис. 21. Рис. 22.

Выведем уравнение конической поверхности в случае, когда вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:

Возьмем на поверхности конуса произвольную точку М₁(х₁,у₁,z₁)

(рис. 22}. Тогда параметрическое уравнение прямой OM₁ имеют вид:

х=х₁t, y=y₁t, z=z₁t.

Прямая ОМ₁ пересекает направляющую в точке M(x,у,с), следова-

тельно, с=z₁t, т.е. t=с/z₁. Значит, х=х₁t=(х₁с)/z₁, у=(су₁)/z₁.

Точка M принадлежит эллипсу, поэтому

=1

Умножим обе части последнего выражения на z₁²/c², получаем

(*)

Так как соотношению (*) удовлетворяет любая точка поверхнос-

ти, то

(2.3)

— уравнение конической поверхности

Рис. 23. Рис. 24.

В частности, если а=b, то получаем уравнение прямого круго-

вого конуса

х²+у²—k²z²=0, (**)

где k²=а²/с².

Плоскость, параллельная плоскости ХОУ, пересекает конус (**)

по окружности. Например, плоскость z=1 пересекает конус (**) по окружности х²+y²=k². Если немного наклонить эту плоскость, то в сечении получается эллипс (рис. 23).

Плоскости, параллельные плоскостям OYZ и OXZ, пересекают

конус по гиперболам (рис.24). Например, в сечении конуса (**)

плоскостью х=b, получаем кривую

b²+y²-k²z²=0, т.е.

Если секущая плоскость параллельна образующей конуса, то в

сечении получается парабола (рис. 24). Поэтому эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

Поверхности вращения

Определение 2.4. Поверхность называется поверхностью враще-

ния, если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемой осью вращении.

Пусть на плоскости YOZ задана кривая линия l уравнением вида

F(y,z)=0 (*)

(рис. 25). Найдем уравнение по-

верхности вращения, образован-

ной вращением кривой l вокруг

оси OZ. Возьмем произволь-

ную точку М₁(x₁,у₁,z₁) на полу-

ченной поверхности и проведем

через нее плоскость, перпенди

кулярную оси OZ. Обозначим точ

ки Р(0,0,z₁) и М(0,у,z). Ради-

ус, полученной в сечении окруж-

ности равен: R=М₁Р=РМ, т.е.

Откуда

(**)

Так как точка М принадлежит кривой l, то, подставляя значение у из (**) в уравнение (*), получаем . Этому уравнению удовлетворяют все точки поверхности, значит,

(2.4)

— искомое уравнение поверхности вращения.

Заметим, что знак в (2.4) выбирается таким образом, чтобы в

соответствующих точках, он совпадал со знаком ординаты у кривой l.

Аналогичным образом можно получить, что уравнение

задает поверхность вращения, образованную вращением кривой

F(x,z)=0 вокруг оси OZ.

Эллипсоид

Рассмотрим поверхность, заданную каноническим уравнением:

(2.5)

Сразу же заметим, что |x| 0, |y| b, |z| с и эллипсоид симметричен относительно всех трех координатных плоскостей.

Для выяснения формы эллипсоида применим метод сечений, состоящий в исследовании линий пересечения рассматриваемой поверхности с плоскостями вида z=const, у=const, z=const. Пусть дана плоскость z=h. Тогда в сечении исследуемой поверхности этой плоскостью, получаем линию, заданную уравнением

или

— уравнение эллипса.

Если h=О, т е. z = 0, то

получаем эллипс с полуосями

а и b. Если h с, то эллипс

вырождается в точку. Пересе-

чение эллипсоида с плоскостя

ми х=h, у=h дает анало-

гичный результат. Таким об-

разом, получаем поверхность,

изображенную на рис. 26.

Рис.26

Очевидно, что если какие-нибудь две полуоси равны, например

а = b, то получим эллипсоид вращения, полученный от вращения

эллипса

вокруг оси OZ. В частности, если в уравнении (2.5) а = Ь = c, то получаем сферу.

Гиперболоид.

Гиперболоиды бывают двух типов. Однополостный гиперболоид

задается каноническим уравнением

(2.6)

Произведем сечение поверхности плоскостью z = h. Тогда

уравнение кривой в сечении примет вид

т.е.

- уравнение эллипса с полуосями и

Очевидно, что при h = 0 в

Плоскости XOY получаем эл-

липс, называемый горловым с

полуосями а и b. При увели-

чении |h| от 0 до + , полуо

си эллипса также будут уве-

личиватьсядо + . Учитывая,

что гиперболоид симметричен

относительно всех трех ко-

ординатных плоскостей, полу-

чим поверхность, изображен-

ную на рис. 27. Если а=b, то

поверхность представляет со-

бой гиперболоид вращения по-

лучаемый от вращения гипер-

болы

Рис.27

вокруг оси OZ. Если гиперболоид вращения

пересечь плоскостью у=b, то в сечении получается линия, задаваемая уравнением:

=0

— пара прямых (рис. 27).

Аналогичным образом, если пересечь поверхность плоскостью

x=b, то получим пару прямых y/b-z/c=0 и y/b+z/c=0. Можно показать, что в силу осевой симметрии, аналогичная картина получается при пересечении с любой вертикальной плоскостью, касающейся горловой окружности. Таким образом, однополостный гиперболоид вращения представляет собой поверхность, образованную прямыми и, более того, образуется вращением любой из его прямолинейных образующих вокруг оси OZ.

Так как однополостный гиперболоид общего вида (2.6) получается из гиперболоида вращения путем равномерного сжатия (линейного преобразования координат) и при этом прямые переходят в прямые, то он также заполнен двумя семействами прямых линий. Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид:

Сечение плоскостью z=h задает эллипс

, т.е.

Отсюда следует, что z=h т.е. при |h|<с сечения нет, а при

h=с, x=у=О. При увеличении |h| от с до + , полуоси эллипса также увеличиваются от 0 до + .

Если у = h, то

— гипербола

Если х=h,то

-гипербола

Учитывая, что двупо-

лостный гиперболоид сим-

метричен относительно всех

трех координатных плос-

костей, получаем следую-

щее изображение поверхнос-

ти (рис.28).В случае, когда

а=b получается двуполост-

ный гиперболоид вращенил

поверхность, полученная от

вращения гиперболы

вокруг оси OZ.

Рис.28

Параболоид

Параболоиды также бывают двух типов.

Эллиптический параболоид задается каноническим уравнением

z=ах²+by² (а,b>0).

При пересечении плоскостью z=h, получаем ах²+bу²=h. Поэтому, если h<0, то сечения нет, если h=0, то получаем точку

x=у=0, если h>0, то получаем эллипс

Если h увеличивается от 0 до + , то полуоси эллипса также увеличиваются до + .

Рис. 29. Рис. 30

Если х=h, то получаем z=ah²+by² — уравнение параболы.

Если y=h, то в сечении также получается парабола. Так как

параболоид имеет две плоскости симметрии (x=0, у=0), то

получаем поверхность, изображенную на рис. 29. В частности, если а=b, то получаем параболоид вращения — поверхность, получаемую от вращения параболы

воруг оси OZ

Гиперболический параболоид имеет каноническое уравнение

z=-ax²+by² (a,b>0)

Пересечение с плоскостью x=0 дает параболу z=by², обращенную ветвями вверх. А пересечение с плоскостью у=h дает параболу

z=—ах²+bh², обращенную ветвями вниз. Пересечение с плоскостью

z=h дает уравнение h=—ax²+by². Если h>0, то

— уравнение гиперболы с действительной осью OY. Если же h<О,

то

— уравнение гиперболы с действительной осью ОХ. Таким образом

получается поверхность, имеющая форму седла (рис. 30). Отметим, что как и для случая однополостного гиперболоида, гиперболический параболоид целиком заполнен двумя семействами прямых линий. В частности, если z=0, то в сечении этой плоскостью получаем by²-ах²=О, т.е. by—ax=0 и by+ax=0 — пара прямых.

Определение 2.5. Поверхность, целиком состоящая из прямоли-

нейных образующих, называется линейчатой.

Таким образом линейчатыми поверхностями являются конус, ци-

линдр, однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид.

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Парабола..........................................3

2. Эллипс............................................7

3. Гипербола.........................................12

4. директрисы эллипса и гиперболы....................16

5. Фокальный параметр эллипса и гиперболы............18

6. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы...19

7. Классификация кривых второго порядка..............20

8. Свойства определителей второго и третьего порядков25

9. Общая теория кривых второго порядка...............29

10. Инварианты кривой второго порядка................32

ГЛАВА II. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

11. Основная теорема о поверхностях второго порядка 41

12. цилиндрические поверхности..................... 43

13. Конические поверхности......................... 45

14. Поверхности вращения........................... 48

15. Эллипсоид............,........,.........,.... 49

16. Гиперболоид.........................,....... 50

17. Параболоид....,................................ 53

Учебное издание

Ходалевич Александр Дмитриевич, Селькин Вадим Михаилович

Аниськов Валерий Валерьевич

Краткий курс лекций по геометрии и алгебре (специальность

"Прикладная математика" "Аналитическая геометрия".

Ответственный за выпуск В.В.Аниськов

Подписано в печать 03.02.97. Формат 60/84 1/16. Бумага писчая № 1

Печать офсетная. Усл. П. Л. 3,26. Уч.-изд.л. 2,7 Тираж 50 экз.

Отпечатано на ротапринтере ГГУ им. Ф. Скорины г.Гомель

Ул.Советская, 104

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: