Лекция 11. Текстовая задача и процесс ее решения

3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения

Кроме различных понятий, предложений, доказательств в любом математическом курсе есть задачи. В обучении математике младших школьников преобладают такие, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естественном языке (их называют текстовыми): в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют арифметическими или сюжетными); они представляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).

В данном пособии мы будем применять термин «текстовые задачи», поскольку он чаще других используется в методике обучения математике младших школьников.

Решению текстовых задач при начальном обучении уделяется огромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное - средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни вы брал учитель, ему надо знать, как устроены такие задачи, и уметь их решать различными методами и способами.

Как было сказано выше, любая текстовая задача представляет собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой точки зрения текстовая задача есть словесная модель явления (ситуации, процесса). И, как во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики. Рассмотрим, например, такую задачу: «Автомобиль выехал из пункта А со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А второй автомобиль догонит первый?»

В задаче описывается движение двух автомобилей. Как известно, любое движение характеризуется тремя величинами: пройденным расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче известны скорости первого и второго автомобилей (60 км/ч и 90 км/ч), известно, что они прошли одно и то же расстояние от пункта А до места встречи, количественную характеристику которого и надо найти. Кроме того, известно, что первый автомобиль был в пути на 2 ч больше, чем второй.

Обобщая, можно сказать, что текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Рассмотрим еще одну задачу из начального курса математики: «Свитер, шапку и шарф связали из I кг 200 г шерсти. На шарф потребовалась на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»

В задаче речь идет о расходовании шерсти на свитер, шапку и шарф. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти.

2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

3. На шарф израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Утверждения задачи называют условиями (или условием, как в начальной школе). В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны.

Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.

Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило, дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефразировать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо обозначения и т.д.

Кроме того, вычленение условий задачи можно производить с разной глубиной. Глубина анализа условий и требований задачи зависит главным образом от того, знакомы ли мы с видом задач, к которому принадлежит заданная, и знаем ли мы способ решения таких задач.

Пример 1. Сформулируйте условия и требования задачи:

Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30 с?

В задаче речь идет о движении двух девочек навстречу друг другу. Как известно, движение характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем.

4. Одна девочка пробежала на 60 м больше, чем другая.

6. Скорость движения одной девочки больше скорости движения
другой.

По отношению между условиями и требованиями различают:

а) определенные задачи - в них заданных условий столько, сколько
необходимо и достаточно для выполнения требований;

б) недоопределенные задачи - в них условий недостаточно для получения ответа;

в) переопределенные задачи - в них имеются лишние условия.

В начальной школе недоопределенные задачи считают задачами с недостающими данными, а переопределенные - задачами с избыточными данными.

Например, задача «Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?» является переопределенной, так как содержит лишнее условие.

Задача «Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?» является недоопределенной - в ней условий недостаточно, чтобы ответить на поставленный вопрос.

Уточним теперь смысл термина «решение задачи». Так сложилось, что этим термином обозначают разные понятия:

1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование
задачи;

2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, причем этот процесс рассматривают двояко: и как метод нахождения результата (например, говорят о решении задачи арифметическим способом) и как последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод (т.е. в данном случае под
решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу).

1. В следующих задачах выделите условия и требования:

а) Два автобуса отправились одновременно из города в село, расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в село на 15 мин раньше второго. С какой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км/ч больше скорости другого?

б) Сумма двух чисел равна 199. Найдите эти числа, если одно из них больше другого на 61.

2. Задачи из упражнения 1 сформулируйте таким образом, чтобы предложение, содержащее требование, не содержало условий.

3. В задачах из упражнения 1 повелительную форму требований замените вопросительной, вопросительную - повелительной.

5. Даны условия задачи: «Собрали 42 кг огурцов и 5/7 всех огурцов засолили».

Из нижеследуемого списка выберите требования к данному условию и решите полученную задачу:

а) Сколько килограммов огурцов осталось незасоленными?

б) Сколько килограммов помидор осталось незасоленными?

в) Что больше - масса огурцов, которые посолили или масса огурцов, которые остались незасоленными?

6. Сформулируйте возможные требования к условию задачи:

а) Купили 12 м ткани и третью часть ткани израсходовали на платье.

б) Из деревни вышел пешеход, а через 2 ч вслед за ним выехал велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а скорость пешехода 5 км/ч.

7. Какие данные необходимы для ответа на следующее требование
задачи:

а) Какая часть урока использована на решение задачи?

б) Сколько платьев сшили из купленной ткани?

8. Ученику была предложена задача: «Велосипедист ехал 2 часа с
некоторой скоростью. После того как он проедет 60 км с такой же
скоростью, его путь станет равным 48 км. С какой скоростью ехал
велосипедист?» Он решил ее так:

Согласны ли вы с таким решением данной задачи?

9. Можете ли вы дать ответ на требование следующей задачи:

а) За 3 м ткани заплатили 60000 р. Во второй раз купили 6 м ткани. Сколько денег заплатили за ткань, купленную во второй раз?

б) Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одного них 62 км/ч, а скорость другого 54 км/ч. Через сколько часов мотоциклисты встретятся?

В случае если нельзя ответить на требование задачи, дополните ее условие и решите задачу.

10. Есть ли среди нижеприведенных задачи с лишними данными:

а) Объем комнаты равен 72 м³. Высота комнаты 3 м. Найдите площадь пола комнаты, если ее длина 6 м.

5) Для посадки леса выделили участок, площадь которого 300 га. Ду6ы посадили на 7/10 участка, а сосны на 3/10 участка. Сколько гектаров занято дубами и соснами?

В случае если в задаче есть лишние данные, то исключите их и решнте задачу.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: