|
Ограниченные и неограниченные множества. Конечные и бесконечные множестваМножества по количеству элементов могут быть конечными и бесконечными
Рассмотрим произвольное бесконечное множество вещественных чисел, оно може быть задано любым образом. Такими
Множествами являются, например, множество натуральных чисел, множество правильных дробей, множество вещественных чисел между 0 и 1, множество корней уравнения sin x = ½ и т.п. Любое из чисел множества мы обозначим через х, Само множество обозначим через Х. Определения 7.3. Если для множества Х существует такое число М, что для всех х≤М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М), а само М называется верхней границей Х. Например, множество натуральных дробей ограничено сверху числом 1 (и вообще любым числом, больше или равным 1), натуральный ряд сверху неограничен Аналогично определяется ограниченное снизу множество и нижняя граница
Ограниченное сверху (снизу) множество может быть при этом как ограничено, так и неограниченно снизу (сверху). Так, множество правильных дробей ограничено и сверху и снизу, а натуральный ряд ограничен снизу, но не сверху. Если множество сверху (снизу) неограниченно, то за его верхнюю (нижнюю) границу принимают «несобственное» число Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется (просто) ограниченным.
Если множество ограничено сверху, т.е. имеет конечную верхнюю границу М, то одновременно оно имеет бесконечное множество верхних границ (так как, например, любое число >М, очевидно, также будет верхней границей). Из всех верхних границ наибольший интерес представляет наименьшая (она же точная верхняя граница, верхняя грань, супремум множества Х, supX (от латинского supremum - наибольший)) Аналогично определяется точня нижняя граница (нижняя грань, инфинум множества Х, inf X (от infinum – наименьший))
Определение ‘ Число β называется верхней гранью числового множества X, если:
2’) для любого ε>0 существует такой
Рис. 7.3(1)
Для α=inf X определение ‘ сформулируйте сами рис. 7.3(2).
Рис. 7.3(2)
Пример. Пусть sup [a, b] = sup (а, b) = b, inf [а, b] = inf (а, b) = а. Эти примеры показывают, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству. В силу самого своего определения верхняя и нижняя грани множества единственны. В самом деле, если в некотором множестве, принадлежащем даже расширенной числовой прямой
Всегда ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу? Действительно, так как верхних (нижних) границ бесконечно много, а среди бесконечного множества чисел не всегда найдется наибольшее (наименьшее, то существование супремума (инфинума) требует специального доказательства.
Теорема 7.3(1) Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое – нижнюю. Доказательство Пусть непустое числовое множество А ограничено сверху, В - множество всех чисел, ограничивающих сверху множество А. Если множество, следует, что a≤b. Следовательно, по свойству непрерывности действительных чисел существует такое число β, что для всех Аналогично доказывается, что ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань.
Замечание 7.3.
Если числовое множество X неограничено сверху, то у него не существует верхней грани. В этом случае по определению полагаем, что верхней гранью множества X является Аналогично для инфинума.
Натуральные числа Определение 4.4. Числа вида 2 = 1+1 3 = 2+1 и т.д. называются натуральными и их множество обозначается N Множество натуральных чисел обладает следующим характеристическим свойством:
Если:
Теорема 7.4. Множество натуральных чисел неограниченно сверху
Доказательство Докажите методом от противного, используя определение верхней грани
![]() ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|