|
|
Учреждение высшего образования«ФинансовЫЙ УнИВЕРСИТЕТ При Правительстве Российской Федерации» (ФинУНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика» Вопросы и задачи По теории вероятностей и Математической статистике
Для студентов бакалавриата экономики
МОСКВА 2015 ГОД
Федеральное государственное образовательное бюджетное Учреждение высшего образования «ФинансовЫЙ УнИВЕРСИТЕТ При Правительстве Российской Федерации» (ФинУНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»
УТВЕРЖДАЮ
Ректор Финуниверситета ____________М.А. Эскиндаров «____» ______________2015 г.
Вопросы и задачи По теории вероятностей и Математической статистике
Для студентов бакалавриата экономики
Одобрено кафедрой «Теория вероятностей и математическая статистика» (протокол №1 от 31 августа 2015 г.)
МОСКВА 2015 ГОД УДК 517(073) ББК 22.161я73
Рецензент: Овчинников А.В., доцент кафедры «Теория вероятностей и математическая статистика». Браилов А.В., Гончаренко В.М., Денежкина И.Е., Зададаев С.А. Вопросы и задачи по теории вероятностей и математической статистике. Для студентов бакалавриата экономики. М.: Финансовый университет при Правительстве РФ, кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2015. — 47 с.
Пособие содержит теоретические вопросы и практические задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», читаемому студентам бакалавриата экономики в третьем и четвертом семестрах. Предназначено для организации самостоятельной работы студентов при подготовке к экзамену.
Содержание I. Теоретические вопросы
1. Случайные события ……………………………………………………… …… 4 2.Схема Бернулли ………………………………………………………………... 7 3. Дискретные случайные величины ……………………………………… …… 9 4. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 13 5. Начальные и центральные моменты случайных величин ………………….15 6. Случайные векторы …………………………………………………………… 16 7. Предельные теоремы теории вероятностей ……………………………. …… 18
II. Практические задания
1. Случайные события …………………………………………………………… 20 2. Дискретные случайные величины …………………………………………… 26 3. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 32 4. Случайные векторы …………………………………………………………… 36 5. Математическая статистика …………...……………………………………… 42 Ответы к задачам …………………………………………………………………. 43
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ Случайные события
● Основные определения и свойства. Алгебра событий
1. Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определятся событие, противоположное данному? Приведите примеры. 2. Что называется суммой и произведением событий 3. Что называется пространством элементарных событий? Что называется случайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события 4. Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их вероятности? Пусть 5. В каком случае событие 6. Пусть 7. Докажите, что 8. Докажите, что 9. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию
● Теорема сложения вероятностей
10. Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей для произвольных событий 11. Какие события 12. Объясните, почему 13. Верно ли, что если событие
● Условная вероятность
14. Дайте определение условной вероятности
● Независимые события и правило умножения вероятностей
15. Какие события называются независимыми? Докажите, что если события 16. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий 17. Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события 18. Как соотносятся понятия независимые события 19. События 20. События 21. Как определяется независимость событий 22. Имеется две игральные кости: одна – симметричная, вторая – несимметричная. Пусть
● Геометрический подход к определению вероятности
23. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке 24. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса
● Полная группа событий. Формула полной вероятности и формула Байеса
25. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события 26. Верно ли, что события 27. Событие 28. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения. 29. Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения. Схема Бернулли
● Вероятности
30. В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу 31. Выведите формулу
● Наиболее вероятное число успехов
32. Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии 33. Пусть 34. Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте.
● Вероятности
35. Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса 36. Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа 37. Укажите выражение для функции Лапласа 38. Используя интегральную приближенную формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события
● Предельная теорема Пуассона
39. Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона. 40. Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения.
 Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
и 
? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случаи наступления события 
.
; 
– случайные события. Перечислите все случаи наступления события 
.
.
. Найдите событие, противоположное событию 
. Что означает событие 
?
. Что означает событие 
?
? Возможны ли случаи 
и 
? Ответ обоснуйте.
называются попарно несовместными? Сформулируйте правило сложения вероятностей для попарно несовместных событий 
и 
таких что 
для событий 
вероятностей противоположных событий? Ответ обоснуйте.
? Ответ обоснуйте.
и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) 
; 2) 
.
и 
означают: 
и 
? Почему?
независимы; события 
несовместны. Следует ли из этого, что события 
независимы? Ответ необходимо обосновать.
независимы; события 
также независимы. При этом события 
независимы? Ответ необходимо обосновать.
? Является ли равенство 
достаточным для независимости событий 
? Ответ обоснуйте.
– вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, что 
в треугольнике 
? в кубе со стороной 
и 
не образуют полной группы событий.
, 
и 
образуют полную группу для любых событий 
Верно ли, что 
Дайте обоснованный ответ.
успехов в серии 
испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.
?
и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона?
. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение?
. Чему равно 
?