Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Одного корня, в ответе укажите больший из них.





Решение.

Область допустимых значений: .

При домножим на знаменатель:

Оба корня лежат в ОДЗ. Больший из них равен 5.

Ответ: 5.

 

Или

 

Решите уравнение .

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: −2.

 

В7

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

пусть дуга равна тогда

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,

Ответ: 60.

 

или

 

В треугольнике ABC угол C равен 90°, . Найдите tg A.

Решение.

 

Имеем:

Ответ: 0,25.

 

или

 

 

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота,

BC = 4 , BH = 4. Найдите tg A.

Решение.

Углы и равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

 

.

Ответ: 0,5.

или

 

Через концы A, B дуги окружности в 62 проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги. В треугольнике

 

Ответ: 118.

 

В8

Прямая у= -4х - 1 является касательной к графику функции

у = . Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

 

Ответ: −1

или

 

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

.

Ответ: −0,25.

 

Или

 

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

 

Решение.

Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

 

Ответ: 4.

В9

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Решение.

Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей параллелограммов со сторонами 2, 1, 4 и 4, 4, 1 уменьшенной на удвоенную площадь прямоугольника со сторонами 2, 4:

 

.

Ответ: 60

 

Или

 

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Решение.

Сторона ромба выражается через его диагонали и как

. Площадь ромба .

Тогда боковое ребро найдем из выражения для площади поверхности:

.

Ответ: 10.

 

или

 

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, правильной шестиугольной призмы ABCD площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

 

Решение.

Основание пирамиды такое же, как основание правильной шестиугольной призмы, и высота у них общая. Поэтому

 

Ответ: 4.

ЧАСТЬ 2

 

В10

 

Найдите значение выражения при .

Решение.

Поскольку , имеем:

Ответ: 12.

 

Или

 

Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

.

Ответ: 81.

 

Или

Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

= .

Ответ: -14.

 

Или

 

Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

 

Ответ: 1.

 

В11

Зависимость объeма спроса q ( единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой q= 100 – 10 p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q∙p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства :

 

Ответ: 6.

 

Или

 

Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле L = (м), где м/с – начальная скорость мячика, а g – ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20м?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения :

 

Ответ: 15.

Или

 

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Ом и Ом их общее сопротивление задаeтся формулой (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства Ом при известном значении сопротивления приборов Ом:

 

Ом.

Ответ: 10.

 

В12

В правильной шестиугольной призме ABCD все ребра равны .Найдите расстояние между точками B и

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора:

 

— большая диагональ правильного шестиугольника, ее длина равна его удвоенной стороне. Поэтому . Поскольку имеем:

Ответ: 5.

 

Или

 

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30 , 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

Ребро параллелепипеда напротив угла в равно , поскольку образует с заданной диагональю и диагональю одной из граней равнобедренный треугольник. Два другие ребра по построению лежат в прямоугольных треугольниках напротив угла в и равны половине диагонали. Тогда объем параллелепипеда:

 

Ответ: 4

 

Или

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 2 , а высота равна 2.

Решение.

Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как . Площадь боковой поверхности призмы тогда равна

 

 

Ответ: 36.

 

В13

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть км/ч – скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна км/ч, а скорость лодки против течения равна км/ч. На обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше, отсюда имеем:

 

Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.

 

Ответ: 3.

 

Или

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение.

Рабочий выполняет 1/15 часть заказа в час, поэтому за 3 часа он выполнит 1/5 часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий, и, работая вместе, два рабочих должны выполнить 4/5 заказа. Чтобы определить время совместной работы, разделим этот объём работы на совместную производительность:

часов.

Тем самым, на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов.

 

Ответ: 9.

 

Или

 

Бизнесмен получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал за 2003 год?

 

Решение.

Бизнесмен получил в 2000 году прибыль в размере рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300%, то есть в раза, по сравнению с предыдущим годом. За 2003 год Бубликов заработал

 

рублей.

Ответ: 320000.

 

 

В14

Найдите наибольшее значение функции у = 5 + 9х - на отрезке

[-3;3

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является:

Ответ: 23.

 

Или

 

Найдите точку максимума функции у = -

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 17.

 

Или

 

Найдите точку минимума функции у =(3 . -36 х +36)

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной: х=0,х =10

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума .

Ответ: 10.

 

Не забудьтеперенести все ответы в бланк ответов № 1  

 

 

 

Для записи решений и ответов на задания С1-С7используйте бланк

ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания

(С1,С2, т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

 

С1 а ) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Запишем уравнение в виде

 

Значит, или — уравнение не имеет корней, или , откуда

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку Получим число

Ответ: а) б)

Или

 

Решите уравнение:

Решение.

Преобразуем уравнение:

 

Откуда получаем, что

или

В первом случае решений нет. Во втором случае:

 

Ответ:

 

Или

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Перейдём к системе:

Рассмотрим первое уравнение системы:

 

 

Условию удовлетворяют только решения и

б) На отрезке корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем:

 

Ответ: а) б)

 

С2 В основании прямой призмы ABCD лежит квадрат АВСD

со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали В ,

причём ВЕ = 1.

а)Постройте сечение призмы плоскостью

б)Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.

Решение.

а) Прямые и лежат в одной плоскости и пересекаются в точке Аналогично, и лежат в одной плоскости и пересекаются в точке Трапеция — искомое сечение.

б) а

Поэтому

Из подобия треугольников и находим, что откуда Следовательно,

Аналогично,

Опустим перпендикуляр на прямую По теореме о трёх перпендикулярах и, значит, — искомый угол.

Из треугольника находим, что Тогда

Ответ: б)

 

или

 

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.

 

Решение.

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:

 

откуда

 

Плоскость проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид Для координат точек и имеем систему уравнений:

 

Не теряя общности, положим тогда Уравнение плоскости : вектор нормали к ней Тогда искомый угол между прямой и плоскостью равен

Ответ:

 

Приведем другое решение.

— искомый, так как это угол между прямой и ее проекцией

так как в силу того, что и

Рассмотрим

(т. к. — диагональ квадрата )

Ответ:

 

Или

 

Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC. Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

 

Решение.

Пусть отрезок ― хорда основания, параллельная Тогда треугольник является искомым сечением, так как плоскость содержит прямую и прямую параллельную Опустим перпендикуляр на прямую Согласно теореме о трех перпендикулярах также является перпендикуляром к значит,

Высота треугольника лежит в плоскости следовательно, и значит,

Далее находим:

1) из условия

2) из правильного треугольника

3) из прямоугольного треугольника

4) из прямоугольного треугольника

а)

б)

Ответ:

 

Или

 

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

 

Решение.

Пусть — высота правильной четырёхугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник — прямоугольный, откуда

Треугольник — прямоугольный равнобедренный, следовательно,

В треугольнике высота

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

 

где — радиус сферы.

Площадь сферы

 

Ответ:

 

 

. С3 Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств:

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

 

Сде­ла­ем за­ме­ну

 

Если то

Если то

Ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства: или

Решим вто­рое не­ра­вен­ство. Раз­де­лим обе части на

 

Сде­ла­ем за­ме­ну По­лу­ча­ем:

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства:

Пе­ре­сечём по­лу­чен­ные ре­ше­ния. Учи­ты­вая, что на­хо­дим мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы:

 

Ответ:

 

Или

 

Решите неравенство

Решение.

Преобразуем неравенство:

 

 

 

при условиях и Далее:

 

 

Учитывая условие неравенство можно опустить. Переходим к системе

 

 

откуда или Учитывая, что и находим.

 

Ответ:

 

Или

 

Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства задается соотношениями:

 

 

На области допустимых значений справедливы равносильности:

 

 

Поэтому на ОДЗ имеем:

 

С учетом ОДЗ получаем ответ.

Ответ:

С4

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка С а на другой — точки А и В причем треугольник АВС — равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС

Решение.

Заметим, что либо либо (или ).

Первый случай (рис. 1).

Пусть — точка касания вписанной окружности треугольника с основанием AB. — радиус окружности, вписанной в треугольник

Тогда — высота и медиана треугольника

Из прямоугольного треугольника находим, что

Тогда

но

Из равенства находим, что

Второй случай. (рис. 2)

Пусть — высота треугольника — радиус окружности, вписанной в треугольник

Тогда

Из прямоугольного треугольника находим, что

Из равенства получаем, что

 

Рассмотрим третий случай.

Третий случай состоит в том, что и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота будет лежать внутри треугольника и В этом случаем радиус будет равен

Ответ:

Или

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠ A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Решение.

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 3 соответственно. Для треугольника со стороной 5 радиус равен

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников и

Для треугольника со стороной 3 радиус равен

Чтобы найти площадь четырехугольника вычтем из площади параллелограмма площади треугольников и

Ответ: ,

Или

Окружности радиусов 2 и 3 с центрами и соответственно касаются в точке А. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую — в точке С. Найдите площадь треугольника ВС если <АВ

Решение.

Точки и лежат на од







Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.