|
Повторні незалежні випробування.Стр 1 из 2Следующая ⇒ Глава IV Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі
У цій главі розлядаються задачі, пов’язані з незалежними випробуваннями. Означення. Ряд випробувань називається незалежним по віднощенню до події Приклади незалежних повторних випробувань. 1. Випадання герба при підкиданні монети не залежить від результатів раніше проведених випробувань. 2. Багатократне виймання із урни однієї кульки за умови, що після фіксування її кольору чи номера, кулька повертається знову в урну. 3. Лотерейне визначення виграшного номера карток спортлото не залежить від проведених до цього розіграшів. Перейдемо до вивчення випробувань з двома можливими наслідками: подія Нехай ймовірність появи події Ставиться така задача. Задача. Проводиться Шукана ймовірність позначається
де
Нагадаємо при цьому, що за означенням
Для пояснення справедливості формули Бернуллі розглянемо подію За теоремою множення ймовірність цієї події дорівнює
Але можуть бути і інші сполуки, в яких подія Послідовність випробувань з двома наслідками вперше була вивчена швейцарським математиком Я. Бернуллі (1654-1705). Вона отримала назву схеми Бернуллі і явилась фундаментальною при формуванні основних понять теорії ймовірностей. Тепер для більшої наочності отримання формули Бернуллі розглянемо такий приклад. Приклад. У кожному із білетів для заліку міститься по 4 задачі. Студент наугад вибирає один з білетів. Для отримання заліку необхідно вірно розв’язати не менше 3-х задач. Знайти ймовірність отримання заліку, якщо ймовірність вірного розв’язання однієї задачі дорівнює Розв’язання. Шукану ймовірність
Однак, для більш детального аналізу прикладу розглянемо повну групу подій, яка слкадається із Таблиця 1
Оскільки
то в останньому рядку таблиці 1 записані ймовірності, які відповідають формулі Бернуллі, тобто
Очевидно, що подія, яка означає появу події
Ця рівність узагальнюється для довільних натуральних
Оскільки
Кожний член біноміального розкладу збігається з відповідною ймовірністю останнього рядка таблиці 1. Тому перший і останній рядки табл. 1 є розподілом ймовірностей відповідно до значень випадкової величини Відповідно до умови прикладу підставимо
Отримані результати зведемо у таблицю 2 розподілу ймовірностей. Таблиця 2
Даним таблиці 2 можна для наочності дати геометричне зображення, побудувати ламану лінію з вершинами у точках
Рис.1 Отже, як із таблиці 2, так і з рисунка 1 стає більш наочно зрозумілим, що ймовірність розв’язати не менше 3 задач із 4-х, які запропоновано у білеті, дорівнює
Крім того, із рис. 1 видно, що найбільш ймовірним числом розв’язаних задач можуть бути дві, або три задачі.
Задачі на формулу Бернуллі 1. Монета підкидається 5 разів. Обчислити ймовірності всіх можливих появ герба; 2) побудувати таблицю розподілу ймовірностей; 3) побудувати многокутник розподілу. 2. Гральний кубик підкидають 5 разів. Знайти ймовірність того, що двічі з’явиться кількість очок, кратна трьом. 3. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,3. Знайти ймовірність 4 влучень після шести пострілів. 4. Пристрій складається з 5 елементів. За фіксований час кожний з елементів може вийти з ладу з ймовірністю 5. В середньому 25% пакетів акцій на аукціонах продаються за початково заявленою ціною. Знайти ймовірність того, що із 5 пакетів акцій в результаті торгів за початково заявленою ціною: 1) не буде продано 3 пакета; 2) буде продано менше 3 пакетів; 3) буде продано не більш 3; 4) хоча б 3 пакети. Відповіді. 1. Твірна функція Почнемо з такої задачі. Задача. Підкидається 3 монети, причому перша і третя із зміщеними центрами мас або деформовані, друга – симетрична. Статистичним способом установлено, що ймовірності появи герба для І-ої монети Ця задача буде розв’язана двома способами. І спосіб розв’язання За допомогою формули Бернуллі. Тут маємо справу з трьома дослідами, кожний з яких є незалежним рядом випробувань відносно події За допомогою формули Бернуллі побудуємо закони розподілу ймовірностей для кожної з 3-х монет з відповідним числом підкидань. Так, для першої монети маємо: число підкидань
Отримані дані записуємо у таблицю 1. Таблиця 1.
Аналогічно для ІІ-ї монети: Таблиця 2.
Для ІІІ-ї монети: Таблиця 3.
Роглянемо можливі випадки появи герба 4 рази з відповідним розподілом для кожної з монет. І випадок: ІІ випадок: ІІІ випадок: ІV випадок: V випадок: Ймовірність кожного з випадків – це одночасна поява гербів при відповідних підкиданнях трьох монет, тобто це добуток відповідних ймовірностей з 1-ї, 2-ї і 3-ї таблиць. Так, для першого випадку: для другого: для третього: для четвертого: для п’ятого: Перелічені випадки несумісні, тому за теоремою додавання знаходимо ймовірність появи 4-х гербів при шести підкидання трьох монет:
Цю задачу можна розв’язати ІІ-м способом, якщо увести поняття так званої твірної функції. Отже, нехай проводяться Означення. Твірною називається функція
і має ту властивість, що після перемноження біномів і зведення подібних членів, коефіцієнт при
Приклад. Пристрій складається із двох незалежних працюючих елементів, ймовірність безвідмовної роботи для першого елемента дорівнює Розв’язання. Відповідно до умови задачі
Отже, а) ІІ спосіб розв’язання задачі. Відповідно до умови задачі запишемо твірну функцію у вигляді добутку біномів за формулою (1). Всіх кидань монет 6. І-а монета підкидається 2 рази, цьому відповідають два біноми
Для трьох підкидань другої монети ставиться у відповідність добуток
Для третьої (одне підкидання) - Отже,
Розкриваючи дужки, випишемо доданок, що містить
Таким чином,
Задача. Чотири стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу по спільній мішені. Ймовірності влучення у мішень відповідно дорівнюють Відповідь:
Інтегральна формула Лапласа Якщо ймовірність
де Якщо скористатись відомим позначенням
де
Отже, інтегральна формула Лапласа запишеться у вигляді
Функція Коротко пояснимо ідею отримання формули (1). Якщо позначити через
Введемо такі позначення:
тому суму доданків у (3) можна представити, як інтегральну суму, а останню замінити визначеним інегралом, тобто Якщо
Зауваження. Шукану ймовірність Приклад 1. Ймовірність того, що деталь пройшла перевірку технічного контролю дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що серед 100 випадково відібраних деталей перевірених буде 70-90 деталей. Розв’язання. За умовою задачі маємо Знаходимо
тоді
За таблицею 2 (див. Додаток)
Приклад 2. Схожість насіння пшениці дорівнює 95%. Знайти ймовірністьтого, що з 2000 посіяних насінин не зійде 80-120 насінин. Розв’язання. Ймовірність того, що насіння не зійде, дорівнює Знаходимо Оскільки
Формула Пуассона Якщо число випробувань
Приклад 1. Завод відправив на склади споживачам 5000 доброякісних виробів, ймовірність того, що при транспортуванні вироби можуть зіпсуватися дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність, що при транспортуванні зіпсуються три вироби. Розв’язання. За умовою задачі
Приклад 2. Прядильниця обслуговує 1000 веретен. Ймовірність розриву нитки на одному веретені за 1 хвилину дорівнює 0,003. Знайти ймовірності: 1) за хвилину відбудеться не більше 4-х розривів; 2) за хвилину відбудеться не менше 5 розривів. Розв’язання. За умовою задачі
Застосуємо до кожного з доданків формулу (1)
2) Оскільки для ймовірностей маємо
то
Задачі на формулу Пуассона
1. Якщо в середньому лівші складають 1%, то чому дорівнює ймовірність, що серед 200 людей: а) виявиться четверо лівшів: б) знайдеться хоча-б четверо лівшів. 2. Комутатор установи обслуговує 100 абонентів. Імовірність того, що протягом однієї хвилини абонент подзвонить на комутатор, дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що протягом однієї хвилини подзвонять: а) рівно 3 абоненти; б) менше від трьох абонентів; в) більше від 3-х абонентів; г) хоча-б один абонент. 3. Радіотелеграфна станція приймає цифровий текст. Внаслідок перешкод ймовірність помилкового прийому довільної цифри не змінюється протягом всього прийому і дорівнює 0,01. Вважаючи прийом окремих цифр незалежними подіями, знайти ймовірність того, що в тексті, який містить 800 цифр, буде 5 помилок. 4. В автобусному парку 70 автобусів. Відомо, що ймовірність виходу з ладу двигуна протягом дня дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що у визначений день виявляться несправними двигуни в чотирьох автобусах. Відповіді. 1. а)
Задачі до глави IV 1. Схожість насіння жита дорівнює 90%. Чому дорівнює ймовірність, що із посіяних 7 зерен зійде 5? 2. На даному підприємстві продукція вищої якості складає 30%. Магазин придбав 6 виробів. Яка ймовірність того, що 4 з цих виробів мають вищу якість? 3. Монета підкидається 6 разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде не більше 3 раз. 4. Скільки раз потрібно підкинути гральний кубик, щоб найімовірніше число випадання двійки дорівнювало 32? 5. Ймовірність відмови кожного з приладів дорівнює 0,4. Що ймовірніше очікувати: відмову двох приладів при 4 випрбуваннях чи відмову 3 приладів у 6 випрбуваннях. 6. Оптова база постачає товари 10 магазинам, від кожного з яких може поступити заявка на поточний день з ймовірністю 0,4, незалежно від заявок інших магазинів. Знайти: а) найімовірніше число заявок на поточний день; б) ймовірність виконання цього числа заявок. 7. Гральний кубик підкидається 800 раз. Яка ймовірність того, що число очок, кратне 3, випало 267 раз? 8. Ймовірність того, що покупцеві потрібне взуття 41-го розміру, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність, що серед 100 покупців взуття 41-го розміру затребують: а) 25 покупців; б) не більше 30 покупців; в) не менше 35 покупців. 9. Ймовірність того, що на сторінці книги можуть бути описки, дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що книга з 500 сторінок буде мати: а) 5 сторінок з описками; б) від 3 до 5 сторінок з описками. 10. В середньому шоста частина автомобілів, які поступають на продаж, некомплектні. Знайти ймовірність того, що серед шести автомобілів мають некомплектність: а) три автомобілі; б) менше трьох. 11. В середньому 10% договорів страхова компанія виплачує страховую суму. Знайти ймовірність того, що із десяти договорів з появою страхового випадку буде пов’язано з виплатою страхової суми: а) чотири договори; б) менше чотирьох договорів. 12. Припускається, що 20% нових малих підприємств, які відкриваються, протягом року припиняють свою діяльність. Яка ймовірність того, що із семи малих підприємств не більше трьох припинять свою діяльність протягом року? 13. Десята частина банків має статутний фонд 20 млн. грн. Знайти ймовірність того, що серед 500 банків статутний фонд більше 20 млн.грн. мають: а) менше 100; б) від 100 до 200. Відповіді: 1. 0,124. 2. 0,06. 3. 21/32. 4. 191 £ n £ 197. 5. Р4(2)>Р6(3). 6. а) 4; б) 0,25. 7. 0,03. 8. а) 0,00457; б) 0,994; в) 0,0009. 9. а) 0,036; б) 0,08. 10. а) 0,053. 11. а) 0,0112; б) 0,9872. 12. 0,9642.
Глава IV Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі
У цій главі розлядаються задачі, пов’язані з незалежними випробуваннями. Означення. Ряд випробувань називається незалежним по віднощенню до події Приклади незалежних повторних випробувань. 1. Випадання герба при підкиданні монети не залежить від результатів раніше проведених випробувань. 2. Багатократне виймання із урни однієї кульки за умови, що після фіксування її кольору чи номера, кулька повертається знову в урну. 3. Лотерейне визначення виграшного номера карток спортлото не залежить від проведених до цього розіграшів. Перейдемо до вивчення випробувань з двома можливими наслідками: подія Нехай ймовірність появи події Ставиться така задача. Задача. Проводиться Шукана ймовірність позначається
де
Нагадаємо при цьому, що за означенням
Для пояснення справедливості формули Бернуллі розглянемо подію За теоремою множення ймовірність цієї події дорівнює
Але можуть бути і інші сполуки, в яких подія Послідовність випробувань з двома наслідками вперше була вивчена швейцарським математиком Я. Бернуллі (1654-1705). Вона отримала назву схеми Бернуллі і явилась фундаментальною при формуванні основних понять теорії ймовірностей. Тепер для більшої наочності отримання формули Бернуллі розглянемо такий приклад. Приклад. У кожному із білетів для заліку міститься по 4 задачі. Студент наугад вибирає один з білетів. Для отримання заліку необхідно вірно розв’язати не менше 3-х задач. Знайти ймовірність отримання заліку, якщо ймовірність вірного розв’язання однієї задачі дорівнює Розв’язання. Шукану ймовірність
Однак, для більш детального аналізу прикладу розглянемо повну групу подій, яка слкадається із Таблиця 1
Оскільки
то в останньому рядку таблиці 1 записані ймовірності, які відповідають формулі Бернуллі, тобто
Очевидно, що подія, яка означає появу події
Ця рівність узагальнюється для довільних натуральних
![]() ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|