Линейная стационарная непрерывная система и ее характеристики

В курсе теории автоматического управления рассматриваются линейные стационарные системы, уравнения состояния и выхода которых имеют вид

, (3.4.1)

где - вектор состояния,

- входной сигнал,

- выходной сигнал,

- матрица системы,

- матрица входа,

- матрица выхода,

- матрица обхода системы.

Все эти четыре матрицы имеют постоянные элементы. Если элементы этих матриц меняются с течением времени, то система перестает быть стационарной.

Число компонент вектора состояния называют порядком системы, число компонент входного сигнала – числом входов, а число компонент выходного сигнала – числом выходов.

Например, система (3.4.2)

суть система второго порядка с одним входом и двумя выходами.

Характеристическим полиномом линейной стационарной системы (3.4.1) называется определитель матрицы , где - единичная матрица:

. (3.4.3)

Например, характеристический полином системы (3.4.2) в соответствии с этим определением имеет вид

. (3.4.4)

Собственными числами линейной стационарной системы называются корни ее характеристического полинома, то есть собственные числа матрицы системы . Например, собственные числа системц (3.4.2) являются корнями полинома и равны .

Уравнение состояния системы (3.4.1) (3.4.5)

есть система линейных дифференцпальных уравнений в нормальной форме. Если известно состояние системы в начальный момент и входной сигнал для , то состояние системы может быть найдено для любого .

Применим преобразование Лапласа для решения уравнения состояния (3.4.5). Пусть и (3.4.6)

соответствия между оригиналами и их изображениями по Лапласу, в которых функция Хевисайда (единичного скачка, см. табл. 6 на стр. 84) обозначена через . По второй теореме о дифференцировании оригинала

. (3.4.7)

Преобразуя уравнение (3.4.5) с учетом (3.4.6) и (3.4.7) по Лапласу и помня о линейности этого преобразования, получим

(3.4.8)

Перенесем столбец в правую часть равенства (3.4.8), а произведение в левую:

(3.4.9)

Вынесем столбец вправо за скобки

(3.4.10)

Умножим правую и левую части равенства (3.4.10) слева на матрицу :

(3.4.11)

Первое слагаемое в правой части (3.4.11) является изображением собственного движения системы, второе – изображением вынужденной составляющей. Преобразуем уравнение выхода по Лапласу и подставим в него результат из (3.4.11):

. (3.4.12)

Введем обозначение (3.4.13)

и запишем (3.4.12) в виде (3.4.14)

Матрица (3.4.13) называется передаточной функцией линейной стационарной системы. Знания этой матрицы достаточно для нахождения выходного сигнала по известному входному при , так как в этом случае (3.4.14) принимает вид

(3.4.15)

Как видно из (3.4.15), передаточная функция имеет столько строк, сколько у системы выходов, и столько столбцов, сколько у системы входов. Найдем, например, передаточную функцию системы (3.4.2). Составим матрицу . Матрица из алгебраических дополнений этой матрицы имеет вид . Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений и разделим её на определитель матрицы : соответствии с (3.4.13) . После сокращения на множитель получаем: . Поскольку система (3.4.2) имеет один вход и два выхода, ее передаточная функция двухкомпонентный столбец.

Если система имеет один вход и один выход, то её передаточная функция имеет одну строку и один столбец. Например, система имеет передаточную функцию .

Элемент передаточной функции (3.4.13), стоящий в -ой строке и -ом столбце, как это видно из (3.4.15), связывает -ый вход системы (3.4.1) с её -ым выходом. Этот элемент есть рациональная дробь, у которой степень числителя не превышает степени знаменателя. Знаменатель является либо характеристическим полиномом, либо полиномом меньшей степени, чем порядок системы, но имеющий своими корнями только собственные числа системы.

Линейная система (3.4.1) обладает свойством, в силу которого все её движения либо устойчивы по Ляпунову, либо неустойчивы. Это свойство позволяет говорить об устойчивости или неустойчивости системы, не выделяя какого-то конкретного её движения. Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости системы (3.4.1) является отрицательность вещественных частей всех её собственных чисел. Например, система (3.4.2), имеющая собственными числами и , является асимптотически устойчивой.

Рассмотрим асимптотически устойчивую стационарную линейную систему (3.4.1) с передаточной функцией (3.4.13). Для простоты будем считать, что система имеет один вход и один выход, так что ее передаточная функция есть рациональная дробь

(3.4.16)

полюсы которой являются собственными числами системы (3.5.1). Найдем установившуюся реакцию этой системы на комплексное колебание

. (3.4.17)

Если положить , что не влияет на окончательный результат, то по (3.4.15) имеем (3.4.18)

Разложим дробь (3.4.18) на простейшие дроби, полагая для простоты, что среди чисел нет совпадающих:

(3.4.19)

где Переход к оригиналу в (3.4.19) дает

(3.4.20)

Поскольку рассматривается асимптотически устойчивая система, числа имеют отрицательные действительные части, и все экспоненты в правой части равенства (3.4.20) кроме последней с течением времени затухают. Следовательно, установившийся выходной сигнал является комплексным колебанием вида

(3.4.21)

с амплитудой и начальной фазой Угловая скорость (круговая частота) этого колебания совпадает с угловой скоростью входного колебания.

В свете этого результата сужение передаточной функции на мнимую ось называют частотной характеристикой линейной стационарной системы. Модуль частотной характеристики называют амплитудной частотной характеристикой, аргуметнт частотной характеристики называют фазовой частотной характеристикой.

Пусть теперь асимптотически устойчивая линейная стационарная система имеет входов, на которые поданы комплексные колебания одной частоты, но разных амплитуд и начальных фаз . (3.4.22)

Тогда установившийся выходной сигнал будет иметь вид

(3.4.23)

В более общем случае, когда , имеем

(3.4.24)

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: