|
Задача нелинейного программирования и условия существования ее решения
Задача математического программирования (1.25) (1.26) называется задачей нелинейного программирования (ЗНЛП), если целевая функция и (или) функции ограничений и в (1.26) являются нелинейными функциями. В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений (1.26), для решения ЗНЛП применяются различные методы. Перед началом поиска решения задачи желательно знать ответ на принципиальный вопрос о его существовании. Достаточные условия существования решения ЗНЛП с ограничениями даются следующей теоремой. Теорема Вейерштрасса. Пусть допустимое множество задачи (1.25)-(1.26) является непустым и компактным. Тогда непрерывная целевая функция , определенная на этом множестве, достигает глобального максимума (минимума) на внутренней или граничной точке множества . На рис. 1.2 показаны различные варианты экстремумов функции на компактном одномерном множестве – отрезке
Рис. 1.2. Графическая иллюстрация условных экстремумов
Условия теоремы Вейерштрасса нетрудно проверить, когда решается ЗНЛП с ограничениями. Если же задача не имеет ограничений, то тогда для ее решения применяют классический метод.
Задачи Для указанных ниже функций найти все частные производные первого и второго порядка: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . Для указанных ниже матриц определить, используя критерий Сильвестра, являются ли они положительно или отрицательно определенными: 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . Для указанных ниже функций определить, являются ли они выпуклыми или вогнутыми: 13. . 14. . 15. 16. 17. , если . 18. , если . 19. , если . 20. , если . 21. , если . 22. Найти производную функции в точке по направлению к точке . 23. Найти производную функции в точке по направлению к началу координат. 24. Найти производную функции в начале координат в направлении луча, образующего угол с осью . 25. Найти производную функции в точке по направлению к точке . Для указанных ниже функций найти их стационарные точки: 26. . 27. . 28. . 29. . 30. . 31. . 32. . 33. . Найти градиент и матрицу Гессе следующих функций: 34. в точке . 35. в точке . 36. в точке . 37. в точке . 38. в точке . Разложить по формуле Тейлора следующие функции в заданной точке с точностью до производных второго порядка: 39. в точке . 40. в точке . 41. в точке . 42. в точке . 43. в точке . 44. Найти матрицу Якоби вектор-функции в точке . 45. Найти матрицу Якоби вектор-функции в точке . 46. Найти матрицу Якоби вектор-функции в точке . 47. Найти вектор нормали к гиперплоскости, задаваемой уравнением . 48. Найти вектор нормали к гиперплоскости, задаваемой уравнением .
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ Решается задача (2.1) Необходимо найти либо все максимумы, либо все минимумы целевой функции , либо и то и другое. Ограничений на аргумент целевой функции нет.
Необходимые условия существования безусловного экстремума функции Необходимые условия существования безусловного экстремума дифференцируемой функции даются в следующей теореме. Теорема о необходимых условиях экстремума. Пусть дифференцируемая функция имеет в точке экстремум. Тогда все ее частные производные первого порядка в точке равны нулю: . (2.2) Условие (2.2) эквивалентно условию . (2.3)
Следствие. Необходимым условием существования экстремума дифференцируемой функции в некоторой точке является условие стационарности этой точки. Градиент дифференцируемой функции в точке экстремума равен нулю.
Замечание 2.1. Если функция не является дифференцируемой, то необходимыми и достаточными условиями существования безусловного экстремума являются условия определения безусловного экстремума.
Достаточные условия существования безусловного экстремума функции Достаточные условия существования экстремума дважды дифференцируемой функции даются в следующей теореме. Теорема о достаточных условиях экстремума. Пусть функция имеет непрерывные производные второго порядка в стационарной точке . Тогда точка является точкой безусловного максимума, если матрица Гессе функции в этой точке отрицательно определена и точкой безусловного минимума, если матрица Гессе функции в этой точке положительно определена. ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|