|
Интегрирование дробно-рациональных функций. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Определение 3. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) будем называть частное от деления двух многочленов. Общий вид рациональной дроби таков , где – многочлен степени , а – многочлен степени . Если , то рациональная дробь называется правильной, если , то рациональная дробь называется неправильной. Из общей совокупности правильных дробей выделяются четыре специальных типа дробей, называемых простейшими. Простейшие дроби имеют вид где A, B, D, a, p, q – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней (), т.е. не раскладывается на множители первой степени. В целом классификацию рациональных дробей можно представить следующим образом.
Интегралы от рациональных дробей всегда являются берущимися. Покажем это, двигаясь по приведённой здесь схеме, поднимаясь с нижнего уровня на верхний уровень.
Интегрирование простейших дробей.
1. Интеграл типа (I) берется с использованием формулы (3.3) таблицы 1 и линейной замены. . 2. Интеграл типа (II) берется с использованием формулы (3.2) таблицы 1 и линейной замены. . (Здесь .) 3. Рассмотрим интеграл типа (III) , где . Чтобы вычислить интеграл , найдём сначала производную знаменателя подынтегральной функции: . Далее представим числитель как сумму двух слагаемых: , т.е. “выделим” в числителе производную знаменателя. Теперь можно представить как сумму двух слагаемых: . (7.1) Вычислим каждый из интегралов, стоящих в правой части (7.1), отдельно: · , · . Таким образом, . (7.2) Заметим, что всегда можно представить как сумму квадратов в силу того, что . Формула (7.2) сложна для запоминания. Как правило, ею не пользуются, а непосредственно применяют к конкретному интегралу изложенный здесь метод. Приведём примеры. Пример 7.1. . Пример 7.2. . Найдем производную знаменателя . Выделим эту производную в числителе . Тогда . Пример 7.3. . Воспользуемся формулами . Тогда
4. Для интеграла типа (IV) , где , , непосредственное интегрирование является столь громоздким, что следует пользоваться справочником.
Интегрирование правильных дробей общего вида.
Рассмотрим правильную дробь , которая не является простейшей дробью. Чтобы проинтегрировать такую функцию, её нужно представить в виде суммы простейших дробей. Представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей осуществляется по следующему правилу. 1) Знаменатель следует разложить на множители вида и , где , а . Заметим, что при условии на множители разложить нельзя. 2) Следует построить “общий вид” представления с неопределёнными пока коэффициентами. При этом каждому множителю должна соответствовать сумма дробей , (7.3) а каждому множителю должна соответствовать сумма дробей , (7.4) где коэффициенты пока неизвестны и представлены буквами. В суммах (7.3) и (7.4) должны обязательно присутствовать все перечисленные выше слагаемые ( слагаемых в сумме (7.3) и слагаемых в (7.4)). Общий вид представления содержит в себе все суммы (7.3) и (7.4). 3) Следует определить коэффициенты представления, полученного в пункте 2, исходя из тождественного равенства правильной дроби и суммы простейших дробей, полученной в пункте 2. Покажем на конкретных примерах, как пользоваться данным правилом. Пример 7.4. . Применим сформулированное выше правило. 1) Разложим знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла, на множители: . 2) Построим для дроби, стоящей под знаком интеграла, представление в виде суммы простейших дробей с неизвестными пока коэффициентами . (7.5) Множитель имеет степень 1, и ему соответствует в сумме одно слагаемое, множитель имеет степень 2, и ему в сумме соответствуют два слагаемых. 3) Приведём правую часть равенства (7.5) к общему знаменателю. Получим . (7.6) Равенство (7.6) должно выполняться при всех значениях . Поскольку знаменатели дробей, стоящих в левой и правой частях (7.6), одинаковы, числители этих дробей должны быть тождественно равными. Таким образом, (7.7) при всех значениях . Чтобы определить и , подставим в (7.7) три каких-либо значения и получим систему трёх уравнений относительно неизвестных и . Если представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей составлено правильно, то эта система имеет единственное решение. Значения обычно выбирают так, чтобы расчеты были как можно более простыми. В нашем случае выгодно выбрать и . Последовательно подставляя эти значения в тождество (7.7), получим систему (7.8) Система (7.8) имеет решение: ; ; . Замечание. Если коэффициенты , найдены верно, то слева и справа в (7.7) стоят одинаковые многочлены. Следовательно, их коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны. Установим это:
Таким образом, коэффициенты найдены верно. Итак, мы получили тождество . Тогда . Пример 7.5. . Представим дробь, стоящую под знаком интеграла, в виде суммы простейших дробей. Так как оба множителя, стоящих в знаменателе, имеют степень 1, представление будет иметь вид . (7.9) Заметим, что если в знаменателе стоит квадратный трёхчлен , то в числителе обязательно должен стоять многочлен первой степени . Приводим правую часть (7.9) к общему знаменателю. Тогда , откуда следует . (7.10) Нужно определить три коэффициента . Используем удобные значения: . Подставим их последовательно в (7.10). Получим . (7.11) Система (7.11) имеет решение: ; ; . Проверим полученный результат.
Получено тождество . Следовательно, . Отдельно вычислим , используя формулы . . Итак, . Пример 7.6. . Разлагаем знаменатель на множители: . Выписываем общий вид представления дроби в виде суммы простейших дробей и сразу же приводим сумму дробей к общему знаменателю: . Составляем равенство числителей двух равных дробей с одинаковыми знаменателями: . (7.12) Выбираем удобные значения : , и составляем систему уравнений для определения четырёх коэффициентов: . . (7.13) Решаем систему (7.13): , . Проверим полученные значения.
Таким образом, .
Интегрирование неправильных дробей.
Чтобы проинтегрировать неправильную дробь , где , её следует представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого сначала следует представить в виде , (7.14) где степень многочлена меньше, чем степень многочлена . Представление (7.14) равносильно делению многочлена на многочлен с остатком. В формуле (7.14) многочлен является частным, а многочлен является остатком. Затем равенство (7.14) следует почленно поделить на . Мы получим . Здесь – правильная дробь. Представление (7.14) иногда легко угадать (если и имеют достаточно простой вид), но, как правило, оно получается в результате деления на “уголком”. Приведём примеры. Пример 7.7. . Пример 7.8. . Пример 7.9. Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Разделим числитель этой дроби на знаменатель с остатком. .
Вычислим отдельно . Окончательно, . Пример 7.10. . Поделим числитель на знаменатель с остатком. . Вычислим отдельно . Разложим правильную дробь на простейшие дроби. . . Подставим в полученное тождество последовательно значения переменной . Тогда Получим . Окончательно, .
Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|