Аксиоматическая теория множеств

Наивная теория множеств

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия.

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»).^[1]Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre)^{[ источник не указан 727 дней ]}.

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц иАнри Пуанкаре. Тем не менее, другие крупные математики — в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной (см. Кризис математических основ). А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение).

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. Логический аппарат усовершенствовал Бертран Рассел в работах, позднее собранных в его монографии «Начала математики» (1910—1913). В 1904—1908 гг. Эрнст Цермелопредложил первую версию аксиоматической теории множеств.

Аксиомы Пеано

Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент (единица) и функция (функция следования) так, что выполнены следующие условия

1. (1 является натуральным числом);
2. Если , то (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
3. (1 не следует ни за каким натуральным числом);
4. Если S (b) = a и S (c) = a, тогда b = c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b = c);
5. Аксиома индукции. Пусть P (n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n. Тогда:

если P (1) и , то

(Если некоторое высказывание P верно для n = 1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P (n), верно и P (n + 1) (индукционное предположение), то P (n) верно для любых натуральных n).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.^[1], а также краткое доказательство^[2]), что если и — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует биекция такая, что и для всех .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел, например, ту, что описана ниже.

Основные свойства

1. Коммутативность сложения.
2. Коммутативность умножения.
3. Ассоциативность сложения.
4. Ассоциативность умножения.
5. Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Расширение понятия числа — это новые определения для числовых выражений, не вычислимых в старой области значений, при «постоянстве формальных законов» (Hankel, 1867, §3.)

Например, среди натуральных чисел нет такого, которое означало бы половину, однако «половина», «середина отрезка», «равная пропорция» суть термины, вполне строго соответствующие операции деления единицы на двойку: 12. Обобщение этого построения до всех возможных значений выражения aba, b ∈N — есть расширение понятия числа от натуральных N к неотрицательным рациональным Q≥0, при котором натуральные пропорции 1:1, 2:1 … n:1 суть частный случай: ∀ a, b ∈N abb ≡ a = a 1∈Q.

С другой стороны:

§ Отношение равенства позволяет определить ноль, как натуральное число, сумма которого с любым натуральным числом равна тому числу: 1+0=1, то есть нейтральный элемент («единица») по сложению.

§ На утверждении равенства двух выражений основан вычислительный приём уравнения.

§ Операция вычитания, — инверсия (обращение, «переворот») сложения: 1+1−1=1; 1−1=0. Вычитание большего числа из меньшего требует расширения системы до Z — алгебраического кольца целых чисел: 1−(1+1)=−1

Это простейшие примеры, однако, знак равенства =, отрицательные числа и ноль не употребляются классическими математиками Греции и Рима.

Логическая же невозможность точного дробного (рационального, Q) вычисления даже таких простых геометрических формализмов, как диагональ квадрата 2 a −−√ или длина единичной окружности π — ведут к допущению иррациональных (или, соответственно, трансцендентных) чисел, не выразимых в конечных арифметических (или алгебраических) соотношениях, но, по факту их принадлежности континууму, состоящих во множестве действительных чисел R. В школьных учебниках те обычно представляются как бесконечные и допустимо апериодичные десятичные дроби.

Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел С. Его можно представлять как поле действительных чисел и мнимой единицы i.

Примеры дальнейших расширений понятия числа: гиперкомплексные (начиная с кватернионов), трансфинитные, p-адические, сюрреальные…

Первоосновой всех этих объектов являются натуральные числа.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения вматематическом анализе.

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом x ₅ этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве X определена N -арная операция f: Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества X операция f будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n + y_n.

Разностью числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n − y_n.

Произведением числовых последовательностей x_n и y_n называется числовая последовательность (z_n) такая, что .

Частным числовой последовательности x_n и числовой последовательности y_n, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности y_n на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или дажекольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x_n) — это последовательность , где (n_k) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

• Для всякой подпоследовательности верно, что .

• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 вOEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)^[1]. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: F_n = F_{n + 2} − F_{n + 1}:

Легко заметить, что .

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n -1, либо L к образцу длиной n -2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнутрассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

• В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
• В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
• Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
• В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F (n). В это время только те кролики, которые жили в месяце n -2, являются способными к размножению и производят потомков, тогда F (n -2) пар прибавится к текущей популяции F (n -1). Таким образом общее количество пар будет равно F (n) = F (n -1) + F (n -2).

Формула Бине выражает в явном виде значение F_n как функцию от n:

,

где — золотое сечение. При этом и являются корнями характеристического уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех , F_n есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, при справедлива асимптотика .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

При этом соотношение F_{z + 2} = F_{z + 1} + F_z выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

И более общие формулы:

• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть

, а также ,

где матрицы имеют размер , i — мнимая единица.

• Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышева:

• Для любого n,

• Следствие. Подсчёт определителей даёт

Свойства

• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (F_m, F_n) = F _{(m, n)}. Следствия:
• F_m делится на F_n тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, F_m делится на F ₃ = 2 (то есть является чётным) только для m = 3 k; F_m делится на F ₄ = 3 только для m = 4 k; F_m делится на F ₅ = 5 только для m = 5 k и т. д.
• F_m может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4). Например, число F ₁₃ = 233 простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример — . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

• Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x ² − x − 1 имеет корни и .

• Отношения являются подходящими дробями золотого сечения ϕ и, в частности,
• Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

.

• В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,^[2] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:

F ₀ = 0² = 0, F ₁ = 1² = 1, F ₂ = 1² = 1, F ₁₂ = 12² = 144.

• Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

• Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

z (x, y) = 2 xy ⁴ + x ² y ³ − 2 x ³ y ² − y ⁵ − x ⁴ y + 2 y,

на множестве неотрицательных целых чисел x и y. ^[3]

• Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

• Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность:

1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)

• В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.

• Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5 N ² + 4 или 5 N ² − 4 является квадратом.^[4]

• Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.^[5]

Последовательность Фарея n -ного порядка представляет собой возрастающий ряд всех несократимых дробей, знаменатель которых меньше или равен n:

Последовательность Фарея порядка n + 1 можно построить из последовательности порядка n по следующему правилу:

1. Копируем все элементы последовательности порядка n.
2. Если сумма знаменателей в двух соседних дробях последовательности порядка n дает число не большее, чем n + 1, вставляем между этими дробями их медианту, равную отношению суммы их числителей к сумме знаменателей.

Пример

Последовательности Фарея для n от 1 до 8:

Свойства

Доказательство. Заметим, что треугольник на плоскости с вершинами , и не может содержать целых точек, отличных от вершин. Иначе, если целая точка содержится в , то дробь r / s лежит между p ₁ / q ₁ и p ₂ / q ₂, а знаменатель s не превосходит . Значит, по формуле Пика, его площадь равна 1 / 2. С другой стороны, площадь равна (q ₁ p ₂ − q ₂ p ₁) / 2. Ч. т. д.

Справедливо и обратное утверждение: если дроби p ₁ / q ₁ < p ₂ / q ₂ таковы, что q ₁ p ₂ − q ₂ p ₁ = 1, то они представляют собой соседние члены ряда Фарея .

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует такое целое число q, что bq = a, то говорят, что число a делится нацело на b или, что b делит a.

При этом число b называется делителем числа a, делимое a будет кратным числа b, а число q называется частным от деления a на b.

Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

Обозначения

• означает, что a делится на b
• b | a или b \ a означает, что b делит a, или, что то же самое: b — делитель a.

Свойства

Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что — целые числа.

• Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю:

• Любое целое число делится на единицу:

• На ноль делится только ноль:

,

причём частное в этом случае не определено.

• Единица делится только на единицу:

• Для любого целого числа найдётся такое целое число для которого

• Если и то Отсюда же следует, что если и то

• Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы

• Если то

• Свойство делимости является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:
• рефлексивно, т.е. любое целое число делится на себя же:
• транзитивно, т.е. если и то
• антисимметрично, т.е. если и то либо либо

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано в виде:

Нужно понимать, что численно равные дроби, например, и , входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на ихнаибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь gcd(m, n) — наибольший общий делитель чисел m и n.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель n = 1, то a = m является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).

Основные свойства

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойствцелых чисел.^[1]

1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: «<», «>» или «=». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг a неотрицательно, а b — отрицательно, то a > b.

Суммирование дробей

1. Операция сложения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: .

1. Операция умножения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: .

1. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.

1. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

1. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

1. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

1. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

1. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

1. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

1. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

1. Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.

1. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

1. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

1. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

1. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число a, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a.

Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.

Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Действительные числа разделяются нарациональные и иррациональные.

Вещественные (действительные) числа - это своего рода математическая абстракция, служащая для представления физических величин. Такие числа могут быть интуитивно представлены как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной иличисловой прямой. Формально вещественные числа состоят из более простых объектов таких, какцелые и рациональные числа.

Множество действительных чисел обозначается - R

Систематическим числом называется число, записанное в некоторой системе счисления. Для того, чтобы перевести число из системы счисления с основанием p в систему с основанием q, необходимо делить это число, а затем и неполные частные в системе p на q. Остатки от деления и будут цифрами.

Математическая модель

Математическая модель является самой сложной и наиболее общей и абстрактной по сравнению с изобразительной и аналоговой. В ней для отображения свойств изучаемого явления используются символы математического или логического характера. Особые трудности возникают при решении задач с большой размерностью, расплывчатой постановкой, неопределенностью информации и т.д. В постановке таких задач появляются неклассические моменты, такие, как плохая формализуемость, нестандартность, противоречивость.

Остановимся на понятии плохо формализуемой задачи, которое появля

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: