|
|
Методы регрессионного и корреляционного анализаДля проведения регрессионного анализа необходимо выполнение следующих условий: 1. Входной параметр х измеряется с пренебрежимо малой ошибкой. Появление ошибки в определении у объясняется наличием в процессе невыявленных переменных, не вошедших в уравнение регрессии. 2. Результаты наблюдений над выходными величинами 3. При проведении эксперимента с объемом выборки N при условии, что каждый опыт повторен m раз, выборочные дисперсии Определение однородности дисперсий сводится к следующему: 1) вычисляется среднее из результатов параллельных опытов:
2) определяются выборочные дисперсии:
3) находится сумма дисперсий 4) составляется отношение:
где Если выборочные дисперсии однородны, рассчитывается дисперсия воспроизводимости:
Число степеней свободы этой дисперсии f равно:
Дисперсия воспроизводимости необходима для оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии. Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента:
где Если
Если
Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, поскольку коэффициенты коррелированы друг с другом. Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера:
где
Если отношение (2а) меньше табличного
то уравнение адекватно. При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспроизводимости
Тогда адекватность принятого уравнения оценивается сравнением
по критерию Фишера
В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное:
для выбранного уровня значимости р и чисел степеней свободы, тем эффективнее уравнение регрессии. Метод множественной корреляции Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, пользуются уравнениями множественной регрессии:
Здесь мы имеем дело уже не с линией регрессии, а с поверхностью регрессии при При построении поверхности отклика на координатных осях факторного пространства откладываются численные значения параметров (факторов). Исходный статистический материал представляют в виде (табл. 3.1). Таблица 3.1
Прежде всего, перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений случайных величин по формулам:
где
В табл. 3.2 приведен статистический материал в новом масштабе: Таблица 3.2
В новом масштабе имеем:
Выборочный коэффициент корреляции (1) при этом равен:
Вычисленный по формулам (3) выборочный коэффициент корреляции равен коэффициенту корреляции между переменными, выраженными в натуральном масштабе Уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид:
Коэффициенты уравнения находятся из условия:
Условия минимума функции Ф определяются так же, как в случае зависимости от одной переменной:
и система нормальных уравнений принимает вид:
Умножим левую и правую части уравнений (4) на
имеем систему нормальных уравнений:
Следует иметь в виду, что Решив систему, рассчитывают коэффициент множественной корреляции
Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии В случае выборок небольшого объема в величину R необходимо внести коррекцию на систематическую ошибку. Чем меньше число степеней свободы выборки
Для практического использования уравнения необходимо перейти к натуральному масштабу по формулам:
При наличии параллельных опытов можно рассчитать дисперсию воспроизводимости и провести статистический анализ уравнения регрессии.   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины.
должны быть однородны.
, 
;
, 
;
;
,
– максимальное значение выборочной дисперсии. Дисперсии однородны в том случае, когда 
, где 
– табулированное значение критерия Кохрена при уровне значимости р.
.
.
,
– j-ый коэффициент уравнения регрессии; 
– среднее квадратичное отклонение j-го коэффициента.
больше табулированного 
[5, 6, приложение 1] для выбранного уровня значимости р и числа степеней свободы f, то коэффициент 
.
, получим:
.
, (2а)
– остаточная дисперсия:
.
[5, 6, приложение 2]:
, 
, 
,
остаточная дисперсия определяется следующим образом:
.
и дисперсии относительно среднего 
:
. (2б)
, 
, 
.
и с гиперповерхностью при 
. В общем случае, как указывалось выше, эту поверхность называют поверхностью отклика.
, 
,
, 
– нормированные значения соответствующих факторов; 
– средние значения факторов; 
, 
– среднеквадратичные отклонения факторов:
, 
, 
; 
, 
, 
; 
, 
. (3)
.
.
.
, 
, …, 
. (4)
. В результате при каждом коэффициенте 
получим выборочный коэффициент корреляции 
. Принимая во внимание:
.
. Коэффициенты корреляции легко вычисляются простым перемножением соответствующих столбцов таблицы. Для многопараметрических процессов система оказывается высокого порядка и для ее решения необходимо использовать вычислительную машину.
.
.
, тем сильнее преувеличивается сила связи, оцениваемая коэффициентом множественной корреляции. Формула для скорректированного значения коэффициента 
:
.
, 
; 
.