ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМОЙ

III. СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС И ЕГО

Комплексная форма спектрального разложения стационарного случайного процесса

В предыдущем параграфе была рассмотрена действительная форма спектрального разложения стационарного случайного процесса

(3.2.1)

Круговые частоты в этом разложении принимают неотрицательные значения. Вектор единичной длины на комплексной плоскости, исходящий из начала координат и вращиющийся с угловой скоростью против часовой стрелки, можно представить в виде

. (3.2.2)

Если же вращение этого вектора происходит по часовой стрелке

, (3.2.3)

то есть его угловая скорость отрицательна. Это наблюдение позволяет осмыслить наличие отрицательных значений в спектре стационарного случайного процесса при переходе к комплексной форме его спектрального разложения. Выразим из формул Эйлера (3.2.2) и (3.2.3) косинус и синус и подставим полученные выражения в спектральное разложение (3.2.1) процесса :

. (3.2.4)

Во втором интеграле в правой части равенства (3.2.4) выполним замену :

(3.2.5)

Введем в рассмотрение комплекснозначную случайную функцию, которая для определяется равенством , а для отрицательных значений аргумента равенством при . (3.2.6)

С помощью этой функции разложение (3.2.5) можно записать в виде

(3.2.7)

Поскольку вещественная и мнимая части случайной функции (3.2.6) имеют нулевые математические ожидания, комплекснозначная функция имеет нулевое математическое ожидание при всех значениях угловой скорости вращения вектора .

Изучение ковариационной функции требует рассмотрения четырех случаев:

1)

2)

3)

4)

При и . Таким образом, с учетом (3.1.29) имеем в этом случае При и Тогда в этом случае с учетом четности - функции получим В случаях, когда и имеют разные знаки легко убедиться, что

Введем функцию, определенную при всех значениях :

(3.2.8),

(см. так же формулу (2.212)). С её помощью можно записать единое для всех выражение ковариационной функции комплексной случайной функции

. (3.2.9)

Значения случайной функции при любых различных значениях и не коррелированны, а её дисперсия бесконечна. С учетом чётности подынтегральной функции в равенстве (3.2.8) его можно переписать в виде

(3.2.10)

Отнимем от правой части равенства (3.2.10) интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку . Тогда получим формулу

(3.2.11)

выражающую спектральную плотность дисперсии через ковариационную функцию в комплексной форме.

Из равенства (3.1.22) с учетом четности имеем

(3.2.12)

Прибавляя к правой части равенства (3.2.12) интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку получим комплексную форму спектрального разложения корреляционной функции стационарного случайного процесса

(3.2.13)

При из (3.2.13) имеем (3.2.14)

Спектральная плотность стационарного случайного процесса (3.2.7) дает распределение дисперсии этого процесса по всем значениям угловых скоростей вращения комплексного вектора , как положительных, так и отрицательных, при этом

. (3.2.15)

В практических приложениях чаще применяется комплексная форма спектрального разложения стационарного процесса

(3.2.16)

в которой каждая гармоника представлена двумя слагаемыми и

Дисперсия этой гармоники делится поровну между этими слагаемыми. Значения случайной функции при различных значениях частоты не коррелированы. Ее ковариационная функция (3.2.17)

пропорциональна - функции и спектральной плотности.

Преобразование стационарного случайного сигнала линейной

III. СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС И ЕГО

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМОЙ

§ 3.1. Действительная форма спектрального разложения стационарного случайного процесса

Рассмотрим элементарный случайный процесс

, (3.1.1)

для которого случайные величины и имеют нулевые математические ожидания и равные дисперсии так, что и . (3.1.2)

Определим, какие дополнительные ограничения нужно наложить на случайные величины и , чтобы элементарный случайный процесс (3.1.1) был стационарным в широком смысле, то есть, чтобы его ковариационная функция зависела только от разности моментов времени . Случайные величины и , которые являются значениями процесса (2.2.1) в моменты времени и , имеют нулевые математические ожидания, поэтому их ковариация равна математическому ожиданию их произведения

. (3.1.3)

Преобразуем произведение этих случайных величин . Далее, применяя формулу для синуса суммы двух углов, придём к выражению

. (3.1.4)

Подставляя (3.1.4) в (3.1.3) и вспоминая формулу для косинуса разности двух углов, получим с учетом (3.1.2): . (3.1.5)

Если , то . (3.1.6)

Таким образом, для того, чтобы элементарный случайный процесс (3.1.1) был стационарным достаточно в дополнение к условию (3.1.2) добавить условие не коррелированности случайных величин и , то есть условие .

Пусть теперь случайный процесс есть конечная сумма элементарных случайных процессов вида (3.1.1) (см. также формулу(2.2.1))

(3.1.7)

Круговые частоты выбраны произвольно. Случайные величины удовлетворяют условиям

, ,

, , ,

при выполнении которых слагаемые в сумме (3.1.7) не коррелированны. Ковариационная функция суммы некоррелированных слагаемых равна сумме ковариационных функций (3.1.6) этих слагаемых . (3.1.8)

Таким образом, ковариационная функция случайного процесса (3.1.7) зависит только от разности , что говорит о стационарности этого процесса. Обозначая разность , перепишем (3.1.8) в виде

. (3.1.9)

Выберем теперь спектр частот случайного процесса (3.1.7) специальным образом: . (3.1.10)

Этот дискретный спектр частот процесса будет бесконечным и

(3.1.11)

где - положительное число. Формулы (3.1.7) и (3.1.9) принимают вид

, (3.1.12)

. (3.1.13)

Предположим, что дисперсии случайных величин и убывают достаточно быстро, так что ряд с положительными членами сходится. Сходимость этого ряда обеспечивает абсолютную сходимость ряда (3.1.13) и конечность дисперсии случайного процесса (3.1.12), так как . (3.1.14)

Формула (3.1.13) дает разложение в ряд Фурье по косинусам четной - периодической функции . Коэффициенты этого ряда Фурье связаны с функцией формулой . (3.1.15)

Подынтегральная функция в правой части (2.2.15) четная, а промежуток интегрирования симметричен, поэтому . (3.1.16)

Если увеличивать , уменьшая соответственно промежуток между частотами, то число слагаемых на любой фиксированный интервал частот в разложении (3.1.12) растет обратно пропорционально . Чтобы составляющая случайного процесса (3.1.12), приходящаяся на этот интервал частот, не возрастала бесконечно, должны выполняться условия . (3.1.17)

Перепишем формулы (3.1.12), (3.1.13) и (3.1.16) с учетом обозначений (3.1.17) и равенства (3.1.11): , (3.1.18)

, (3.1.19)

(3.1.20)

При стремлении к нулю и соответственно спектр случайного процесса (3.1.18) из дискретного превращается в непрерывный, а представление его рядом переходит в интегральное представление . (3.1.21)

При этом формулы (3.1.19) и (3.1.20) принимают соответственно вид

(3.1.22)

(3.1.23),

(см. формулу (2.2.7)).

Равенство (3.1.21) представляет стационарную случайную функцию , аргументом которой является время , через две другие случайные функции и , аргументом которых является круговая частота . Исходя из свойств функций (3.1.17) имеем

и . (3.1.24)

Отсюда можно получить представление о свойствах случайных функций и .

Функции и не коррелированны и значения каждой из них при различных значениях аргумента не коррелированы, так что

при

Ввиду этого заключаем, что случайные функции и не коррелированы и что значения этих функций при любых сколь угодно близких, но различных значениях аргумента не коррелированы.

Перейдем к рассмотрению дисперсий, помня, что константа выносится из-под знака дисперсии в квадрате: , т.к. . Аналогично находим

(3.1.25)

Из (3.1.25) следует, что дисперсии случайных функций и бесконечны. Из того, что ковариация равна нулю при и равна при следует (3.1.26)

При формула (3.1.26) принимает вид

(3.1.27)

Откуда заключаем, что (3.1.28)

Аналогично для ковариационной функции случайной функции от частоты имеем равенство (3.1.29)

Таким образом, случайные функции и от частоты в спектральном разложении (3.1.21) стационарного случайного процесса с непрерывным спектром имеют ковариационные функции пропорциональные - функции. Формула (3.1.23), полученная предельным переходом при из равенства (3.1.20), представляет спектральную плотность дисперсии стационарного случайного процесса (3.1.21). Если в формуле (3.1.22) положить и то можно убедиться, что дисперсия процесса (3.1.21) равна площади под графиком его спектральной плотности .

Если мы выделим аддитивную часть случайного процесса (3.1.21) соответствующую промежутку частот в его спектре, то получим стационарный процесс

, (3.1.30)

дисперсия которого определяется интегралом от спектральной плотности по промежутку (3.1.31)

Если весь интервал частот разбить на отдельные подинтервалы, то случайный процесс (3.1.21) будет представлен суммой не коррелированных слагаемых вида (3.1.30), а дисперсия этого процесса суммой дисперсий этих слагаемых, вычисляемых по (3.1.31). На этом основании можно сказать, что спектральная плотность стационарного случайного процесса (3.1.21) дает распределение дисперсии этого процесса по непрерывному спектру частот этого процесса (что и было показано в § 2.2, см. рис. 2.1.и 2.2).

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: