|
|
Почему математика должна быть чем-то «внешним»Так, может быть, следует отбросить реализм и согласиться «конвенционализмом? Трудно сказать. Дело в том, что конвенционализм также встречает серьезные возражения. В частности, следующее рассуждение показывает, по-видимому, что конвенционализм неправ. Краус: Хорошо, я согласен с тем, что есть что-то таинственное в том, как мы получаем математическое знание. Однако это не может заставить нас принять конвенционализм. Ясно, что конвенционализм ложен. Бриди: Почему? Краус: Представь себе цивилизацию, представители которой производят вычисления, руководствуясь иными математическими соглашениями. Вместо правил умножения, сложения, вычитания и т.д. они пользуются правилами шумножения, шложения, швычитания. Назовем эту альтернативную систему вычислений шматематикой. В шматематике 12, шумноженное на 12, дает 150. Это истинно «по соглашению». Бриди: Какой кошмар! Краус: Конечно. Но такая альтернативная система вычислений по крайней мере возможна, не так ли? Бриди: Пожалуй. Краус: Итак, ты полагаешь, что 12, умноженное на 12, дает 144 только в силу соглашения. Правильно? Бриди: Да. Краус: Тогда 12, шумноженное на 12, может дать 150. Это будет истинно тоже только благодаря соглашению.
Краус: Но если представите ли этой необыкновенной цивилизации производят вычисления, руководствуясь правилами своей шматематики, то они будут совершать ошибки. Мы вычисляем согласно правилам математики, поэтому мы строим прочные мосты, посылаем людей на Луну, и нам хватает горючего, чтобы долететь до Глазго. Цивилизация, пользующаяся шматематикой, едва ли сможет просуществовать долго. Ее мосты будут разрушаться, ее электроприборы будут перегорать, а средствам передвижения постоянно будет не хватать горючего. Ты видишь теперь, что математика в отличие от шматематики действительно приводит к правильным результатам. Бриди: Согласен. Краус: Но тогда отсюда следует, что в отличие от шматематических истин истины математики не являются только «истинами по соглашению»-Истинные математические утверждения действительно истинны. Они в точности представляют положение дел в мире. Попробуй вместо математики пользоваться шматематикой, и ты придешь к ошибочному результату. Рассуждения Крауса выглядят привлекательно. Мы часто используем математику для предсказаний. Если бы Краус воспользовался шматематикой, чтобы предсказать, сколько плиток потребуется для покрытия пола в ванной, он насчитал бы шесть лишних плиток. Математика же дает правильный результат. Представляется поэтому, что в отличие от шмате-матики математика точно отображает структуру «внешнего» мира. Но если так, то утверждение «12x12= 144» не является лишь «тривиально» истинным, следовательно, конвенционализм должен быть ложен. Орудия мысли: рационализм — эмпиризм Конвенционализм часто тесно связан с позицией, называемой эмпиризмом. Эмпирики считают, что все нетривиальное знание восходит к показаниям наших органов чувств. Рационалисты с этим не согласны: они полагают, что по крайней мере какое-то нетривиальное знание дано нам a priori. В группу эмпириков входят такие философы, как Милль (1806—1873), Локк (1632—1704), Беркли (1685—1753), Юм (1711—1776) и Куайн (1908—2001). В лагере рационалистов собрались Платон, Декарт (1596—1650), Лейбниц (1646—1716) и Спиноза (1632—1677). Декарт, например, полагал, что мы можем a priori знать, что Бог существует, а это весьма нетривиальное знание. Некоторые рационалисты были даже убеждены в том, что не только какое-то нетривиальное знание не зависит от опыта, но вообше всякое подлинное знание от него не зависит: органы чувств вообше не способны дать нам никакого знания. Такова была точка зрения Платона. Математики всегда относились к эмпиризму с некоторым подозрением. Как показал Краус, математическое знание кажется нетривиальным. Но Бриди доказывает, что математическое знание выглядит априорным. Поэтому эмпирики стоят перед выбором: либо они должны отрицать, что математика является априорной (такой точки зрения придерживался, например, Милль), либо они должны показать, что математическое знание является, в конце концов, тривиальным (это стратегия Локка, Беркли и Юма). Конвенционализм стремится показать, что математическое знание является, по сути дела, «тривиальным», поэтому он и привлекает многих эмпириков. Заключение Является ли математика и ее истины нашим собственным изобретением? Или же математика описывает реальность, существующую «вне» и независимо от нас? Философы и математики расходятся при ответах на эти вопросы. С одной стороны, существуют серьезные аргументы в пользу конвенционализма: кажется, что только конвенционализм или что-то родственное ему способен правильно истолковать математическое знание. С другой стороны, Краус также кажется правым, когда доказывает, что в отличие от истин шма-тематики математические утверждения истинны не только в силу конвенции. Тот факт, что математика приводит к правильным результатам, по-видимому показывает, что она способна точно отобразить положение дел во «внешнем» мире. Какая же из этих двух точек зрения верна? Что читать дальше? Данную главу полезно Как математический независимо от нас, так Вы обнаружите, что точки зрения и 19.
се мы стремимся к знанию. Мы хотим знать, когда придет автобус, как заваривать чай и каковы экономические прогнозы на следующий год. Мы с уважением относимся к тем людям, у которых есть знания, и обращаемся к ним за советом. Тем не менее, несмотря на ту большую ценность, которую мы придаем знанию, мы останавливаемся в недоумении, когда задаем себе вопрос: что это такое — знание? Вопрос «Что такое знание?» относится к числу тех вопросов, на которые, как кажется, ответить легко, но только до тех пор, пока мы действительно не попытаемся сделать это. В этой главе рассматриваются два конкурирующих ответа. Ответ Платона Начнем с того ответа, который дал Платон (428—347 до н.э.). На сцене: студенты-философы Пиджин и Пэт решили посетить ипподром. Пэт абсолютно ничего не знает о скачках, однако хочет сделать ставку. Она выбирает свою лошадь наугад — просто ткнув ручкой в список участников забега. Пэт надеется, что выбранная таким путем лошадь придет первой. Действительно, благодаря случаю побеждает та лошадь, на которую она сделала ставку. Пэт: Ура! Ты видишь, я знала, что Черная Красавица выиграет! Пиджин: Ты не знала этого. Пзт: Но я же сказала, что Черная Красавица выиграет. И она выиграла. Поэтому я знала. Действительно ли Пэт знала? Разумеется, нет. Пэт просто угадывала и угадала. Но удачная догадка еще не будет знанием. Если же это не знание, то что еще требуется для знания? Пиджин: Ты не знала, что Черная Красавица выиграет. Я готов согласиться что твое убеждение было истинным. Однако этого недостаточно, в конце концов, ты ведь ничего не знала о скачках, верно? Лишь в силу чистой случайности твое убеждение оказалось истинным. Пэт: Что же еще нужно? Пиджин: Обоснование. Чтобы считаться знанием, твое убеждение должно быть истинным. Однако одного этого еще мало. Ты должна еще иметь определенные основания придерживаться своего убеждения. С точки зрения определения Пиджина, требуются три вещи, чтобы можно было сказать, что Иэтзнает, что Черная Красавица победит: 1. Пэт должна верить в то, что Черная Красавица победит. 2. Вера Пэт должна быть истинной. 3. Пэт должна обосновать свою веру. Иными словами: знание есть обоснованная истинная вера. Такое определение знания имеет долгую историю, восходящую еще к Платону. Почему Пэт не знала, что Черная Красавица победит? Первые два условия были выполнены, но третье — нет. Пэт не обосновала своей веры в победу Черной Красавицы. Поэтому, сточки зрения Пиджина, она не знала. Степень обоснованности Посмотрим более внимательно на третье условие Пиджина. Что значит «обоснование»? Фактически обоснование имеет степени. Вы можете большей или меньшей степени оправдать свою веру во что-то. Например, если я вижу Джека, когда-то бедного студен- та, одетого в очень дорогой костюм, то у меня появляется некоторое основание верить в то, что он обзавелся деньгами (конечно, не слишком надежное основание: может быть, этот костюм ему кто-то подарил). Если затем я вижу, как он едет в новом автомобиле, моя вера получает дополнительное обоснование. Когда же он говорит мне о том, что только что приобрел вертолет и купил дом в Майами, моя вера становится еще более обоснованной. Какая же степень обоснованности требуется для знания? Сколько свидетельств мне нужно для того, чтобы я смог сказать, что знаю: у Джека много денег? Согласно мнению Пиджина, у меня должны быть достаточно хорошие основания для этого. По-видимому, выражение «достаточно хорошие основания» довольно неопределенно. Сколько должно быть этих оснований, чтобы счесть их «достаточно хорошими»? Но пока оставим это затруднение. Конечно, вера может быть обоснованной, но тем не менее оказаться ошибочной. Например, если Джек приглашает меня полетать на вертолете, посетить особняк на Майами и сообщает, что получил большой выигрыш в лотерее, то у меня, безусловно, имеются достаточно хорошие основания предполагать, что у него действительно много денег. Тем не менее я могу ошибаться. Может быть, Джек лжет. Возможно, он подыскивает все эти вещи для своей богатой сестры. Во всяком случае, такое возможно. Проблема регресса Определение знания, предложенное Платоном и Пиджином, может показаться вполне приемлемым для «здравого смысла». Для того чтобы что-то знать, вам нужны некоторые основания —достаточно хорошие основания — для предположения о том, что ваша вера истинна. Но, как теперь замечает Пэт, такое определение знания сразу же сталкивает-
ся с трудной проблемой: оно вообще лишает нас возможности обладать каким-либо знанием. Пэт: Но ведь не всякое знание нуждается в обосновании, не так ли? Пиджин: Почему? Пэт: Скажем, сейчас я верю в то, что Джордж Буш находится в Нью-Йорке. Назовем это «верой А». Для того чтобы мою веру можно было считать знанием, нужно, чтобы она была обоснована, верно? Пиджин: Да. Пэт: Обычно одну веру мы обосновываем с помощью другой веры. Например, я могу попытаться оправдать мою веру в то, что Джордж Буш сейчас находится в Нью-Йорке, ссылкой на мою веру в сообщение телевидения и в то, что это сообщение достаточно надежно. Назовем эту вторую мою веру «верой В». Далее, у меня есть основание обращаться к вере В для обоснования веры А только в том случае, если вера В сама обоснована, ведь так?
Пиджин: Полагаю, так. Пэт: Я, например, могу обосновать мою веру в то, что телевизионные новости достаточно надежны, сославшись на мою веру в то, что во многих случаях отчеты телевидения о новостях были верны. Назовем эту третью веру «верой С». Но для того чтобы вера В получила обоснование, вера С, в свою очередь, сама должна быть обоснована, так?
Пиджин: Так. Пэт: Но теперь даже ты можешь видеть, что эта цепочка обоснований не имеет конца! Для того чтобы получить хотя бы одну обоснованную веру, мне потребуется бесконечное число обоснованных убеждений Пиджин: Да... А я и не задумывался над этим. Пэт: Поскольку я, будучи существом конечным, способна иметь только конечное число убеждений, постольку из этого следует, что ни одно из моих убеждений не может быть обосновано. Пиджин: Пожалуй. Пэт: Но тогда из твоего определения знания следует, что я вообще ничего не могу знать! Пэт указывает на серьезную трудность, связанную с предположением о том, что знание есть обоснованная истинная вера. По-видимому, это предположение приводит к выводу о невозможности получить какое-либо знание, то есть к скептицизму. Однако Пиджин все еще не убежден в том, что здесь есть какая-то проблема.
Пэт: Ничего не получится. Допустим, единственным обоснованием моей веры в то, что в моем саду живут феи, является моя вера в то, что существуют феи, спустившиеся на землю. А единственным обоснованием моей веры в то, что существуют феи, спустившиеся на землю, является моя вера в то, что в моем саду живут феи. Тогда ни одно из этих двух убеждений не будет обосновано. Такое круговое обоснование вообще не является обоснованием, независимо от того, как много убеждений включено в эту круговую цепочку. Пэт говорит о серьезной проблеме, с которой сталкивается теория, утверждающая, что знание есть обоснованная истинная вера. Но может быть, есть способ обойти ее? Пиджин: Хм... Ладно, я согласен с тем, что круговое обоснование не подходит. Но что, если некоторые убеждения обосновывают сами себя?
Если любой вид кругового обоснования неприемлем, то не имеют значения размеры круга, следовательно, самообоснование также неприемлемо.   ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Бриди: Так.
Пиджин: Ну а если обоснование идет по кругу? Не можем ли мы взять конечный пункт нашей цепи обоснований и присоединить его к началу?
Допустим, что цепь обоснований доходит до убеждения, которое само себя обосновывает. Тогда регресса в бесконечность не будет. Пэт:. Я не вижу смысла в утверждении о том, что существуют убеждения, обосновывающие сами себя. Если некоторое убеждение используется для собственного обоснования, то такое обоснование все равно останется круговым, не так ли? Конечно, круг сократится до одного звена, но он останется порочным кругом.