Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Так, если ИУС описывается дифференциальным уравнением





,

то при начальных условиях

операторная форма его записи имеет следующий вид:

а передаточная функция определяется как

(6)

Здесь – аргумент преобразования Лапласа;

и – изображения функций и по Лапласу.

Передаточная функция является своеобразной формой записи дифференциального уравнения устройства и полностью отражает его динамические свойства. Поэтому передаточная функция ИУС зависит не от вида воздействия, а от параметров функциональных элементов, составляющих ИУС.

Многочлен называется характеристическим, и уравнение называется характеристическим уравнением.

Многочлены и могут быть представлены следующим образом:

где – корни уравнения – нули передаточной функции;

– корни уравнения – полюсы передаточной функции.

Передаточные функции сложных систем легко могут быть определены через передаточные функции составляющих их элементов (будет показано ниже).

Имея передаточную функцию системы и , просто найти уравнение системы в операторной форме, т.е. и, используя обратное преобразование Лапласа, определить процесс управления . Такой путь значительно упрощает составление и решение уравнений систем автоматического управления.

Рассмотрим без доказательства некоторые свойства передаточных функций систем автоматического управления.

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией от параметра p вида (6). Порядок числителя m равен порядку знаменателя n или меньше его.

2. Коэффициенты и передаточной функции есть вещественные числа, поскольку они определяются параметрами системы, которые всегда вещественны.

Как уже отмечалось ранее, воздействия, приложенные к ИУС, делятся на задающие (управляющие) и возмущающие. При этом различают три вида передаточных функций замкнутых систем.



А. Передаточной функцией замкнутой системы по задающему (управляющему) воздействию называется отношение преобразования по Лапласу выходной величины к преобразованию по Лапласу задающего (управляющего) воздействия при нулевых начальных условиях, т.е.

, (7)

где ;

- выходная величина;

;

– входная координата.

Б. Передаточной функцией замкнутой системы по возмущающему воздействию называется отношение преобразования по Лапласу выходной величины к преобразованию по Лапласу возмущающего воздействия при нулевых начальных условиях, т.е.

, (8)

где ;

- возмущающее воздействие.

В. Передаточной функцией ошибки замкнутой системы называется отношение изображения по Лапласу сигнала ошибки к изображению по Лапласу задающего воздействия при нулевых начальных условиях , т.е.

, (9)

где ;

- сигнал ошибки ИУС.

В некоторых случаях при анализе и синтезе ИУС бывает удобно вычислить передаточные функции замкнутой ИУС через передаточные функции разомкнутой системы, которые определяются, если реально или мысленно разомкнуть цепь главной обратной связи в системе. При этом различают два вида передаточных функций разомкнутой ИУС: по задающему воздействию и передаточную функцию разомкнутой ИУС по возмущающему воздействию, которые соответственно обозначаются и .

1. Передаточной функцией разомкнутой ИУС по задающему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины разомкнутой ИУС к изображению по Лапласу задающего воздействия при нулевых начальных условиях, т.е.

, (10)

где ;

- выходная величина разомкнутой ИУС.

2. Передаточной функцией разомкнутой ИУС по возмущающему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины разомкнутой ИУС к изображению по Лапласу возмущающего воздействия при нулевых начальных условиях, т.е.

. (11)

В современной инженерной практике исследования ИУС широкое применение получили частотные методы, которые основаны на рассмотрении частотных характеристик отдельных элементов и системы. Если разомкнуть главную обратную связь ИУС и подать на вход ИУС воздействие синусоидальной формы, то в установившемся режиме на выходе системы получим гармоническую функцию той же частоты, но другой амплитуды и фазы. Анализируя гармонические сигналы на входе и выходе системы, можно установить ее свойства, которые характеризуются частотной функцией

. (12)

Функция W(jw) называется комплексной передаточной функцией, комплексной частотной характеристикой. Последняя может быть получена путем замены в выражении передаточной функции (6) комплексной переменной p на jw:

, (13)

где

;

;

;

.

Указанная замена равносильна переходу к преобразованию Фурье для дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях. Геометрическое место концов векторов комплексной частотной функции при различных частотах представляет собой частотную характеристику, которая называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой ИУС (рис. й). В дальнейшем как аналитические выражения (13) частотных функций, так и их графические представления (рис. 2) будем называть соответствующими частотными характеристиками.

 

 


Рис. 1.2 - Амплитудно-фазовая характеристика ИУС

Выражение (13) для амплитудно-фазовой характеристики ИУС может быть записано в алгебраической форме:

или в показательной форме:

.

Члены U(w) и V(w) алгебраической формы записи W(jw) называются соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками. Они определяются освобождением от мнимого числа в знаменателе W(jw), т.е.:

;

.

Чаще всего передаточную функцию анализируют по амплитудно-частотной характеристике:

; (14)

. (15)

Содержательный смысл амплитудно-частотной характеристики заключается в отношениях выходного сигнала к входному при разных частотах. Амплитудно-частотная характеристика для разомкнутых систем без автогенерации всегда меньше единицы. Если на вход подается единичный сигнал, то, проходя через систему, часть энергии рассеивается, при этом подразумевается, что в системе нет дополнительных источников энергии.

Фазочастотная характеристика показывает изменение фазы входного сигнала в выходном в зависимости от частоты.

Амплитудно-частотную характеристику можно найти посредством применения преобразования Лапласа. Такой подход используют в связи с тем, что для инженерных расчетов решение дифференциальных уравнений достаточно затруднено. Поэтому разработан математический аппарат на основе преобразования Лапласа, позволяющий свести решение дифференциального уравнения к решению алгебраического уравнения.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.