Электро-магнитная волна (ее уравнение).
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Электро-магнитная волна (ее уравнение).





Задача 2. Показать, что уравнение плоской волны Hz=Hо·соs(ωt-kx+φо) является решением волнового уравнения.

Анализ:По волновой теории свет является электромагнитной волной. Электромагнитной волной называются колебания электрического и магнитного полей (т.е. векторов напряженностей электрического Еи магнитного Н полей), распространяющиеся в пространстве.

Электромагнитная волна является непосредственным следствием уравнений Максвелла. Можно показать (см. литературу), что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электрическое и магнитное поля, векторы напряженностей Еи Нпеременных электрического и магнитного полей удовлетворяют волновому уравнению:

(1.1)

(1.2)

где u - фазовая скорость, скорость распространения фазы, т.е. скорость распространения волны с одной определенной частотой или длинной волны. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением: , где с скорость света в вакууме

, n – показатель преломления среды,

 

 

а eо и mо - соответственно электрическая и магнитная постоянные,

e и μ - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды; - оператор Лапласа.

В вакууме (при ε = 1 и μ = 1) скорость электромагнитных волн совпадает со ско­ростью света. Так как для произвольного вещества ε∙μ > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в ва­кууме.

Если вектор Енаправить вдоль осиу, Н – вдоль z, а υ –вдоль х, то уравнения (1.1 и 1.2) можно переписать в виде (1.3, 1.4), где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают то, что вектора Е и Н направлены вдоль взаимно перпен­дикулярных осей у и z. Полученные волновые уравнения для одномерного случая (распространение волны вдоль оси х), имеют вид:



(1.3)

(1.4)

Решением данных уравнений являются уравнения волны, распространяющейся вдоль оси х, такую волну называют плоской:

Еу=Еосоs(ωt-kx+φо) (1.5) Hz=Hосоs(ωt-kx+φо) (1.6)

Еу=Еоsin(ωt-kx+φо) (1.5’)

Hz=Hоsin(ωt-kx+φо) (1.6’)

где Ео и Hо – соответственно амплитуды (максимальные значения) напряженностей электрического и магнитного полей волны, ω – круговая частота волны, k – волновое число, х – координата, расстояние от источника волны (света) до точки, в которой происходит наблюдение волны, t - время, через которое, после начала излучения волны, происходит ее наблюдение, φо - начальная фаза колебаний в точках с координатой х=0 и t=0 (при рассмотрении волны начало отсчета координаты и времени обычно выбирают так, чтобы φо стала равной нулю, φо=0). От начальной фазы зависит по какому закону будут происходить колебания Е и Н: по 1.5 и 1.6 или 1.5’ и 1.6’. В уравнениях (1.5 и 1.6) φо одинаково, поскольку колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.

Решение:Для проверки того, что данное уравнение Hz=Hосоs(ωt-kx+φо) является решением волнового уравнения необходимо его дважды продифференцировать по координате х и по времени t.

Дифференцируя дважды по координате х, получим:

;

и по времени t, получим:

.

Подставив в волновое уравнение:

,

получаем: k2 = ω2/υ2. Учитывая, что k = 2π/λ; ω = 2πν и λν = υ, видно, что выражение k2 = ω2/υ2 является тождеством, и, следовательно, данное уравнение плоской волны для Н (данное в условии задачи) является решением волнового уравнения.

 

Задача 3. Найти компоненты напряженностей электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны и величину ее интенсивности на расстоянии Х = 1,75 λ (длины волны) от источника через t = 3,75Т (периода) после начала испускания волны, если Н0 = 0.04 А/м. Считать, что колебания Н происходят по закону косинуса и по оси У.

Дано: Х = 1,75 λ; t = 3,75 Т; Н0 = 0,04 А/м

Найти: Е, Н, I

Анализ:По волновой теории свет является электромагнитной волной. Электромагнитной волной называются колебания электрического и магнитного полей (т.е. векторов напряженностей электрического Еи магнитного Н полей), распространяющиеся в пространстве.

Вектора Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей вол­ны перпендикулярны вектору скорости υ распространения вол­ны, и три вектора Е, Н и υ образуют правовинтовую систему (см. рис. 5-2а).

Е Y

 
 

 


 

 

υ Х

Н Z

Рис. 5-2а Рис. 5-2б

Сопоставляя рисунки 5-2а и 5-2б (рис. 5-2б - правая тройка для координат XYZ), видно, что если скорость направлена по оси Х, а колебания магнитного поля (Н) по оси Y, то колебания электрического поля должны происходить по оси Z в отрицательном направлении оси.

Решение: Уравнение для напряженности магнитного поля электромагнитной волны имеет вид: Hу = Hосоs(ωt-kx+φо) где Н0 – амплитудное значение напряженности магнитного поля электромагнитной волны; ω – циклическая частота имеет соотношение с периодом: ω=2π/Т; k - волновое число определяется через длину волны λ соотношением: k = 2π/λ; φо - начальная фаза, которую можно считать равную нулю (φо=0).

Используя данное уравнение, можем найти значение Н в данный момент времени и в данной точке пространства, т.е.

Н = 0,04 соs (2π · 3,75 + 2π · 1,75) = - 0,04 (А/м).

Для нахождения напряженности электрического поля воспользуемся соотношением Н и Е для электромагнитной волны: ,

где εо и μо - электрическая и магнитная постоянные соответственно; ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости, для вакуума (воздуха) равны единице (ε = 1 и μ = 1).

Отсюда:

Подставим значения: - 15,07 (В/м)

Величина интенсивности электромагнитной волны определяется через вектор Умого – Пойтинга . Подставляя величину вектора Умого – Пойтинга и беря интеграл, получим ,

где Е0 и Н0 – амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей.

Для нашего случая I = 0,04 · 15,07/2 = 0,3 (Вт/м2).

Ответ:Е = -15,07 (В/м); Н = - 0,04 (А/м); I = 0,3 (Вт/м2).

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.