Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения.





Комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа, дана на рис. 3.2. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат - мнимую часть. На оси действительных значений ставим + 1, а на оси мнимых значений +j .

Из курса математики известна формула Эйлера

(3.8)

Рисунок 3.2

 

Комплексное число eja изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол а с осью вещественных значений (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси + 1. Модуль функции

Проекция функции еja на ось + 1 равна cos a, a на ось +j равна sin a. Если вместо функции еja взять функцию Im еja, то

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция еja, изображается под углом a к оси + 1, но длина вектора будет в Iт раз больше.

Угол α в формуле (3.8) может быть любым. Положим, что a = ωt + ψ, т. е. угол a изменяется прямо пропорционально времени. Тогда

(3.9)

Слагаемое Im cos(ωt + ψ) представляет собой действительную часть (Re) выражения Iтеjt + ψ)

(3.10)

а функция Iт sin(ωt + ψ) есть коэффициент при мнимой части (lm) выражения Iтеjt + ψ)

(3.11)

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i ср. (3.1) и (3.11)) можно представить как lm Iтеjt + ψ) или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора Iтеjt + ψ) на ось +j (рис. 3.3).

Рисунок 3.3

 

Исторически сложилось так, что в радиотехнической литературе за основу обычно принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой (3.10).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ωt=0. При этом вектор

(3.12)

где - комплексная величина, модуль которой равен Iт; ψ - угол, под которым вектор проведен к оси + 1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени ωt = 0. Точка, поставленная над током или напряжением , означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально.

Поясним сказанное. Пусть ток i = 8sin(ωt + 20°) А. Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном случае Im = 8 А, ψ = 20°. Следовательно, =8еj20° А. Пусть комплексная амплитуда тока = 25 е--j30° А.

Запишем выражение для мгновенного значения этого тока. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим на еjωt и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения (см. формулу (3.11)):

Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током) понимают частное от деления комплексной амплитуды на

(3.13)

Пример 1.Записать выражение комплекса действующего значения тока

Im = 8еj20° А/

Решение. Комплекс действующего значения тока

=j20°/ =5,67еj20° А.

 

Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма.

Положим, что необходимо сложить два тока (i1 и i2) одинаковой частоты. Сумма их дает некоторый ток той же частоты:

Требуется найти амплитуду Iт и начальную фазу ψ тока i. С этой целью ток i1 изобразим на комплексной плоскости (рис. 3.4) вектором = Iеjψ1, а ток i2 - вектором = Iеjψ2. Геометрическая сумма векторов и I даст комплексную амплитуду суммарного тока Iт = Iт e-2 . Амплитуда тока Iт определяется длиной суммарного вектора, а начальная фаза ψ - углом, образованным этим вектором и осью + 1.

Рисунок 3.4

 

Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) следует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов.

Обратим внимание на то, что если бы векторы , ,Iт стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью ω, то взаимное расположение векторов относительно друг друга осталось бы без изменений.

Векторной диаграммойназывают совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе. Пример на рис. 3.4.

Мгновенная мощность.

Протекание синусоидальных токов по участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Под мгновенным значением мощности, или под мгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного значения напряжения и на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего по этому участку:

(3.14)

где р - функция времени.

Перед тем как приступить к изучению основ расчета сложных цепей синусоидального тока, рассмотрим соотношения между токами и напряжениями в простейших цепях, векторные диаграммы для них и кривые мгновенных значений различных величин. Элементами реальных цепей синусоидального тока являются резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы. Протеканию синусоидального тока оказывают сопротивление резистивные элементы (резисторы) - в них выделяется энергия в виде теплоты - и реактивные элементы (индуктивные катушки и конденсаторы) - они то запасают энергию в магнитном (электрическом) поле, то отдают ее. Рассмотрим поведение этих элементов.







Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2022 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.