Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Векторная алгебра и аналитическая геометрия





Математика

 

 

Программа и контрольные задания

для студентов I и II курсов заочной формы обучения

всех специальностей

 

Екатеринбург

 

 

УДК 51.(075.8)

 

 

Составители В.Б.Грахов, Р.М.Минькова, В.Б.Соловьянов

Научный редактор доц., канд. техн. наук В.А.Нырко

Математика: программа и контрольные задания / В.Б.Грахов, М.Минькова, В.Б.Соловьянов. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 40 с.

 

Приведённый в работе материал и задания к нему распределены по семестрам, в соответствии со специальностями и учебными графиками, утверждёнными в УГТУ-УПИ. Предназначена для студентов I и II курсов заочной формы обучения всех специальностей.

 

Библиогр.: 21 назв. Табл. 6.

 

 

Подготовлено кафедрой «Вычислительные методы и уравнения математической физики».

 

© ГОУ ВПО «Уральский государственный

технический университет-УПИ», 2005

 

Введение

В настоящих методических указаниях приведена программа и контрольные задания по математике для студентов заочной формы обучения УГТУ-УПИ. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить в каждом семестре 2 контрольные работы. Номер варианта определяется по последней цифре номера студенческого билета или зачётной книжки. Так, например, если этот номер заканчивается цифрой 5, то в контрольной работе № 1 нужно решить задачи 5, 15, 25, 35.

При выполнении контрольных работ нужно придерживаться следующих правил.

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради,

оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради необходимо указать: а) свою фамилию и инициалы;

б) специальность обучения; в) номер зачётной книжки; г) название дисциплины; д) номер контрольной работы.



3. В контрольную работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, и в строгом соответствии с номером своего варианта.

4. Решения задач в каждой контрольной работе следует располагать обязательно в порядке номеров, указанных в задании. Перед решением каждой задачи необходимо выписать полностью её условие.

5. Решения задач должны содержать подробные пояснения и необходимые чертежи.

6. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом замечания и недочёты, а также выполнить все его рекомендации. Все исправления нужно записывать в этой же тетради после всех решённых задач контрольной работы. Вносить исправления в тексты решения задач после рецензирования запрещается. Незачтённую контрольную работу с последующими соответствующими исправлениями следует направить на повторную рецензию.

7. Контрольные работы в каждом семестре должны быть представлены для рецензирования не позднее чем за2 недели до начала экзаменационной сессии. Рецензирование контрольных работ, присланных позже указанного срока, переносится на начало следующего семестра.

Прорецензированные и зачтённые контрольные работы студент должен предъявлять экзаменатору перед сдачей зачёта или экзамена.

Во время сдачи зачёта или экзамена студент должен показать понимание основных теоретических и практических вопросов программы и умение применять их в решении задач и примеров. Определения, теоремы и правила должны формулироваться точно и с пониманием существа вопросов.

Во время экзаменационных сессий для студентов-заочников организуются обзорные лекции и практические занятия по программам предыдущего семестра, а также установочные лекции по программам следующего семестра.

В межсессионный период по субботам проводятся просмотры лекций по телевидению, а каждую чётную субботу – консультации, приём зачётов и экзаменов. Информация о датах и времени их проведения вывешивается на кафедральном стенде после окончания экзаменационной сессии.

 

I семестр

Программа

 

II семестр

Программа

Интегральное исчисление функции одной переменной

 

1. Первообразная функции и её свойства. Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица основных интегралов.

2. Основные методы интегрирования: метод подведения под знак дифференциала, метод замены переменной, метод интегрирования по частям.

3. Интегрирование некоторых классов функций: тригонометрических функций; функций, содержащих квадратный трехчлен; дробно-рациональных функций.

4. Понятие определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Приложения определенных интегралов: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги кривой, объема тела вращения.

5. Несобственные интегралы первого и второго рода, их вычисление.

 

Дифференциальные уравнения

 

1. Понятие дифференциального уравнения и его решения. Уравнение первого порядка вида : постановка задачи Коши, понятие общего и частного решений (интегралов).

2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных.

3. Дифференциальные уравнения высших порядков: постановка задачи Коши, понятие общего и частного решений (интегралов). Методы понижения порядка уравнений вида , , .

4. Однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ): свойства решений, структура общего решения. ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: его характеристическое уравнение, вид общего решения в случае, когда корни характеристического уравнения а) действительные различные, б) действительные равные, в) комплексные. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ): структура общего решения, теорема о суперпозиции двух решений. Отыскание решений НЛДУ с постоянными коэффициентами с правой частью вида , (метод неопределенных коэффициентов).

 

III семестр

Для студентов всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных

и физической культуры

 

Программа

Теория векторного поля

1. Понятие векторного поля. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. Вычисление потока жидкости. Поток произвольного векторного поля и его вычисление. Формула Остроградского для вычисления потока поля через замкнутую поверхность. Понятие дивергенции, её инвариантное определение и физический смысл.

2. Вычисление работы силового поля. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля. Векторная и координатная форма записи линейного интеграла поля и его вычисление. Формула Грина и формула Стокса для вычисления циркуляции. Понятие ротора и его физический смысл в поле линейных скоростей вращающегося тела.

3. Условия независимости линейного интеграла поля от формы пути интегрирования. Потенциальное поле и его свойства. Отыскание потенциала.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных и физической культуры, в третьем семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены в табл. 3.

Таблица 3

 

  Номер варианта     Контрольная работа № 5 Номера задач   Контрольная работа № 6 Номера задач
151 161 171 181 191 201 211 221 231
152 162 172 182 192 202 212 222 232
153 163 173 183 193 203 213 223 233
154 164 174 184 194 204 214 224 234
155 165 175 185 195 205 215 225 235
156 166 176 186 196 206 216 226 236
157 167 177 187 197 207 217 227 237
158 168 178 188 198 208 218 228 238
159 169 179 189 199 209 219 229 239
160 170 180 190 200 210 220 230 240

III семестр

Для студентов специальностей экономических, гуманитарных

и физической культуры

 

Программа

Дифференциальное и интегральное исчисление
функции нескольких переменных

 

1. Определение и отыскание частных производных. Определение дифференцируемой функции. Дифференциалы первого и второго порядков. Понятие сложной функции и ее дифференцирование. Неявные функции и их дифференцирование. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, их уравнения.

2. Безусловный экстремум функции. Глобальный экстремум функции в замкнутой ограниченной области. Условный экстремум функции.

3. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная скалярного поля по направлению, формула для её вычисления. Градиент скалярного поля и его свойства.

4. Задача отыскания массы плоской фигуры. Понятие двойного интеграла, его свойства и применения. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат.

 

IV семестр

Для студентов всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных

и физической культуры

 

Программа

Элементы линейной алгебры

 

1. Понятие матрицы. Частные виды матрицы. Понятие определителя квадратной матрицы. Свойства определителей.

2. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Понятие обратной матрицы, условие её существования. Решение матричных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.

3. Система линейных уравнений: понятие её решения, матричная форма записи. Решение линейной системы с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера. Решение линейной системы методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений и ее решение. Применение метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

4. Понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (векторов). Понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты элемента (вектора) в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому; связь координат вектора в различных базисах.

5. Понятие линейного оператора (отображения). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Изменение матрицы оператора при замене базиса.

6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и способ отыскания.

7. Понятие квадратичной формы. Приведение её к каноническому виду.

8. Системы дифференциальных уравнений, их решение методом исключения и методом собственных векторов. Понятие устойчивости решения системы. Исследование устойчивости с помощью собственных значений.

 

И операционное исчисление

Для студентов радиотехнических и электротехнических специальностей

1. Понятие функции комплексной переменной. Определение функций , , ; связь между этими функциями. Свойства функций , , . Гиперболические функции и их свойства. Логарифмическая функция и её свойства.

2. Предел, непрерывность, дифференцируемость функции комплексной переменной. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши-Римана). Производные основных элементарных функций. Аналитические функции и их свойства.

3. Интеграл от функции комплексной переменной, его свойства. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.

4.Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функции и их классификация. Ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Понятие вычета функции в особой точке и его вычисление. Применение вычетов к вычислению интеграла по замкнутому контуру.

5. Преобразование Лапласа. Основные свойства оригиналов и изображений. Изображение основных элементарных функций. Восстановление оригинала по его изображению. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных и физической культуры, в четвёртом семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены в табл. 5.

Таблица 5

 

Номер варианта Контрольная работа № 7 Номера задач Контрольная работа № 8 Номера задач
281 291 301 311 321 331 241 251 261 271
282 292 302 312 322 332 242 252 262 272
283 293 303 313 323 333 243 253 263 273
284 294 304 314 324 334 244 254 264 274
285 295 305 315 325 335 245 255 265 275
286 296 306 316 326 336 246 256 266 276
287 297 307 317 327 337 247 257 267 277
288 298 308 318 328 338 248 258 268 278
289 299 309 319 329 339 249 259 269 279
290 300 310 320 330 340 250 260 270 280

 

*Номера задач в контрольной № 7 только для студентов радиотехнических

и электротехнических специальностей.

IV семестр

Для студентов специальностей экономических, гуманитарных

и физической культуры

Элементы линейной алгебры

 

1. Понятие матрицы. Частные виды матрицы. Понятие определителя квадратной матрицы. Свойства определителей.

2. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Понятие обратной матрицы, условие её существования. Решение матричных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.

3. Система линейных уравнений: понятие её решения, матричная форма записи. Решение линейной системы с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера. Решение линейной системы методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений и ее решение. Применение метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

4. Понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (векторов). Понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты элемента (вектора) в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому; связь координат вектора в различных базисах.

5. Понятие линейного оператора (отображения). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Изменение матрицы оператора при замене базиса.

6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и способ отыскания.

7. Понятие квадратичной формы. Приведение её к каноническому виду.

 

Линейное программирование

1. Экономико-математические модели. Задачи о рентабельности производства, о смесях, о раскрое материалов, о размещении заказа, об использовании мощностей. Транспортная задача.

2. Общая задача линейного программирования (ЗЛП): основные понятия. Различные формы записи ЗЛП. Приведение ЗЛП к каноническому виду.

3. Выпуклые множества точек: основные понятия. Выпуклые множества в мерном пространстве. Геометрическая интерпретация ЗЛП. Свойства решений ЗЛП.

4. Графическое решение ЗЛП: постановка и алгоритм графического метода решения ЗЛП.

5. Системы линейных уравнений: элементарные преобразования системы, метод Жордана-Гаусса и его алгоритм. Неотрицательное базисное решение. Операция однократного замещения.

6. Симплексный метод решения ЗЛП: геометрическая интерпретация, симплексные таблицы и их заполнение. Теоретическое обоснование симплексного метода: теоремы, лежащие в основе этого метода. Алгоритм симплексного метода. Метод искусственного базиса и особенности его алгоритма.

7. Теория двойственности. Задача использования сырья. Виды двойственных задач. Правила составления двойственных задач. Теоремы двойственности. Связь между решениями взаимно-двойственных задач.

8. Транспортная задача. Общая постановка задачи. Закрытая и открытая задачи. Обоснование решения транспортной задачи. Нахождения первоначального опорного плана: метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости. Метод потенциалов. Критерий оптимальности решения транспортной задачи. Алгоритм метода потенциалов.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам специальностей экономических, гуманитарных и физической культуры, в четвёртом семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены

в табл. 6.

 

 

Таблица 6

 

Номер варианта   Контрольная работа № 7 Номера задач Контрольная работа № 8 Номера задач
281 291 301 341 351 361 371
282 292 302 342 352 362 372
283 293 303 343 353 363 373
284 294 304 344 354 364 374
285 295 305 345 355 365 375
286 296 306 346 356 366 376
287 297 307 347 357 367 377
288 298 308 348 358 368 378
289 299 309 349 359 369 379
290 300 310 350 360 370 380

Контрольные задания

1–10. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А1А2; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А1А2А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объём пирамиды.

1. А1(7, 7, 6), А2(5, 10, 6), А3(5, 7, 12), А4(7, 10, 4).

2. А1(6, 1, 1), А2(4, 6, 6), А3(4, 2, 0), А4(1, 2, 6).

3. А1(8, 7, 5), А2(10, 6, 6), А3(5, 7, 9), А4(8, 11, 8).

4. А1(7, 7, 3), А2(6, 5, 8), А3(3, 5, 8), А4(8, 4, 1).

5. А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0).

6. А1(4, 4, 10), А2(4, 10, 2), А3(2, 8, 4), А4(9, 8, 9).

7. А1(4, 6, 5), А2(6, 9, 4), А3(2, 10, 10), А4(7, 5, 9).

8. А1(3, 5, 4), А2(8, 7, 4), А3(5, 10, 4), А4(4, 7, 8).

9. А1(10, 6, 6), А2(-2, 8, 2), А3(6, 8, 9), А4(7, 10, 3).

10. А1(2, 9, 3), А2(6, 3, 7), А3(6, 8, 5), А4(5, 11, 10).

11–20. Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить линии на чертеже.

11. а) , б) .

12. а) , б) .

13. а) , б) .

14. а) , б) .

15. а) , б) .

16. а) , б) .

17. а) , б) .

18. а) , б) .

19. а) , б) .

20. а) , б) .

21–30. 1) Записать число в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число в тригонометрической и показательной формах; 4) вычислить ; 5) найти все корни уравнения .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31–40. Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции.

31. а) , б) . 32. а) , б) .

33. а) , б) . 34. а) , б) .

35. а) , б) . 36.а) ,б) .

37. а) , б) . 38. а) , б) .

39. а) , б) . 40. а) , б) .

41–50. Дано уравнение кривой, точка и уравнение прямой . Требуется: 1) составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой ; 2) найти точку на кривой , в которой касательная параллельна прямой .

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51–60. Найти производные данных функций.

51. а) , б)

52. а) , б) .

53. а) , б) .

54. а) , б) .

55. а) , б) .

56. а) , б) .

57. а) , б) .

58. а) , б) .

59. а) , б) .

60. а) , б) .

61–70. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

61. а) б)

62. а) б)

63. а) б)

64. а) б)

65. а) б)

66. а) б)

67. а) б)

68. а) б)

69. а) б)

70. а) б)

71–80. Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций.

71. а) , б) . 72. а) , б) .

73. а) , б) . 74. а) , б) .

75. а) , б) . 76. а) , б) .

77. а) , б) . 78. а) , б) .

79. а) , б) . 80. а) , б) .

81–90. Найти неопределённые интегралы.

81. а) , б) , в) , г) .

82. а) , б) , в) , г) .

83. а) , б) , в) , г) .

84. а) , б) , в) , г) .

85. а) , б) , в) , г) .

86. а) , б) , в) , г) .

87. а) , б) , в) , г) .

88. а) , б) , в) , г) .

89. а) , б) , в) , г) .

90. а) , б) , в) , г) .

91–100. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

91. . 92. . 93. . 94. . 95. . 96. . 97. . 98. . 99. . 100. .

101–110. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

101. а) , б) . 102. а) , б) .

103. а) , б) . 104. а) , б) .

105. а) , б) . 106. а) , б) .

107. а) , б) . 108. а) , б) .

109. а) , б) . 110. а) , б) .

111–120. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

111. . 112. .

113. . 114. .

115. . 116. .

117. . 118. .

119. . 120. .

121–130. Исследовать сходимость числового ряда.

121. . 122. . 123. . 124. .

125. . 126. . 127. . 128. .

129. . 130. .

131–140. Найти область сходимости степенного ряда.

131. . 132. . 133. . 134. .

135. . 136. . 137. . 138. .

139. . 140.

141–150. Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

141. . 142. . 143. . 144. .

145. . 146. . 147. . 148. .

149. . 150. .

151–160. Найти точки экстремума функции .

151. . 152. .

153. . 154. .

155. . 156. .

157. . 158. .

159. . 160. .

161–170. Найти наименьшее m и наибольшее M значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертёж

области D.

161. , .

162. , .

163. , .









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.