Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Закон розподілу дискретної випадкової величини





Нехай дискретна випадкова величина Х може приймати n значень: х1, х2,..., хn. Будемо вважати, що всі вони різні (в інакшому випадку їх потрібно об’єднати). Крім того, будемо вважати, що вони розміщені у зростаючому порядку.

Для повної характеристики дискретної випадкової величини, крім переліку всіх її значень, повинні задаватись ймовірності , з якими випадкова величина приймає кожне з них, тобто .

Означення.Функція р(х), яка кожному значенню випадкової величини хі ставить у відповідність величину ймовірності рі, називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Її зручно задавати у вигляді таблиці такого вигляду:

Таблиця 1

Значення Х ... ...
Ймовірності ... ...

 

Це – таблиця розподілу дискретної випадкової величини, її також називають законом розподілу дискретної випадкової величини.

Події х1, х2, ..., хn є несумісними і єдино можливими, тобто вони утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

(1)

Ймовірності обчислюються або за даним значенням випадкової величини , або даються за відомим законом розподілу . Нагадаємо, що один з прикладів закону розподілу ми розглядали раніше (див.4.1,табл.2 і рис.1).

Приклад.Ймовірність здати іспит на “5” для кожного із шести студентів однакова і дорівнює 0,4. Випадковою величиною Х є число студентів, які здали іспит на “5”. Скласти закон розподілу числа студентів, які здали екзамен на “5”.

Розв’язання. Випадкова величина Х може приймати значення: 0,1,2,3,4,5,6. Відповідні ймовірності у даному випадку можна знайти з формулою Бернуллі (1)(див.4.1) при n=6; p=0,4; q=0,6 і m=0,1,2,3,4,5,6.

Отже, знаходимо при

Х=m=0 P0=C60(0,4)0 .(0,6)6 » 0,047;

X=m=1 P1=C61 (0,4)1 . (0,6)5 » 0,181;

X=m=2 P2=C62(0,4)2 . (0,6)4 » 0,311;

X=m=3 P3=C63(0,4)3 . (0,6)3 » 0,276;

X=m=4 P4=C64(0,4)4 . (0,6)2 » 0,138;

X=m=5 P5=C65(0,4)5 . (0,6)1 » 0,037;

X=m=6 P6=C66(0,4)6 . (0,6)0 » 0,004.

Закон розподілу даної випадкової величини має вигляд:

Хі
Рі 0,047 0,187 0,311 0,276 0,138 0,037 0,004

Задачі на закони розподілу дискретних випадкових величин

  1. Два гральні кубики одночасно підкидають два рази. Написати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – кількість появи непарного числа очок на верхній грані кожного кубика.
  2. Ймовірність влучення у мішень при одному пострілі дорівнює 0,6. Здійснено 4 постріли. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – кількість влучень у мішень.
  3. У партії з 10 телефонних апаратів є 4 несправні. Навмання відібрано 3 апарати. Скласти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х – кількість справних апаратів серед відібраних.

Відповіді.

1.

Х
Р 9/16 6/16 1/16

2.

Х
Р 16/625 96/625 216/625 216/625 81/625

3.

Х
Р 1/30 3/30 1/2 1/6

5.3.Числові характеристики закону розподілу дискретної випадкової величини

Математичне сподівання. Властивості

Означення. Математичним сподіваннямдискретної випадкової величини називають суму добутків значень випадкової величини на відповідні цим значенням ймовірності

. (1)

Нехай проведено n випробувань, у яких випадкова величина Х прийняла значення

х1 - m1 раз,

х2 - m 2 раз,

.....................

хk - mk раз.

Тоді середнє арифметичне значення дорівнює (див. Главу 2)

або

,

де - відносні частоти, а

.

Якщо число випробувань велике, то відносна частота наближається до ймовірності, тобто

Тоді

середнє арифметичне наближається до математичного сподівання

.

Таким чином, математичне сподівання – це середнє очікуване значення випадкової величини.

Розглянемо основні властивості математичного сподівання.

Властивість 1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює цій сталій

де С=const.

Доведення. Якщо випадкова величина у всіх випробуваннях приймає одне й те ж значення С, то ймовірність такої події дорівнює одиниці. Тоді за означенням потрібно цю величину помножити на одиницю

М(С)=С·1=С

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання

М(СХ)=СМ(Х)

Доведення. Нехай задано розподіл

Х х1 х2 ... хn
P p1 p2 pn

 

Розглянемо ще один розподіл

СХ Сх1 Сх2 ... Схn
P p1 p2 pn

 

Тоді математичне сподівання для останнього

.

Властивість 3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X і Y дорівнює добутку їх математичних сподівань

М(ХУ)=М(Х)·M(Y).

Перевіримо для окремого випадку. Нехай задані

Х х1 х2   Y y1 y2
Р р1 р2   P q1 q2

 

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина XY, а також знайдемо відповідні їм ймовірності:

 

ХY
P

Тоді математичне сподівання добутку запишиться

M(XY)=x1y1p1q1+x1y2p1q2+x2y1p2q1+x2y2p2q2=

=y1q1(x1p1+x2p2)+y2q2(x1p1+x2p2)=(x1p1+x2p2

×(y1q1+y2q2)=M(X)·M(Y).

Властивість 4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Останню формулу перевіримо далі на прикладі 2.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання числа очок, які можуть випасти при підкиданні грального кубика.

Розв'язання. Випадковою величиною Х при підкиданні кубика є випадання числа очок, вона приймає значення: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ймовірність кожного з цих значень 1/6, тоді

Приклад 2. Знайти математичне сподівання суми очок, що випадають на гранях при підкиданні двох кубиків.

Розв'язання. Тут ми маємо суми двох випадкових величин Х=1, 2, 3, 4, 5, 6 – кількість очок, що випадають на гранях першого кубика, і Y=1, 2, 3, 4, 5, 6 – кількість очок на гранях другого кубика. Їх сума X+Y приймає значення: 2, 3, 4, ..., 11, 12. Відповідні ймовірності знаходили вже (див. приклад 3,§1.3). Для зручності ми перепишемо заново отриману раніше таблицю розподілу:

 

X+Y
P

Знайдемо відповідно до таблиці математичне сподівання

Враховуючи результат попереднього прикладу,

М(Х)=3,5; М(Y)=3,5, маємо:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).







Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2023 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.