Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Определение: Функцию заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием а.

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой y = x.

Свойства логарифмической функции

1) D(f) = (0; +∞)

2) Е(f) = R

3) При a >1 функция возрастает на D(f)

При 0< a< 1 функция убывает на D(f)

Решение логарифмических уравнений и неравенств, приводимых к виду:

Определение:Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях

Переход от логарифмического уравнения к уравнению иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить с помощью подстановки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение или с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств .

Примеры:

1. данное уравнение равносильно уравнению

по определению логарифма)

Проверяем выполнимость условия

Значение удовлетворяет условию.

Ответ

2.

Данное уравнение сводится к уравнению

Проведем преобразования:

Решим квадратное уравнение.

Проверим выполнимость условий:

условию не удовлетворяет

посторонний корень

условию удовлетворяет

Ответ:

3.

Воспользуемся свойством логарифмов:

Получим

Равны логарифмы, равны основания тогда

Приведем к общему знаменателю

Проверка

посторонний корень.

Ответ: решений нет.

4.

Воспользуемся свойством логарифмов

Получим

Равны логарифмы, равны основания тогда

Проверка

Условие выполняется.

Условие не выполняется.

Ответ

5.

Это логарифмическое уравнение, приводимое к квадратному.

Пусть получим уравнение

приведем к общему знаменателю, получим

решаем уравнение

Получили

Ответ

Определение: Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Неравенства вида при являются логарифмическими.

1. Неравенство равносильно:

- системе при ;

- системе при .

2. При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств: свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.

Рассмотрим решение некоторых неравенств:

1.

0< <1

Логарифмическая функция с основанием определена и убывает на следовательно, неравенству удовлетворяют, такие числа x, для которых выполнено условие

/: (-2) (знаки неравенства меняем)

Ответ: x (– 2; 2, 25)

2.

Логарифмическая функция с основанием определена и возрастает на

Следовательно, неравенству удовлетворяют, такие числа x для которых выполнено условие

Ответ

Тема 4. Основы тригонометрии

Радианная мера угла. Вращательное движение. Соотношение между градусной и радианной мерами угла.

Начертим окружность радиуса равного единице (окружность произвольного радиуса, но по договоренности он будет равен единице).

Длина окружности l=2πr

Длина половины окружности l/2=π

Угол α – развернутый (равен 180°).

- Данный угол – центральный (так как его вершина совпадает с центром окружности), а это значит, что величина данного угла определяется длиной его дуги, т.е. получаем, что π=180°.

- 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

- 1 радиан – это постоянная величина, как и градус, и она не зависит от радиуса окружности, в которой построена. 1 радиан приближенно равен 57 градусов.

- Радианная и градусная меры взаимосвязаны, угол, представленный в одной мере можно выразить в другой:

π=180°, тогда 1°=π/180.

- Если 1°=π/180, то можно выразить в радианной мере любой угол.

90°= = ; 60°= = ; 45°= = ; 30°= = ; 270°= = ; 360°= =2π.

, где n – количество градусов.

Обратная задача: переведите величину угла из радианной меры в градусную. π=180°

2π=180°·2=360°; π/2=180°/2=90°; π/6=180°/6=30°; 3π/2=180°·3/2=270°.

Таблица значений обратных тригонометрических функций

БЮБЮБЮБЮБЮ

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Определение: Функцию заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием а.

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой y = x.

Свойства логарифмической функции

1) D(f) = (0; +∞)

2) Е(f) = R

3) При a >1 функция возрастает на D(f)

При 0< a< 1 функция убывает на D(f)

Решение логарифмических уравнений и неравенств, приводимых к виду:

Определение:Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях

Переход от логарифмического уравнения к уравнению иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить с помощью подстановки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение или с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств .

Примеры:

1. данное уравнение равносильно уравнению

по определению логарифма)

Проверяем выполнимость условия

Значение удовлетворяет условию.

Ответ

2.

Данное уравнение сводится к уравнению

Проведем преобразования:

Решим квадратное уравнение.

Проверим выполнимость условий:

условию не удовлетворяет

посторонний корень

условию удовлетворяет

Ответ:

3.

Воспользуемся свойством логарифмов:

Получим

Равны логарифмы, равны основания тогда

Приведем к общему знаменателю

Проверка

посторонний корень.

Ответ: решений нет.

4.

Воспользуемся свойством логарифмов

Получим

Равны логарифмы, равны основания тогда

Проверка

Условие выполняется.

Условие не выполняется.

Ответ

5.

Это логарифмическое уравнение, приводимое к квадратному.

Пусть получим уравнение

приведем к общему знаменателю, получим

решаем уравнение

Получили

Ответ

Определение: Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Неравенства вида при являются логарифмическими.

1. Неравенство равносильно:

- системе при ;

- системе при .

2. При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств: свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.

Рассмотрим решение некоторых неравенств:

1.

0< <1

Логарифмическая функция с основанием определена и убывает на следовательно, неравенству удовлетворяют, такие числа x, для которых выполнено условие

/: (-2) (знаки неравенства меняем)

Ответ: x (– 2; 2, 25)

2.

Логарифмическая функция с основанием определена и возрастает на

Следовательно, неравенству удовлетворяют, такие числа x для которых выполнено условие

Ответ

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: