Численное дифференцирование и интегрирование

Для проведения численного дифференцирования в Маткаде необходимо:

1) задать диапазон изменения аргумента

2) Записать дифференцируемую функцию

3) Ввести с панели вычислений (calculus) знак дифференцирования.

Например

Рис. 1. Численное дифференцирование в Маткаде.

Задача 1. Провести дифференцирование приведенных выше выражений.

Задача 2. Найти самостоятельно первую, вторую и третью производные для функций:

Для вычисления определенных интегралов в Маткаде необходимо:

1.вызвать панель интегрирования и дифференцирования, нажав на арифметической панели кнопку с изображением интегралов и производных.

2. Набрав на экране y:=, нажать кнопку с изображением определенного интеграла и вызвав его, проставить пределы интегрирования и подынтегральную функцию.

3. Набрать ниже интеграла y= и получить ответ.

Задача 3. Найти интеграл приведенной выше функции.

Задача 4. Вычислить самостоятельно нижеприведенные интегралы

Символьное дифференцирование и интегрирование

1. Дифференцирование. Ниже приведен пример дифференцирования. Вместо знака = ставится стрелка из панели символьных решений.

Задача 5. Провести самостоятельно аналитическое дифференцирование нижеприведенных функций:

А)

Б)

В)

Интегрирование в квадратурах.

Ниже приведены примеры символьного интегрирования в Маткаде. Знак неопределенного интеграла вводится с панели вычислений, стрелка – с панели символьных решений

Пример1

Пример2.

Пример 3. Данный интеграл символьно в Маткаде не решается, но Вы посмотрите, что Маткад сделает с ним

Разложение функции в ряды Тейлора - Маклорена.

Разложение в ряд Маклорена (т.е. около нуля) производится символьной командой меню symbolics (символьно)– variable(переменная)- expand to series(разложить в ряд). Например: Нужно разложить в ряд около нуля функцию

1.Набираем эту функцию и выделяем ее.

2.Нажимаем в меню опцию symbolics. Появляется окно, в котором выделяем опцию variable..

3.В появившемся подокне выбираем опцию expand to series.

4. Появляется окно с надписью order of approximation (порядок разложения).

5. Вводим число 6, нажимаем ОК и получаем ответ

Задача 6. Разложить в ряд Маклорена с вычислением 10 членов нижеприведенные функции:

Разложение в ряд Тейлора около любого значения х производится кнопкой series окна символической математики. При нажатии этой кнопки появляется следующая запись:

В первый ее прямоугольник записывается разлагаемая функция, во второй - переменная по которой происходит разложение, а в третий - ее значение, около которого оно производится. После щелканья мышью получим ответ. Число членов разложения устанавливается,как и в предыдущем случае, в окне, вызываемом командой symbolics (символьно)– variable(переменная)- expand to series(разложить в ряд).

Пример1.

Задача 7. Разложить в ряд Тейлора около заданных значений х, с заданным числом членов функции:

А) Sin(2x) - около 1, 5 членов ряда.

Б)

около х=3 с 5 членами разложения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6.АППРОКСИМАЦИЯ И ОБРАБОТКА НАБЛЮДЕНИЙ В МАТКАДЕ

Аппроксимация функций.

Кусочно-линейная аппроксимация.

Кусочно-линейная аппроксимация производится функцией linterp(vx, vy,x)

Здесь vx- вектор аргументов x точек, через которые должна пройти кривая,

vy - вектор ординат y тех же точек, x –значение аргумента аппроксимирующей функции.

Рис.1. Кусочно-линейная аппроксимация.

Задача1. Провести кусочно-линейную аппроксимацию приведенного примера.

Аппроксимация сплайнами.

При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается довольно грубой. При ней даже первая производная функции аппроксимации испытывает резкие скачки в узловых точках. Для целей экстраполяции функция linterp не предназначена и за пределами области определения может вести себя непредсказуемо.

Гораздо лучшие результаты дает сплайн-аппроксимация. При ней исходная функция заменяется отрезками квадратных или кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (отсюда и название аппроксимации: splain - гибкая линейка).

Для осуществления сплайновой аппроксимации система Маткад предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:

cspline (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

pspline (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам параболической кривой;

lspline (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам прямой. Наконец, четвертая функция

interp (VS, VX, VY, x) возвращает значение у(х) для заданных векторов VS, VX, VY и заданного значения x.

Таким образом, сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. На первом с помощью функций cspline, pspline или Ispline отыскивается вектор вторых производных функции у(х), заданной векторами VX и VY ее значений (абсцисс и ординат). Затем, на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение у(х) с помощью функции interp.

На рис 2 приведен пример аппроксимации квадратическими (параболическими) сплайнами. Аппроксимация проведена для тех же заданных точек, что и в предыду­щем примере. Набраны вектора vx, vy и с помощью функции pspline получены ко­эффициенты сплайнов. Чтобы убедиться, что аппроксимирующая кривая проходит через заданные точки, функция interp вычислена для заданных значений х. По­этому результатом interp явились заданные значения у. Чтобы более точно просмотреть аппроксимирующую кривую для графика х задан в том же интервале, но с шагом 0.1. Как видим из графика, аппроксимация сплайнами совершенно не похожа на кусочно-линейную аппроксимацию.

В функции interp – vx,vy - те же векторы заданных значений, а vs – вектор

коэффи­циентов уравнений для сплайнов, полученный из функций pspline или cspline.

Рис.2. Аппроксимация сплайнами.

Задача 2. Набрать в Маткаде и получить графики решения для приведенного выше примера.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: