Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения.

Комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа, дана на рис. 3.2. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат - мнимую часть. На оси действительных значений ставим + 1, а на оси мнимых значений + j .

Из курса математики известна формула Эйлера

(3.8)

Рисунок 3.2

Комплексное число e^ja изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол а с осью вещественных значений (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси + 1. Модуль функции

Проекция функции е^ja на ось + 1 равна cos a, a на ось +j равна sin a. Если вместо функции е^ja взять функцию I_m е^ja, то

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция е^ja, изображается под углом a к оси + 1, но длина вектора будет в I_т раз больше.

Угол α в формуле (3.8) может быть любым. Положим, что a = ωt + ψ, т. е. угол a изменяется прямо пропорционально времени. Тогда

(3.9)

Слагаемое I_m cos(ωt + ψ) представляет собой действительную часть (Re) выражения I_те^{j(ωt + ψ)}

(3.10)

а функция I_т sin(ωt + ψ) есть коэффициент при мнимой части (lm) выражения Iте^{j(ωt + ψ)}

(3.11)

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i ср. (3.1) и (3.11)) можно представить как lm I_те^{j(ωt + ψ)} или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора I_те^{j(ωt + ψ)} на ось +j (рис. 3.3).

Рисунок 3.3

Исторически сложилось так, что в радиотехнической литературе за основу обычно принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой (3.10).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ωt=0. При этом вектор

(3.12)

где - комплексная величина, модуль которой равен I_т; ψ - угол, под которым вектор проведен к оси + 1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени ωt = 0. Точка, поставленная над током или напряжением , означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально.

Поясним сказанное. Пусть ток i = 8sin(ωt + 20°) А. Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном случае I_m = 8 А, ψ = 20°. Следовательно, =8е^j20° А. Пусть комплексная амплитуда тока = 25 е^--j30° А.

Запишем выражение для мгновенного значения этого тока. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим на е^jωt и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения (см. формулу (3.11)):

Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током) понимают частное от деления комплексной амплитуды на

(3.13)

Пример 1. Записать выражение комплекса действующего значения тока

I_m = 8е^j20° А/

Решение. Комплекс действующего значения тока

= 8е^j20° / =5,67 е^j20° А.

Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма.

Положим, что необходимо сложить два тока (i₁ и i₂) одинаковой частоты. Сумма их дает некоторый ток той же частоты:

Требуется найти амплитуду I_т и начальную фазу ψ тока i. С этой целью ток i₁ изобразим на комплексной плоскости (рис. 3.4) вектором = I_1те^jψ1, а ток i₂ - вектором = I_2те^jψ2. Геометрическая сумма векторов и I_2т даст комплексную амплитуду суммарного тока I_т = I_т e^-jψ2. Амплитуда тока I_т определяется длиной суммарного вектора, а начальная фаза ψ - углом, образованным этим вектором и осью + 1.

Рисунок 3.4

Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) следует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов.

Обратим внимание на то, что если бы векторы , ,I_т стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью ω, то взаимное расположение векторов относительно друг друга осталось бы без изменений.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе. Пример на рис. 3.4.

Мгновенная мощность.

Протекание синусоидальных токов по участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Под мгновенным значением мощности, или под мгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного значения напряжения и на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего по этому участку:

(3.14)

где р - функция времени.

Перед тем как приступить к изучению основ расчета сложных цепей синусоидального тока, рассмотрим соотношения между токами и напряжениями в простейших цепях, векторные диаграммы для них и кривые мгновенных значений различных величин. Элементами реальных цепей синусоидального тока являются резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы. Протеканию синусоидального тока оказывают сопротивление резистивные элементы (резисторы) - в них выделяется энергия в виде теплоты - и реактивные элементы (индуктивные катушки и конденсаторы) - они то запасают энергию в магнитном (электрическом) поле, то отдают ее. Рассмотрим поведение этих элементов.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: