Задачи оптимизации в проектировании

Компьютер не может “придумать” хорошую конструкцию, но может выбрать из множества предъявленных к анализу вариантов конструкции наилучший. Поэтому основная идея создания универсального аппарата оптимального проектирования заключается в том, чтобы дать конструктору удобный способ определения всего множества альтернатив, содержащего, по его предположению, требуемое решение, обеспечить оценку альтернатив и целенаправленный поиск наилучшей из них.

A – множество всех проектов, которые имеет смысл рассматривать в связи с решением данного технического задания (ТЗ). Тогда основная задача – найти такой элемент X^* Î A, который наилучшим образом соответствует поставленному ТЗ. Следует особо подчеркнуть, что в условиях, когда некоторая исполнительная система гарантирует нахождение наилучшего варианта из каким-то образом очерченной области, основная функция пользователя этой системы как раз и заключается в конструировании границ области поиска и признаков искомого варианта. Это ключевой момент в рациональном разграничении функций между конструктором и исполнительной системой оптимального проектирования. Но расплывчатое понятие множества всех проектов должно быть конкретизировано.

Чтобы к поиску на множестве всех проектов можно было привлечь аппарат параметрической оптимизации, следует представить это неструктурированное множество как объединение непересекающихся подмножеств, каждое из которых содержит всевозможные параметрические варианты определенной конструктивной схемы (КС):

A = A ₁È A ₂È¼È A_n, A_i Ç A_j =Æ, i ¹ j.

Элементы подмножеств A_j можно представить упорядоченным набором параметров соответствующей КС:

X = (x ₁, x ₂,... x_nj), X Î A_j.

Теперь проясняется, как могло бы быть сформировано множество всех проектов. Конструктор выбирает (из базы данных) или создает параметризованные описания перспективных, по его мнению, конструктивных схем, Каждая из которых представлена моделью геометрии и набором параметров (x ₁, x ₂,..., x_nj). После определения численных значений параметров геометрическая модель становится расчетным вариантом конструкции.

Каждое подмножество A_j параметризацией КС погружается в арифметическое пространство E^nj, что открывает возможность применения аппарата многомерной оптимизации. Упорядоченная совокупность параметров КС называется вектором проектных параметров X, хотя далеко не каждая точка многомерного пространства может претендовать на то, чтобы стать проектом.

Теперь «проектирование в узком смысле» (в рамках выбранной КС) сводится к взятию точки из арифметического пространства. Но не каждая точка в E^nj может претендовать на соответствие реализуемому проекту. Практически для всех размеров конструкции существуют разумные пределы:

a_i < x_i < b_i, i= 1,..., n_j,

которые называются прямыми ограничениями. Для опытного конструктора не составляет труда назначить разумные диапазоны значений основных проектных параметров. Множество значений проектных параметров, удовлетворяющих прямым ограничениям, называется областью поиска. Из всех вариантов проекта в области поиска надо найти такие, которые удовлетворяют всем обязательным техническим и тактическим требованиям (заданная масса, прочность элементов конструкции, устойчивость полета и т.п.), а из них затем выбрать наиболее предпочтительный по таким соображениям, как степень достижения цели проектирования, затраты на производство и эксплуатацию.

Работоспособность изделия на стадии проектирования оценивается по вычисленным значениям характеристик функционирования. Условия, регламентирующие поведение объекта, задаются неравенствами, сопоставляющими важнейшие характеристики функционирования проекта X, обозначаемые F_k (X), с допустимыми или требуемыми значениями F_k ^тр: F_k (X) ³ F_k ^тр, k = 1, 2,..., m, где символ ‘³ ’ обозначает произвольное отношение порядка (строгое, нестрогое неравенство или равенство). Эти условия называются функциональными ограничениями.

Подмножество D_j Ì A_j, для элементов которого выполняются все прямые и функциональные ограничения, называется допустимой областью проектов:

D_j = { X: F_k (X) ³ F_k ^тр, k = 1, 2,..., m; a_i < x_i < b_i, i = 1,..., n_j; X Î A_j }.

Все работоспособные варианты рассматриваемой конструктивной схемы (и только работоспособные варианты) находятся в допустимой области, если ее границы сформированы правильно.

Определение ограничений, формирующих допустимую область, – одна из самых важных функций проектировщика. Дело в том, что ТЗ содержит не только требования к характеристикам функционирования непосредственно (например, “дальность не менее заданной”). Такая позиция как “кучность не хуже, чем у прототипа” может быть оценена на этапе полигонных испытаний, а на стадии проектирования выполнение этого требования лишь косвенно предусматривается ограничением на значение коэффициента гироскопической устойчивости. В каких пределах значения этого коэффициента обеспечивают допустимое рассеивание – решать проектировщику. Так же приходится интерпретировать и требование прочности: выбрать опасные сечения, решить, какие максимальные или остаточные прогибы можно считать допустимыми, чтобы нормальное функционирование изделия не было нарушено. Результатом этой работы является система прочностных ограничений.

Рис. 1. Допустимая область, выделенная прямыми и функциональными ограничениями

С другой стороны, в системе оптимального проектирования формирование системы ограничений исчерпывает участие проектировщика в процессе поиска допустимых вариантов. При наличии полного комплекта программного обеспечения, необходимого для вычисления характеристик функционирования, и соответствующих служебных процедур, обеспечивающих комплексные расчеты, проблема отыскания допустимых вариантов становится формальной задачей. Это очень важно с точки зрения сроков проектирования. На начальной стадии проектирования приходится анализировать различные конструктивные схемы, как это было видно в примере. Первая задача проектировщика состоит в том, чтобы подобрать размеры конструкции для выполнения основных требований ТЗ. Нет никакой уверенности в том, что выбранная конструктивная схема позволяет выполнить требования ТЗ, то есть, в допустимой области содержатся хоть какие-то варианты. Подтверждение работоспособности рассматриваемой конструктивной схемы или, напротив, отсутствие допустимых вариантов, если эти факты установлены достаточно быстро некоторой исполнительной системой, позволяет достаточно оперативно провести поиск перспективной конструктивной схемы.

Если допустимая область не пуста, то есть, ограничения совместны, существует бесконечно много вариантов проекта, удовлетворяющих всем обязательным требованиям. Единственное наилучшее решение можно найти из условия максимума (или минимума) критерия качества, но только в том случае, когда критерием является одна (и только одна) функциональная характеристика W(X). Такого рода скалярный критерий качества называется целевой функцией. На рис. 1 показана ситуация с непустой допустимой областью, образованной тремя функциональными и двумя прямыми ограничениями. Угловая точка, наиболее продвинутая в направлении возрастания целевой функции, является оптимальным решением проектной задачи с двумя варьируемыми переменными.

Формально задачу оптимизации по скалярной целевой функции можно записать так:

.

Это выражение означает, что X_j^* есть оптимальная реализация j -ой конструктивной схемы по критерию W в допустимой области D_j.

Представленная модель оптимального проектирования реализуема, но не вполне адекватна реальным задачам. Как правило, проектируются многоцелевые объекты, поэтому критерий качества должен учитывать несколько одновременно показателей:

W (X) = (W₁(X),..., W_s(X)).

Частными показателями W_i(X) могут быть, например, эффективность и стоимость выполнения операции, эффективность поражения разных типовых целей, эффективность действия по одной и той же типовой цели, но на разных рубежах и т.п. В этом случае отношение “больше-меньше” смысла не имеет. Улучшение одних критериев, скорее всего, вызывает ухудшение других. Существенное повышение эффективности, сопровождается усложнением и, следовательно, увеличением стоимости изделия, мероприятия по повышению вероятности поражения легкоуязвимой цели (увеличение количества поражающих элементов для повышения плотности поля за счет их массы) приведут к снижению эффективности действия легкобронированной цели.

Проблема установления компромисса между противоречивыми показателями качества не имеет формального решения. Так или иначе, к ее решению привлекается сам постановщик задачи для получения от него дополнительной информации о соотношении различных показателей, для принятия волевых решений и т.п. Модель оптимального проектирования невозможно построить без учета механизмов взаимодействия исполнительной системы с пользователем, поэтому необходимо провести обзор методов многокритериальной оптимизации немедленно.

Методы оптимизации

При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется постановкой оптимальной задачи, а также используемой математической моделью объекта оптимизации.

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы:

Методы исследования функций классического анализа представляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач, которые известны из курса математического анализа. Обычной областью использования данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как, правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы.

Методы вариационного исчисления обычно используют для решения задач, в которых критерии оптимальности представляются в виде функционалов и решениями которых служат неизвестные функции.

Динамическое программирование служит эффективным методом решения задач оптимизации дискретных многостадийных процессов, для которых критерий оптимальности задается как аддитивная функция критериев оптимальности отдельных стадий.

Принцип максимума применяют для решения задач оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений.

Линейное программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для решения оптимальных задач с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Такие задачи обычно встречаются при решении вопросов оптимального планирования производства с ограниченным количеством ресурсов, при определении оптимального плана перевозок (транспортные задачи) и т. д.

Методы нелинейного программирования применяют для решения оптимальных задач с нелинейными целевыми функциями. На независимые переменные могут быть наложены ограничения также в виде нелинейных соотношений, имеющих вид равенств или неравенств. По существу методы нелинейного программирования используют, если ни один из перечисленных выше методов не позволяет сколько-нибудь продвинуться в решении оптимальной задачи.

Геометрическое программирование – метод решения одного специального класса задач нелинейного программирования, в которых критерий оптимальности и ограничения задаются в виде позиномов – выражений, представляющих собой сумму произведений степенных функций от независимых переменных. С подобными задачами иногда приходится сталкиваться в проектировании. Кроме того, некоторые задачи нелинейного программирования иногда можно свести к указанному представлению, используя аппроксимационное представление для целевых функций и ограничений.

Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: