Оптимизация при вероятностных прочностных расчетах элементов конструкций

Проектирование различных конструкций требует компро- миссного выбора ряда параметров. К их числу относятся пара- метры надежности технического устройства, форма и физиче- ские особенности его элементов, стоимость изготовления и за- траты при эксплуатации. Надежность зависит от соотношения между распределениями случайных величин, которыми являют- ся прочность S и напряжение (нагрузка) R. Параметры этих рас- пределений (математические ожидания m_R и m_S и среднеквадра-

тичные отклонения σ _R и σ _S) зависят от конструктивных парамет- ров, свойств материалов, характера их обработки и, следова- тельно, от материальных затрат на изготовление и эксплуатацию технического устройства, конструкции. В связи с этим возника- ет необходимость либо максимизировать надежность при неко- торых ограничениях стоимости, либо минимизировать затраты при условии, что будет достигнут требуемый уровень надежно- сти. Таким образом, задача по оптимизации прочностных расче- тов сводится к нахождению условного экстремума функции не- скольких случайных переменных.

Рассмотрим задачу максимизации вероятности безотказной работы конструкции при некоторых ограничениях на ресурсы. При этом будем полагать, что прочность и напряжения являются независимыми случайными величинами, распределенными по нормальному закону. Согласно формуле (4.6) вероятность без- отказной работы зависит от значения верхнего предела интегра-

ла b0 =

mS - mR

, причем для ее максимизации нужно увели-

чить значение этого предела.

Обозначим через

C 1 (mS)

зависимость стоимости от значе-

ния средней прочности. Понятно, что для повышения средней прочности может потребоваться применение лучшего материа- ла, других процессов термической обработки или лучших мето- дов контроля за процессами изготовления материалов, что, есте-

ственно, обычно увеличивает затраты. Таким образом, C 1 (mS) –

монотонно возрастающая функция от

mS. Обозначим через

С ₂ (σ _S) зависимость стоимости от среднего квадратичного от- клонения прочности. С точки зрения надежности желательно уменьшение s S, для чего необходимо устранить такие факторы, вызывающие изменчивость прочности, как недостаточная чис- тота обработки поверхности, эффект скалывания или неодно-

родная внутренняя структура, а потому функция нотонно убывающая от s S.

C 2 (s S)

– мо-

Пусть

C 3 (mR)

и C 4 (s R)

обозначают функции затрат, свя-

занные с математическим ожиданием и дисперсией напряжения

соответственно. Очевидно, что при меньших значениях mR

и s R

вероятность безотказной работы будет выше. Для умень-

шения значений этих величин может потребоваться увеличить размеры элемента и уменьшить колебания размеров, а также лучше контролировать нагрузки, действующие на элемент. Сле-

довательно,

C 3 (mR)

и C 4 (s R)

– монотонно убывающие функ-

ции своих аргументов.

Теперь можно записать постановку оптимизационной задачи:

b0 =

mS - mR

® max,

(6.18)

C 1 (mS) + C 2 (s S) + C 3 (mR) + C 4 (s R) £ C,

где С – количество имеющихся ресурсов.

Для решения можно использовать любой метод условной оптимизации, например метод Лагранжа, который позволяет перейти от задачи на условный экстремум к задаче на безуслов- ный экстремум расширенной функции Лагранжа:

-1

L (m,s, m, s) = (m - m)(s2 + s2) 2 +

S S R R S R S R

+ l[ C 1(mS) + C 2 (s S) + C 3 (mR) + C 4 (s R) - C ].

(6.19)

Необходимым условием экстремума этой функции является равенство нулю ее градиента. В результате получаем алгебраи- ческую систему уравнений, решая которую, получим значения локальных экстремумов.

Пример 6.3 [12]. Требуется рассчитать стержень, испыты- вающий растягивающее напряжение под действием случайных нагрузок. Стержень может изготавливаться из различных мате- риалов, имеющих различные значения предела прочности на растяжение. Другие значения средней прочности материала и ее

изменчивость можно получить либо путем термической обра- ботки, либо применением некоторых других способов контроля технологических процессов, что потребует дополнительных за- трат. На основании информации о стоимости материала, терми- ческой обработки и технологических процессов можно опреде-

лить функции затрат

C 1 (mS)

и C 2 (s S). Размеры и допуски

стержня определяют функции затрат

C 3 (mR)

и C 4 (s R). Увели-

чение допусков означает более высокую изменчивость напря- жений в стержне. Уменьшение допусков потребует лучших ме- тодов контроля за процессами изготовления и, следовательно, приведет к увеличению затрат. В реальных условиях расчета элемента, работающего на растяжение, для определения функ- ции затрат необходимы данные о всех перечисленных факторах. Таким образом, математическая формулировка оптимиза- ционной задачи имеет вид (6.18). Решая ее методом Лагранжа, запишем расширенную функцию в виде (6.19), необходимые

условия экстремума которой имеют вид:

¶ L -1 ¶ C (m)

= (s2 + s2) 2 + l 1 S = 0,

(6.20)

¶ m S R ¶ m

S S

¶ L -1 ¶ C (m)

= (s2 + s2) 2 + l 2 R = 0,

(6.21)

¶ L -1

¶ C (s)

= -s (m - m)(s2 + s2) 2 + l 3 S = 0,

(6.22)

¶s S S R S R ¶s

S S

¶ L -1 ¶ C (s)

= -s (m - m)(s2 + s2) 2 + l 4 R = 0,

(6.23)

¶s R S R S R ¶s

R R

¶ L = C (m

) + C (s) + C (m) + C (s

) - C = 0.

(6.24)

¶l 1 S

2 S 3 R 4 R

Можно доказать, что матрица Гессе данной задачи является

что функция цели является выпуклой, если

s S / s R ³ 1 /,

а потому найденное в дальнейшем решение будет глобальным оптимумом.

Из уравнений (6.20) и (6.21) получаем:

¶ C 1 (mS) =¶ C 2 (mR);

(6.25)

¶ mS ¶ mR

из уравнений (6.22) и (6.23) получаем:

1 ¶ C 3 (s S) =1

s S ¶s S s R

¶ C 4 (s R).

¶s R

(6.26)

Положим, что имеются алгебраические формулы функций

С_i [12]:

C (m) = 0, 2 m 1,5;

C (m) = 100 m -1,2;

C (s) = 100s-0,6;

1 S S

2 R R

3 S S

) = 50s-0,7.

= 27, 425 m -0,3125, а из (6.26)

Дальнейшее решение проводим численно и получаем оп-

тимальное решение:

b0 = 1, 700,

H = 0,955,

mS = 24,94

МПа,

mR = 10, 037 МПа, s S = 6,525 МПа, s R = 5,813 МПа.

Теперь рассмотрим задачу, обратную по отношению к пре- дыдущей, – задачу определения конструкции минимального веса (наиболее важный и часто используемый критерий оптимально- сти конструкции) при известных ограничениях по надежности.

Обычно конструкция – это совокупность таких элементов, как стержень, пластина, оболочка и т.д. Поставим задачу найти такое распределение надежности элементов, которое обеспечи- вало бы надежность всей конструкции в целом при выполнении критерия оптимальности.

Предположим, что конструкция состоит из n элементов, связанных между собой известным образом. Формы этой связи

могут быть самыми разными. Напомним, что существуют три вида соединения: параллельное, последовательное и смешанное. Прямая задача оптимизации (см. (6.1)) заключается в нахо- ждении таких значений надежности элементов Н ₁, Н ₂, …, Н_n, которые обеспечили бы минимум веса (массы) всей конструк-

ции при наложенных ограничениях на ее надежность:

G опт = min G (H 1, H 2,..., Hn)

при H = H (H 1, H 2,..., Hn) ³ H зад.

(6.27)

Можно записать и обратную задачу (см. (6.2)): найти зна- чения надежности элементов Н ₁, Н ₂, …, Н_n, которые обеспечили бы максимум надежности всей конструкции при наложенных ограничениях на ее вес:

H опт = max H (H 1, H 2,..., Hn)

при G = G (H 1, H 2,..., Hn) £ G зад.

(6.28)

Вид функции

H (H 1, H 2,..., Hn)

зависит от вида связей эле-

ментов конструкции между собой. Вид функции G = G (H 1, H 2,...

..., Hn)

зависит от типа и формы элементов конструкции, их на-

гружения, законов распределения и вероятностных характери- стик нагрузки и несущей способности и вида надежности (по прочности, устойчивости или жесткости).

Поясним метод решения задачи на следующем примере.

Пример 6.4 [3]. Рассмотрим конструкцию, состоящую из четырех последовательно соединенных элементов – трех цилин- дрических оболочек и плоского днища в виде круглой симмет- рично нагруженной пластины (рис. 6.8). Необходимо опреде- лить оптимальное значение надежности каждого из элементов конструкции, при котором вес (масса) конструкции минимален. Для цилиндрических оболочек будем считать определяющей

надежность по прочности, для днища – надежность по жестко- сти. Считаем известными вероятностные характеристики вели- чин нагрузок и несущей способности каждого элемента.

Рис. 6.8

Надежность системы должна быть не менее H зад = 0,99.

Будем считать характеристики элементов некоррелирован- ными случайными величинами. Приведем характеристики каж- дого элемента (параметры с индексом 2 описывают прочность, с индексом 3 – нагрузку):

– 1-й элемент – цилиндрическая оболочка радиусом r = 1 м, нагруженная внутренним избыточным давлением q ₁, величина которого случайна с рэлеевским законом распределения, имею- щим параметр а ₃ = 0,04 МПа. Несущая способность материала оболочки также случайна с рэлеевским законом распределения, имеющим параметр a ₂ = 319,2 МПа. Длина оболочки l = 2 м; плотность материала оболочки r = 7,8·10³ кг/м³; Е = 2·10⁵ МПа;

–

метрами

b3 = 3 и

a = 0, 073

МПа³. Несущая способность мате-

риала оболочки тоже случайна и распределена по закону Вей-

булла с параметрами

b2 = 2

и a = 447, 73

МПа³. Длина обо-

– 3-й элемент – цилиндрическая оболочка радиусом r = 1 м, нагруженная внутренним избыточным давлением q ₃, величина которого случайна и распределена по экспоненциальному зако-

ну с параметром

l3 = 100

1/МПа. Несущая способность мате-

риала оболочки тоже случайна, подчиняется гамма-

распределению с параметрами

b2 = 200

МПа и

a2 = 1. Длина

оболочки l = 2 м; r = 7,8·10³ кг/м³; Е = 2·10⁵ МПа;

– 4-й элемент – круглая пластина радиусом r = 1 м, нагру- женная равномерно распределенным по площади пластины из- быточным давлением q ₃, величина которого случайна и распреде- лена по экспоненциальному закону с параметром l3 = 100 1/МПа. Величина перемещения, выбросы за которую запрещены, w _зад =

= 0,5·10^–2 м, r = 7,8·10³ кг/м³; Е = 2·10⁵ МПа.

Решение. Выразим вес (массу) каждого элемента конструк- ции через надежность. Масса цилиндрического сосуда, нагру- женного внутренним давлением q,

G = 2p rl h r,

где r – радиус цилиндра; h – толщина оболочки.

Поскольку элементы работают в упругой области, то мак- симальное напряжение прямо пропорционально нагрузке, т.е.

s = R = Kq.

Для цилиндрического сосуда

K = r / h.

(6.29)

(6.30)

Выразим из этого выражения h и подставим в выражение массы, тогда

2p r 2 l r

G =.

K

Выражение надежности будет зависеть от законов распре- деления и вероятностных характеристик нагрузки и несущей способности. Для первого цилиндра (обе характеристики можно описать рэлеевским законом распределения):

K = Þ G =. (6.31)

1 1

Для второго цилиндра (обе характеристики описываются законом Вейбулла):

K 2 = Þ

G 2 =

. (6.32)

Для третьего цилиндра (экспоненциальное распределение и гамма-распределение):

K = Þ G =

4,9

- 4,9.

(6.33)

3 3

Для пластинки

p r 3r3 0, 695 r

(6.34)

3 l3 w зад

3 -ln(1 - H 4)

Таким образом, необходимо найти такие при которых

H 1, H 2, H 3, H 4,

при условии, что

H 1 H 2 H 3 H 4 ³ H зад.

Согласно теореме Куна – Такера минимум в такой задаче на границе области, поэтому, заменяя ограничения-неравенства ограничениями в форме равенств и используя метод Лагранжа, переходим от задачи с ограничениями к задаче без ограничений расширенной функции:

L (H 1, H 2, H 3, H 4, l) =

= G (H 1, H 2, H 3, H 4) + l(H 1 H 2 H 3 H 4 - H зад) ® min.

Необходимое условие минимума имеет вид:

¶ G

¶ H 1

¶ G

¶ H 3

+ l H 2 H 3 H 4

+ l H 1 H 2 H 4

= 0;

= 0;

¶ G

¶ H 2

¶ G

¶ H 4

+ l H 1 H 3 H 4

+ l H 1 H 2 H 3

= 0;

= 0.

H 1 H 2 H 3 H 4 - H зад = 0.

Решая систему уравнений, получим:

H 1 = 0,9959; H 2 = 0,9982; H 3 = 0,9978; H 4 = 0,9981.

Теперь легко найти размеры поперечного сечения и массу каждого элемента, подставляя поочередно найденные значения в (6.31), (6.32), (6.33), (6.34):

G = 191,3 кг; K = 519; h = r / K

= 1,95×10-3 м;

1 1 1 1 1

G = 123, 45 кг; K = 793, 6; h = r / K

= 1, 26×10-3 м;

2 2 2 2 2

G = 99, 2 кг; K = 987,5; h

= r / K

= 1, 01×10-3 м;

3 3

G = 856, 75 кг; K * =-

3 3 3

l3 w зад

= 0, 0805;

Таким образом, масса конструкции

G = å Gi = 1270, 7 кг.

i =1

Для сравнения найдем массу конструкции для случая, когда на-

дежности всех элементов одинаковые:

= = 0,9975. Тогда:

H 1 = H 2 = H 3 = H 4 =

G = 244,92 кг; K = 400; h = 2,5×10-3 м;

1 1 1

G = 110,39 кг; K = 887, 44; h = 1,13×10-3 м;

2 2 2

G = 92,87 кг; K = 1054,85; h = 0,95×10-3 м;

3 3 3

G = 846,19 кг; K * = 0, 0835; h = 3, 47 ×10-3 м.

4 4 4

В этом случае общая масса конструкции равна 1294,4 кг, что на 23,7 кг больше массы конструкции с оптимальным рас- пределением надежности по элементам.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: