Многочлены над полем комплексных чисел

, любое комплексное число задает точку плоскости. Аргументы будут располагаться на одной комплексной плоскости, значения ф-ии распложены на другой комплексной плоскости.

f(z)- комплексная ф-я комплексного переменного. Среди комплексных функций комплексного переменного, особо выделяется класс непрерывных ф-ии.

Опр: комплексная ф-я комплексного переменного называется непрерывной, если , такого что, .+

Геометрический смысл в следующем:

задает в комплексной плоскости круг, с центром в точке z0 и радиусом < . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

Теорема 1: Многочлен f(z)принад. C(z) непрерывен в любой точке комплексной плоскости.

Следствие: модуль многочлена в поле комплексных чисел является непрерывной функцией.

Теорема 2: - кольцо многочленов с комплексными коэффициентами, тогда такие значения , что .

Теорема 3.(о неограниченном возрастании модуля многочлена):

Основная теорема алгебры:

Любой многочлен над полем комплексных чисел не 0 степени, имеет в поле комплексных чисел хотя бы один корень.

(При доказательстве будем использовать следующие утверждения):

1. Лемма Даламбера: Если многочлен f(z) С(z) имеет степень N(f(z))>=1, и значение f(z₀) не равно 0, то существет такое число n, что
2. Теорема Вейерштрасса: если действительная ф-я комплексного переменного непрерывна в некоторой замкнутой области, то в некоторой точке этой области она достигает своего min.

Д-во: 1. Если a_n=0, тогда z=0 – корень f(z).

2. если a_n 0, , тогда по Теореме 3 , неравенство задает в комплексной плоскости область, лежащую вне круга радиусом S. В этой области корней нет, т.к. следовательно корни многочлена f(z) следует искать внутри области .

Рассмотрим из Т1. следует, что ф-я f(z) является непрерывной. По теореме Вейерштрасса она достигает в некоторой точке замкнутой области своего минимума, т.е. . Покажем, что точка является точкой минимума. Т.к. 0 Е, то , т.к. вне области Е значения ф-ии , то z₀ – точка минимума, на всей комплексной плоскости. Покажем, что f(z₀)=0. Предположим, что это не так, тогда по Лемме Даламбера , получаем противоречие, т.к. z₀ точка минимума.

Алгебраическая замкнутость:

Опр: поле P называется алгебраически замкнутым, если имеет над этим полем хотя бы один корень.

Теорема: поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым. (д-во следует из основной теоремы алгебры).

Поля рациональных и действительных чисел не являются алгебраически замкнутыми.

Разложимость:

Теорема: любой многочлен , над полем комплексных чисел, степени выше 1, разложим в произведение линейных множителей.

Следствие 1. Многочлен степени n, над полем комплексных чисел имеет ровно n корней.

След.2: любой многочлен над полем комплексных чисел степени больше 1, всегда приводим.

Опр: Числа мн-ва С\R, т.е. числа вида a+bi, где b не равно 0- называются мнимыми.

2. Многочлены над полем. НОД двух многочленов и алгоритм Евклида. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность.

Опр. Многочленом (полиномом) от неизвестного х над полем Р наз. Алгебраическая сумма целых не отрицательных степеней х, взятых с некоторым коэффициентом из поля Р.

, где aiÎP или

Многочлены наз. равными, если равны их коэффициенты при соответствующих степенях неизвестных.

Степенью многочлена наз. наибольшее значение показателя неизвестного, коэффициент при котором отличен от нуля.

Обозначается: N(f(x))=n

Множество всех многочленов над полем Р обозначается: Р[x].

Многочлены нулевой степени совпадают с элементами поля Р, отличными от нуля - нулевой многочлен, его степень неопределенна.

Операции над многочленами.

1. Сложение.

, N(f(x))=n

, N(g(x))=s

Пусть n³s, тогда , N(f(x)+g(x))=n=max{n,s}.

Исследуем алгебраическую структуру < P[x],+>

1. операция сложения выполнима и однозначность следует из однозначности сложения элементов поля
2. ассоциативность
3. нулевой элемент
4. многочлен противоположный данному
5. коммутативность

<P[x],+> - абелева группа

2. Умножение.

, N(f(x))=n

, N(g(x))=s

Исследуем алгебраическую структуру < P[x],*>

1. операция выполнима, т.к. поле выполняется операция умножения. Однозначность следует из однозначности операций в поле Р.
2. ассоциативность
3. единичный многочлен
4. обратимыми являются только многочлены в нулевой степени

< P[x],*> - полугруппа с единичным элементом (маноид)

Выполняются дистрибутивные законы, следовательно, < P[x],+,*> - коммутативное кольцо с единицей.

Делимость многочленов

Опр: многочлен f(x), f(x)ÎP[x], P – поле делится на многочлен g(x), g(x)≠0, g(x)ÎP[x], если существует такой многочлен h(x)ÎP[x], что f(x)=g(x)h(x)

Свойства делимости:

1.

2.

3.

4. Если

5.

Пример: , делим столбиком НОД=(x+3)

Теорема о делении с остатком: Для любых многочленов f (x), g(x)ÎP[x], cущес-ет единственный многочлены q(x) и r(x) такие что f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x))<N(g(x)) или r(x)=0.

Идея док-ва: в существовании рассматриваем два случая n<s, n³s (n – степень f(x), s – степень g(x)) и делим f (x) на g (x). Единственность док-ем от противного.

Опр: f (x) и g(x), f(x), g(x)ÎP[x], h(x)ÎP[x] называется НОД f (x) и g(x) если

1)

2)

Алгоритм Евклида

Запишем процесс последовательного деления

f(x)=g(x)q₁(x)+r₁(x) (1)

g(x)= r₁(x) q₂(x)+r₂(x) (2)

r₁(x)= r₂(x) q₃(x)+r₃(x) (3) и т.д.

r_k-2(x)= r_k-1(x) q_k(x)+r_k(x) (k)

r_k-1(x)= r_k(x) q_k+1(x) (k+1)

НОД(f(x),g(x))=d(x)=r_k(x)

Идея доказательствава: показываем, что 1 ) f(x):(нацело) d(x) и g(x):(нацело) d(x); 2) f(x):(нацело) h(x) и g(x):(нацело) h(x) показываем, что d(x):( нацело) h(x).

Линейное представление НОД

Т: если d(x) - НОД многочленов f (x) и g(x), то существуют такие многочлены v (x) и u(x)ÎP[x], что f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

Опр: f(x) и g(x)ÎP[x] всегда имеют общие делители, а именно многочлены нулевой степени, совпадающие с полем Р, если других общих делителей нет, то f(x) и g(x) взаимно просты. (обозначение: (f(x),g(x))=1)

Т: f (x) и g(x) взаимно просты т.и.т.т.к. существуютют такие многочлены v(x) и u(x)ÎP[x], что f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Свойства взаимно простых многочленов

1. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, то (f(x),g(x)*q(x))=1
2. f(x)*g(x):(нацело)h(x) и (f(x),g(x))=1, то g(x):( нацело) h(x)
3. f(x):(нацело)g(x), f(x):(нацело)h(x) и (g(x),h(x))=1, то f(x):(нацело) g(x)*h(x)

Опр: Многочлен f(x), f(x)ÎP[x] называется приводимым над полем Р, если его можно разложить на множители, степени которых больше 0 и меньше степени f(x) т.е.

f (x)=f₁(x)f₂(x), где степени f₁ и f₂>0, <f(x).

Приводимость многочленов зависит от поля над которым они рассматриваются. Многочлен неприводим (многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени) над полем Q, и приводим над полем R.

Свойства неприводимых многочленов:

1. Многочлен нулевой степени приводим над любым полем
2. Если многочлен f(x) не приводим над полем Р, то и многочлен a f(x) также не приводим над полем Р.
3. Пусть даны многочлены f (x) и p(x) над полем Р, причем p(x) – неприводим над полем Р, тогда возможны случаи

1) многочлены f (x) и p(x) взаимно просты

2) f(x):(нацело) р(x)

1. Пусть f(x)*g(x):( нацело) р(x), где р(x) – не приводим над полем Р, тогда f(x):(нацело) р(x) или g(x):( нацело) р(x)

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: