Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Учет массы упругой системы при колебаниях.





Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной распределенной массой (число степеней свободы, следовательно, велико), то упрощенные расчеты, будут иметь уже значительную погрешность. В этом случае дифференциальные уравнения движения составляются с учетом массы системы. При решении подобного рода задач удобнее исходить не из условий равновесия, а из закона сохранения энергии.

Полагая, что количество энергии, сообщенное системе при выведении ее из положения равновесия и представляющее собой сумму кинетической и потенциальной энергии груза и упругой системы, при свободных колебаниях остается постоянным, получаем уравнение

(4)

Это уравнение показывает, что при колебаниях происходит непрерывный процесс преобразования энергии из одного вида в другой, не сопровождающийся какими-либо потерями энергии. Когда упругая система достигает одного из крайних положений, в котором скорость колебательного движения равна нулю, а следовательно, равна нулю и кинетическая энергия (T=0), потенциальная энергия груза и системы достигает наибольшего значения ; наоборот, в положении равновесия и .

Заметим, что принцип, положенный в основу этого уравнения, применим лишь для систем с одной степенью свободы, так как закон сохранения энергии не учитывает обмена энергии, происходящего в системах с несколькими степенями свободы. Таким образом, решение задачи о колебаниях системы с большим числом степеней свободы здесь сводится к простейшей задаче и мы сможем приближенно найти лишь одну (первую) частоту свободных колебаний.

Рассмотрим теперь некоторые примеры использования исходного уравнения.

В качестве первого примера исследуем колебания груза Q, подвешенного к нижнему концу призматического стержня длиной l, площадью поперечного сечения F и удельным весом (Рис. 4). Выведенный из положения равновесия и затем предоставленный самому себе груз начнет совершать продольные колебания около положения равновесия. Составим выражения для U и Т колеблющейся системы: груз — стержень.



 

Рис.4. Расчетная схема колебаний подвешенного груза

 

Потенциальная энергия системы по сравнению с положением равновесия изменится на , где — потенциальная энергия системы в начальный момент (в положении равновесия), a — в момент t.

Потенциальную энергию груза Q в начальный момент обозначим через ; потенциальная энергия стержня в тот же момент равна , где — статическая деформация стержня от груза Q.

Таким образом,

В момент t, когда груз переместится на расстояние х и стержень получит такую же дополнительную деформацию х, потенциальная энергия груза уменьшится на Qx, а сила упругого сопротивления стержня и статическая деформация его увеличатся в отношении . Поэтому

(5)

Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии груза и стержня . Кинетическая энергия груза . При вычислении кинетической энергии стержня учтем, что в некоторый момент t скорость груза и нижнего конца стержня равна х', а верхнего — нулю. Скорости промежуточных сечений будут иметь значения, заключающиеся между этими двумя.

Предположим, что при колебаниях перемещения всех сечений стержня по отношению к закрепленному концу меняются по тому же закону, что и при статическом растяжении, т. е. пропорционально расстоянию от закрепленного сечения. Таким образом, если нижнее сечение стержня переместилось на величину х, то сечение, отстоящее от места защемления на , переместится на величину , скорость этого сечения будет равна . Живая сила элемента стержня длиной , отстоящего на от закрепленного конца, будет равна:

Кинетическая энергия всего стержня будет равна сумме величин , т.е.

Таким образом, живая сила стержня равна живой силе груза, имеющего массу , т. е. равную трети массы стержня, и двигающегося с той же скоростью х', что и груз Q. Полная же кинетическая энергия системы груз — стержень будет:

Подставляя Т и выражение U (4) в уравнение (5), дифференцируем последнее по t и находим:

или

Здесь — статическая деформация от груза . Полученное дифференциальное уравнение движения с учетом массы колеблющегося стержня отличается от полученного ранее уравнения только величиной множителя при х и полностью совпадает с ним, если пренебречь массой стержня. Поэтому поправка на массу стержня, которую нужно ввести в предыдущие расчеты, состоит в том, что при определении частоты свободных колебаний стержня статическая деформация его вычисляется не от груза Q, но от груза Q, сложенного с одной третью веса стержня. Таким образом, учет массы колеблющегося стержня уменьшает частоту свободных колебаний и увеличивает их период. Величину называют приведенной массой стержня.

Лекция № 49. Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке.

Основные положения

Явление удара получается в том случае, когда скорость рассматриваемой части конструкции или соприкасающихся с ней частей изменяется в очень короткий период времени.

При забивке свай тяжелый груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и погружает ее в грунт; баба останавливается почти мгновенно, вызывая удар. Аналогичные явления происходят при ковке; удар испытывают и проковываемое изделие и шток молота с бойком, так как последний очень быстро останавливается при соприкосновении с изделием. Во время удара между обеими ударяющимися деталями возникают весьма большие взаимные давления. Скорость ударяющего тела за очень короткий промежуток времени изменяется и в частном случае падает до нуля; тело останавливается. Значит, на него от ударяемой детали передаются очень большие ускорения, направленные в сторону, обратную его движению, т. е. передается реакция , равная произведению массы ударяющего тела на это ускорение.

Обозначая это ускорение через а, можно написать, что реакция , где Q — вес ударяющего тела. По закону равенства действия и противодействия на ударяемую. часть конструкции передается такая же сила, но обратно направленная (рис.1). Эти силы и вызывают напряжения в обоих телах.

 

Рис.1. Расчетная схема ударного нагружения.

 

Таким образом, в ударяемой части конструкции возникают такие напряжения, как будто к ней была приложена сила инерции ударяющего тела; мы можем вычислить эти напряжения, рассматривая силу инерции как статическую нагрузку нашей конструкции. Затруднение заключается в вычислении этой силы инерции. Продолжительности удара, т. е. величины того промежутка времени, в течении которого происходит падение скорости до нуля, мы не знаем. Поэтому остается неизвестной величина ускорения а, а стало быть, и силы . Таким образом, хотя вычисление напряжений при ударе представляет собой частный случай задачи учета сил инерции, однако для вычисления силы и связанных с ней напряжений и деформаций здесь приходится применять иной прием и пользоваться законом сохранения энергии.

При ударе происходит очень быстрое превращение одного вида энергии в другой: кинетическая энергия ударяющего тела превращается в потенциальную энергию деформации. Выражая эту энергию в функции силы или напряжений, или деформаций получаем возможность вычислить эти величины.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.