|
Интерпретация множителей Лагранжа
Анализируя значения множителей Лагранжа, можно получить дополнительную ценную информацию. С этим связано широкое распространение метода множителей Лагранжа. Множители Лагранжа измеряют чувствительность оптимального значения Теорема Лагранжа. Пусть
Во многих экономических задачах целевая функция имеет размерность стоимости (цены, умноженной на объем продукции) (прибыль, выручка, издержки), а с помощью ограничений вида (3.5) устанавливаются определенные значения затрат ресурсов. По-сути, в таких задачах множители Лагранжа измеряют чувствительность оптимального значения величины
Пример 3.1. Производственныеиздержки S компании определяются формулой
где Требуется решить задачу минимизации издержек S и определить значения Решение. Исходная задача сводится к следующей ЗНЛП: Целевая функция и функции ограничений являются дифференцируемыми, поэтому в данном случае применим метод множителей Лагранжа. Шаг 1. Вводим вектор множителей Лагранжа Шаг 2. Определяем функцию Лагранжа
Шаг 3. Ищем стационарную точку, решая систему уравнений
Система имеет единственное решение. Соответствующая стационарная точка, подозрительная на экстремум, есть
Шаг 4. Определяем тип экстремума в стационарной точке. Для этого нужно исследовать окаймленную матрицу Гессе
Матрица Якоби
Матрица Гессе функции Лагранжа в произвольной точке: Таким образом, окаймленная матрица Гессе в произвольной, в том числе и в найденной стационарной точке имеет вид: В нашем случае Имеем:
Таким образом, знак минора
Теперь можно сформулировать ответ: компания минимизирует свои издержки при условии использовании ресурсов видов 1, 2 и 3 в количестве 62,5; 25 и 12,5 у.е. соответственно. Пример 3.2. Функция полезности набора из трех товаров в количестве
Требуется найти стоимость наиболее дешевого набора товаров с заданным значением полезности Решение. Требуется решить ЗНЛП
Реализуем метод множителей Лагранжа. Шаг 1. Поскольку имеется всего одно ограничение, то вектор множителей Лагранжа вырождается в скаляр Шаг 2. Определяем функцию Лагранжа Шаг 3. Ищем стационарную точку, решая систему уравнений
Умножая 1-е уравнение (3.11) на
Из 1-го и 3-го уравнений (3.12) имеем Шаг 4. Для определения типа экстремума функции
Поскольку матрица Якоби
то подстановка значений компонент стационарной точки дает
Матрица Гессе функции Лагранжа в произвольной точке: откуда после подстановки значений компонент стационарной точки Таким образом, окаймленная матрица Гессе в найденной стационарной точке принимает вид: В нашем случае Имеем: Таким образом, знаки миноров определяются знаком
Метод подстановки Метод подстановки применяется для решения ЗНЛП с ограничениями-равенствами: при условии, что система ограничений
Подстановка выражений (3.13) на место аргументов
В итоге исходная задача поиска условного экстремума сводится к задаче поиска безусловного экстремума целевой функции
Пример 3.3. Получим решение задачи примера 3.1 методом подстановки. Имеем Преобразуя систему уравнений-ограничений, приводим ее к виду Подстановка полученных выражений для После проведения упрощающих преобразований получаем ЗНЛП без ограничений Необходимым условием существования экстремума этой функции одной переменной является условие равенства нулю ее производной в точке экстремума: Единственная стационарная точка, являющаяся решением данного уравнения, есть
Задачи
Выписать (в произвольной точке) функцию Лагранжа 73.
74.
75.
Методом Лагранжа и методом подстановки найти точки условного экстремума следующих функций: 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83.
84. 85. если 86. 87.
88.
89.
90.
91. 92. Найти экстремум квадратичной формы 93. Доказать неравенство Указание. Искать минимум функции 94. Доказать неравенство Гельдера Указание. Искать минимум функции Сформулировать следующие задачи в виде задач нелинейного программирования и решить их: 95. Имеется цемент в количестве 96. Имеется цемент в количестве 97. Производственная функция определяется как
где 98. Гражданин свой совокупный доход в размере 240 руб. тратит на приобретение картофеля и других продуктов питания. Определите оптимальный набор гражданина, если цена картофеля 1) 99. Оптимальный набор потребителя составляет 6 ед. блага 1) 100. Рациональный потребитель из всех имеющихся вариантов выбрал набор, состоящий из 20 ед. блага 101. Консервные банки, изготовляемые из жести, имеют цилиндрическую форму. Радиус основания цилиндра банки равен R см, высота банки – H см. Определить, при каких значениях R и H расход жести на изготовление консервных банок емкостью в 1 литр будет наименьшим. 102. Производственная функция
где 103. Производственная функция
где 104. Производственная функция
где А =0,75 – технологический коэффициент, x – затраты капитала, y – суммарные затраты ресурсов. Найти значения величин x и y при ценах используемых ресурсов соответственно
При поиске решения принять 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ-НЕРАВЕНСТВАХ
Рассматривается ЗНЛП вида
где
где
![]() ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|