Электро-магнитная волна (ее уравнение).

Задача 2. Показать, что уравнение плоской волны H_z=H_о·соs(ωt-kx+φ_о) является решением волнового уравнения.

Анализ: По волновой теории свет является электромагнитной волной. Электромагнитной волной называются колебания электрического и магнитного полей (т.е. векторов напряженностей электрического Е и магнитного Н полей), распространяющиеся в пространстве.

Электромагнитная волна является непосредственным следствием уравнений Максвелла. Можно показать (см. литературу), что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электрическое и магнитное поля, векторы напряженностей Е и Н переменных электрического и магнитного полей удовлетворяют волновому уравнению:

где u - фазовая скорость, скорость распространения фазы, т.е. скорость распространения волны с одной определенной частотой или длинной волны. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением:

, где с скорость света в вакууме

а e_ои m_о - соответственно электрическая и магнитная постоянные,

e и μ - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды;

- оператор Лапласа.

В вакууме (при ε = 1 и μ = 1) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света. Так как для произвольного вещества ε∙μ > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

Если вектор Е направить вдоль оси у, Н – вдоль z, а υ – вдоль х, то уравнения (1.1 и 1.2) можно переписать в виде (1.3, 1.4), где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают то, что вектора Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z. Полученные волновые уравнения для одномерного случая (распространение волны вдоль оси х), имеют вид:

Решением данных уравнений являются уравнения волны, распространяющейся вдоль оси х, такую волну называют плоской:

Е_у = Е_о соs(ωt-kx+φ_о) (1.5) H_z = H_о соs(ωt-kx+φ_о) (1.6)

где Е_о и H_о – соответственно амплитуды (максимальные значения) напряженностей электрического и магнитного полей волны, ω – круговая частота волны, k – волновое число, х – координата, расстояние от источника волны (света) до точки, в которой происходит наблюдение волны, t - время, через которое, после начала излучения волны, происходит ее наблюдение, φ_о - начальная фаза колебаний в точках с координатой х=0 и t=0 (при рассмотрении волны начало отсчета координаты и времени обычно выбирают так, чтобы φ_о стала равной нулю, φ_о=0). От начальной фазы зависит по какому закону будут происходить колебания Е и Н: по 1.5 и 1.6 или 1.5’ и 1.6’. В уравнениях (1.5 и 1.6) φ_о одинаково, поскольку колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.

Решение: Для проверки того, что данное уравнение H_z = H_о соs(ωt-kx+φ_о) является решением волнового уравнения

необходимо его дважды продифференцировать по координате х и по времени t.

Дифференцируя дважды по координате х, получим:

получаем: k ² = ω ²/ υ ². Учитывая, что k = 2π/λ; ω = 2πν и λν = υ, видно, что выражение k ² = ω ²/ υ ² является тождеством, и, следовательно, данное уравнение плоской волны для Н (данное в условии задачи) является решением волнового уравнения.

Задача 3. Найти компоненты напряженностей электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны и величину ее интенсивности на расстоянии Х = 1,75 λ (длины волны) от источника через t = 3,75Т (периода) после начала испускания волны, если Н₀ = 0.04 А/м. Считать, что колебания Н происходят по закону косинуса и по оси У.

Вектора Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны перпендикулярны вектору скорости υ распространения волны, и три вектора Е, Н и υ образуют правовинтовую систему (см. рис. 5-2а).

Сопоставляя рисунки 5-2а и 5-2б (рис. 5-2б - правая тройка для координат XYZ), видно, что если скорость направлена по оси Х, а колебания магнитного поля (Н) по оси Y, то колебания электрического поля должны происходить по оси Z в отрицательном направлении оси.

Решение: Уравнение для напряженности магнитного поля электромагнитной волны имеет вид: H_у = H_осоs(ωt-kx+φ_о) где Н₀ – амплитудное значение напряженности магнитного поля электромагнитной волны; ω – циклическая частота имеет соотношение с периодом: ω=2π/Т; k - волновое число определяется через длину волны λ соотношением: k = 2π/λ; φ_о - начальная фаза, которую можно считать равную нулю (φ_о=0).

Используя данное уравнение, можем найти значение Н в данный момент времени и в данной точке пространства, т.е.

Для нахождения напряженности электрического поля воспользуемся соотношением Н и Е для электромагнитной волны:

где ε_о и μ_о - электрическая и магнитная постоянные соответственно; ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости, для вакуума (воздуха) равны единице (ε = 1 и μ = 1).

Величина интенсивности электромагнитной волны определяется через вектор Умого – Пойтинга

. Подставляя величину вектора Умого – Пойтинга и беря интеграл, получим

где Е₀и Н₀– амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: