Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок

ОТЧЁТ

ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Дисциплина: «Теория автоматического управления»

Работа №________

Наименование:_______________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Группа________________Бригада №______________

Состав бригады: 1. ____________________________

2. ____________________________

3. ____________________________

Работа защищена:_________________________________

Преподаватель:___________________________________

200_ г.

Приложение 2

Пример определения устойчивости и влияния

параметров САУ на ее устойчивость по критерию Гурвица

Исходные данные:

1) Передаточная функция САУ (в замкнутом состоянии):

; (П2.1)

2) Численные значение параметров:

k =, Т₁ =, Т₂ =, Т₃ =

(численные значения не приводятся, так как задача решается в общем виде).

1. Определим устойчивость заданной САУ по критерию Гурвица.

1.1. Формулировка критерия.

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы при все диагональные миноры определителя Гурвица были положительными.

Определитель Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения заданной системы по определенным правилам.

1.2. Найдем характеристическое уравнение заданной системы.

Формально это можно сделать очень просто – достаточно приравнять нулю знаменатель передаточной функции заданной САУ:

. (П2.2)

Здесь p – корень (решение) уравнения (П2.2).

Раскроем скобки, приведем подобные и запишем характеристическое уравнение в принятой форме записи:

(П2.3)

Обозначим коэффициенты уравнения и найдем их значения:

(П2.4)

В принятых обозначениях характеристическое уравнение будет иметь вид:

. (П2.5)

1.3. Составим определитель Гурвица, запишем условия устойчивости и определим устойчивость САУ.

Правила составления определителя:

· по главной диагонали выписываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с ,

· столбцы таблицы, начиная от главной диагонали, заполняются вверх коэффициентами характеристического уравнения с возрастающими индексами, вниз с убывающими,

· все коэффициенты с индексами меньше нуля и больше n заменяются нулями (n – степень характеристического уравнения).

Определитель Гурвица:

а1	а3
а0	а2
	а1	а3

D₃ =

Условия устойчивости:

1) D₁ = ,

а1	а3
а0	а2

2) D₂ = = (отсюда ),

3) D₃ = D₂ (отсюда ).

Окончательно условие устойчивости получим в следующем виде:

1) , , , , (П2.6)

2) .

Положительность всех коэффициентов характеристического уравнения – это не что иное, как необходимое условие устойчивости. В данном примере оно выполняется, так как параметры реальной системы не могут быть отрицательными.

Таким образом, для определения устойчивости исследуемой системы достаточно найти знак предпоследнего определителя Гурвица .

Если , то САУ устойчивая,

если , то неустойчивая.

При система находится на границе устойчивости.

2. Определим влияние параметров системы на ее устойчивость.

Прежде всего необходимо найти граничные значения интересующих параметров системы (возьмем, к примеру, коэффициент передачи k и постоянную времени ).

2.1. Найдем граничное значение коэффициента передачи .

Для этого запишем условие нахождения заданной САУ на границе устойчивости () через параметры САУ и возьмем в качестве неизвестного параметра коэффициент передачи системы :

= . (П2.7)

Из (П2.7) найдем :

.

2.2. Найдем граничное значение постоянной времени :

Теперь возьмём в качестве неизвестного параметр и запишем условие границы устойчивости:

При заданных Т₁, Т₂, и k уравнение (П2.8) является уравнением с одним неизвестным. Решив его, найдем .

Обратим внимание, что по отношению к уравнение (П2.8) будет квадратным, поэтому будет иметь два значения.

Аналогично, если это потребуется, можно найти граничные значения и .

Для определения влияния параметра на устойчивость заданной САУ необходимо дополнительно исследовать устойчивость системы при уменьшении и увеличении этого параметра относительно его граничных значений.

Полученные результаты дают возможность построить области устойчивости (неустойчивости) САУ по интересующим параметрам.

Пример синтеза последовательного корректирующего

устройства для САУ, заданной в лабораторной работе № 4

Исходные данные:

1) структурная схема заданной САУ приведена на рис. 4.5,

2) численные значение параметров:

k₁ = 2.6, k₂ = 5, k₃ = 40, T₁ = 0.013 c, T₂ = 0.125 c,

3) ошибка САУ в установившемся режиме не превышает допустимое значение (),

4) требования, предъявляемые к качеству системы в переходном режиме:

T_{рег. доп} ≤ 0.95с, s _{max. доп}% ≤ 25%, к_{кол. доп} ≤ 3,

5) заданная САУ неустойчивая,

6) место включения КУ выбрано, см. рис. 4.6.

После того как выбран тип корректирующего устройства и место его включения, заключительный этап синтеза можно представить следующими расчётно-графическими операциями.

1. Строится асимптотическая ЛАЧХ нескорректированной системы – L_нс (ω ) в разомкнутом состоянии, с учётом k_тр.

Заданная САУ одноконтурная и состоит из типовых устойчивых звеньев. В этом случае для построения L_нс (ω) достаточно рассчитать:

· 20 lgk_тр = 20 lg () = 20 lg (2.6·5·40) = 54.3 дб,

· частоты сопряжения всех звеньев системы (в данном примере двух апериодических звеньев)

ω_ср1 = 1/T₁ = 1/0.013 = 76.9 рад/с и ω_ср2 = 1/T₂ = 1/0.125 = 8 рад/с.

По оси абсцисс возьмём равномерный логарифмический масштаб lgω. Поэтому частоты сопряжения пересчитаем в десятичные логарифмы частоты

lg ω_ср1 = lg 76.9 = 1.89 дек и lg ω_ср2 = lg 8.0 = 0.90 дек.

В координатной плоскости [L (ω), lg (ω)] при частоте ω =1 (lg 1 = 0 дек) отложим ординату 20 lgk_тр = 54.3 дб и логарифмы частот сопряжения lg ω_ср1 = 1.89 дек и lg ω_ср2 = 0.90 дек (см. рис. П3.1).

Построение ведём слева направо. В низкочастотной области (до минимальной частоты сопряжения) асимптотическая L_нс (ω) – прямая линия, проходящая под наклоном –20 дб/дек (ν = 1) через точку с координатами (20 lgk_тр, 0). При частотах сопряжения апериодических звеньев наклон L_нс (ω) изменяется на минус 20 дб/дек. Таким образом, асимптотическая L_нс (ω) представляет собой ломаную прямую с наклонами –20, –40 и –60 дб/дек.

2. Строится асимптотическая желаемая ЛАЧХ – L_ж (ω).

Построение будем вести позонно, начиная со среднечастотной зоны.

Для построения СЧЗ необходимо определить частоту среза ω_с желаемой ЛАЧХ и ординаты начала и конца зоны.

Определим ω_с.

При заданном s _{max. доп}% по рис. 4.4, а определяется P_max, по P_max и графику T_рег = f (P_max) находится соотношение между временем регулирования и частотой среза желаемой ЛАЧХ

.

В нашем примере при s _{max. доп}% = 25%, P_max = 1.23, а время регулирования

.

При заданном допустимом времени регулирования (T_{рег. доп} = = 0.95с) частоту среза найдём по формуле:

lgω_c = lg 11.6 = 1.064 дек.

Определим ординаты начала и конца среднечастотной зоны.

Ординаты начала и конца СЧЗ ориентировочно берутся равными требуемому запасу устойчивости по модулю DL_тр с разными знаками. Требуемые запасы устойчивости по модулю и по фазе можно найти по рис. 4.4, б.

В нашем случае при P_max = 1.23 требуемый запас устойчивости по модулю DL_тр = 16 дб, по фазе g_тр = 43 град.

Среднечастотная асимптота L_ж (ω) проводится под наклоном –20 дб/дек через точку на оси абсцисс, имеющую частоту в логарифмическом масштабе lgω_с. Начальную и конечную ординаты принимаем равными .

Высокочастотная зона L_ж (ω) проводится так, чтобы разность наклонов между L_ж (ω) и L_нс (ω) не превышала 20 дб/дек до тех пор, пока наклоны этих характеристик не совпадут по величине. В нашем примере, начиная с частоты lgω_ср1 и до пересечения с L_нс (ω), высокочастотную зону проводим под наклоном – 40 дб/дек. При частоте lgω_ср3 ( в точке пересечении L_ж (ω) и L_нс (ω)), чтобы не усложнялось корректирующее устройство, увеличиваем наклон L_ж (ω) до –60 дб/дек.

В низкочастотной зоне L_ж (ω) должна совпадать с L_нс (ω). Поэтому построение L_ж (ω) имеет смысл продолжить с участка асимптоты, соединяющего среднечастотную и низкочастотную зоны. Поведём его под наклоном – 40 дб/дек от частоты lgω_ср4 влеводо пересечения с характеристикой L_нс (ω). В точке пересечения при частоте lgω_ср5 уменьшим наклон до –20 дб/дек и проведём асимптоту L_ж (ω), совпадающую с L_нс (ω). Этой графической операцией завершается построение асимптотической желаемой ЛАЧХ.

3. Определяется ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства – L_к (ω).

Определим L_к (ω) по формуле (4.6) графическим вычитанием ординат L_нс (ω) из ординат L_ж (ω).

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: