Пассивные и активные ФВЧ второго порядка

Передаточная функция ФВЧ второго порядка имеет вид

. (9.38)

Для реализации пассивного ФВЧ второго порядка достаточно в схеме рис.9.5 поменять местами конденсатор и RL-цепь.

Примером реализации активного ФВЧ второго порядка может быть ФВЧ, показанный на рис.9.12, который получается заменой в схе­­ме ФНЧ на рис.9.7 емкостей С₁ и С₂ на сопротивления, а сопротивления R₁ и R₂ на емкости.

Рис.9.12. Активный ФВЧ второго порядка

Передаточная функция фильтра , 9.39)

где а – коэффициент усиления.

Приняв а =1 и С1 = С2 = C, можно получить формулы для расчета фильтра

. (9.40)

Отсюда получим

.

Полосовые фильтры

Путем замены переменной Р в передаточной функции ФНЧ на переменную (1/ΔΩ)(P+1/P) можно получить АЧХ полосового фильтра. В результате этого преобразования АЧХ фильтра нижних частот в диапазоне 0 ≤ Ω ≤ 1 переходит в правую часть полосы пропускания полосового фильтра (1 ≤ Ω ≤ Ω _max). Левая часть полосы пропускания является зеркальным отображением в логарифмическом масштабе правой части относительно средней частоты полосового фильтра Ω = 1 (рис. 9.13). При этом Ω_min = 1/ Ω_max. Вычисление нормированных частот среза полосового фильтра, на которых его коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ, может быть осуществлено из

(9.41)

формулы, которая получается при

.

Рис.9.13. АЧХ полосового фильтра

Пассивный полосовой RC-фильтр

Путем последовательного соединения ФВЧ и ФНЧ получают полосовой фильтр. Его выходное напряжение равно 0 на высоких и низких частотах.

Выходное напряжение полосового RC-фильтра

. (9.42)

Рис.9.14. Пассивный полосовой RC-фильтр (а) и его АЧХ (б)

Коэффициент усиления

. (9.43)

Отсюда модуль коэффициента усиления и фазовый сдвиг

, . (9.44)

Выходное напряжение максимально при ωRC = 1, следовательно, резонансная частота

; (9.45)

- нормированная частота.

Фазовый сдвиг на резонансной частоте равен 0. Коэффициент усиления K _р = 1/3.

Если в схеме рис.9.14 заменить сопротивления на индуктивность, то получим схему пассивного полосового LC-фильтра (рис.9.15).

Рис.9.15. Схема пассивного полосового LC-фильтра (а) и его АЧХ (б)

При совпадении частот, на которых наблюдается резонанс напряжений в последовательном контуре L₁C₁ и резонанс токов в параллельном колебательном контуре L₂C₂, сопротивление продольного плеча L₁C₁ оказывается минимальным, а поперечного L₂C₂ – максимальным. Коэффициент передачи ПФ при этом имеет наибольшее значение. При отклонении частоты входных колебаний от резонансной частоты ƒ₀ коэффициент передачи ПФ уменьшается (рис. 9.15,б).

Заграждающие полосовые фильтры

АЧХ заграждающего фильтра может быть получена из частотной характеристики ФНЧ путем замены переменной Р выражением ΔΩ/(P+1/P). Здесь ΔΩ = 1/Q нормированная полоса частот. Q = f_р/(f_max – f_min) = f_р/Δf, где Δf – полоса частот, на краях которой коэффициент передачи падает на 3 дБ (Q – добротность подавления сигнала).

Как и в случае полосовых фильтров при преобразовании порядок фильтра удваивается. Так при преобразовании передаточной функции ФНЧ первого порядка получим заграждающий фильтр второго порядка с передаточной функцией

. (9.46)

Отсюда получим выражения для АЧХ и ФЧХ фильтра

. (9.47)

Пассивный заграждающий RLC-фильтр

Пример пассивного заграждающего фильтра приведен на рис. 9.16. Передаточная функция такого фильтра имеет вид

. (9.48)

Рис.9.16. Схема заграждающего RLC-фильтра

Резонансная частота и добротность подавления находятся как

. (9.49)

Примерами пассивных заграждающих фильтров являются также мост Вина – Робинсона (рис. 9.17) и двойной Т-образный мост (рис. 9.18).

Мост Вина-Робинсона

Рис.9.17. Схема фильтра Мост Вина-Робинсона

Омический делитель напряжения обеспе­чивает частотно-независимое напряжение, равное 1/3 U_вх.

При этом на резонансной частоте выходное напряжение равно 0. В отличие от полосового фильтра АЧХ коэффициента усиления на резонансной частоте имеет минимум. Схема применима для подавления сигналов в определенной частотной области.

Коэффициент передачи

; (9.50)

Фазовый сдвиг

. (9.51)

Двойной Т-образный фильтр

Двойной Т-образный фильтр обладает частотной характеристикой, идентичной характеристике моста Вина-Робинсона.

Рис.9.18. Двойной Т-образный фильтр (а) и его АЧХ (б)

В отличие от моста Вина-Робинсона выходное напряжение снимается относительно общей точки.

Для высоких и низких частот U_вых=U_вх.

Сигналы высоких частот будут полностью передаваться через два конденсатора С, а низких через резистор R.

Коэффициент передачи и фазовый сдвиг:

, . (9.52)

Добротность данных фильтров мала. Она может быть повышена, если включить их в цепь обратной связи усилителя.

Контрольные вопросы.

1. Что такое фильтры, их назначение, классификация, основные характеристики и параметры?

2. Фильтры нижних частот: пассивные ФНЧ первого порядка – схемное построение, основные характеристики, построение амплитудно-частотной характеристики?

3. Фильтры нижних частот: активные ФНЧ первого порядка – схемное построение, основные соотношения?

4. Пассивные и активные фильтры нижних частот второго порядка - схемная реализация, основные соотношения?

5. Фильтры верхних частот: пассивные и активные ФВЧ первого порядка - схемное построение, основные характеристики, построение амплитудно-частотной характеристики?

6. Фильтры верхних частот: пассивные и активные ФВЧ второго порядка - схемное построение, основные характеристики?

7. Полосовые фильтры: пассивные RC-фильтры, заграждающие фильтры, мост Вина-Робинсона, двойной Т-образный фильтр – схемное построение, основные соотношения, применение в технике?

Лекция 10. АКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ

СОПРОТИВЛЕНИЯ

Назначение и виды преобразователей сопротивлений. Активные преобразователи сопротивлений предназначены для смены значения или характера сопротивлений или проводимостей пассивных двухполюсных элементов: резистивных, индуктивных или емкостных [1,9,10,11]. К таким преобразователям относят конверторы и инверторы сопротивле­ний и проводимостей. Схема активного преобразователя сопротивле­ний или проводимостей приведена на рис. 10.1,а.

Конвертором сопротивления называют активный четырехполюс-ник, преобразующий некоторый двухполюсник с сопротивлением Z_н в двухполюсник с сопротивлением Z_вх=±γZ_н, где γ – вещественная положительная величина, называемая коэффициентом конверсии. Аналогично конвертором проводимости называют четырехпо­люс­ник, который преобразует двухполюсник с проводимостью Y_н в двухполюсник с проводимостью Y_вх = ±γY_н.

Рис.10.1. Схема активного преобразова-теля сопротивлений и проводимостей (а) и вольтамперная характеристика элемента с

отрицательным сопротивлением (б)

Инвертором (гиратором) сопро­тивления называют активный четы­рехполюсник, который преобразует пассивный двухполюсник с соп­ротивлением Z_н в двухполюсник с сопротивлением , где -сопротивление инверсии (или сопротивление гирации). Анало­гич­но инвертором проводимости называют четырехполюсник, который преобразует двухполюсник с проводимостью в двухпо­люсник с проводимостью .

Идея инвертора сопротивления была предложена в 1948 году Бернардом Теллегеном. Основное применение гираторов заключается в создании участков цепи, имитирующих индуктивность. Поскольку катушки индуктивности далеко не всегда могут применяться в электрических цепях, использование гираторов позволит обходиться без катушек.

Из определения конвертора сопротивления следует, что входное сопротивление четырехполюсника с нагрузкой может быть как положительным, так и отрицательным. При этом конвертор положительного сопротивления изменяет только значение сопротивлениядвухполюсника нагрузки, а конвертор отрицательного сопротивления меняет не только значение, но и знак.

Сопротивление бывает положительным, если с возрастанием тока в нем растет и падение напряжения. Если же с ростом тока падение напряжения на сопротивлении уменьшается, то оно является отрица­тельным. Отрицательной может быть и проводимость двухполюсника.

Вольтамперная характеристика одного из таких сопротивлений приведена на рис.10.1,б. Отрицательным это сопротивление является в области Б, где с ростом приложенного напряжения ток умень­шает­ся. Если включить отрицательное сопротивление в цепь пос­ледова­тельно с положительным, то увеличение тока в этой цепи будет вызывать уменьшение падения напряжения на отрицательном сопротивлении и увеличение напряжения на положительном. При этом сумма падений напряжений на положительном и отрицательном сопро­тивлениях будет постоянной, а увеличение мощности, расходуемой в положительном сопротивлении, компенсируется мощностью, вноси­мой отрицательным сопротивлением. Таким образом, отрицательное сопротивление не расходует энергию, а как бы вносит свою энергию в цепь, поэтому оно и названо отрицательным. В действительности в цепях с отрицательным сопротивлением используется только энергия имеющихся в них источников, а отрицательное сопротивление выполняет ее перераспределение между элементами цепи.

Моделирование преобразователей сопротивлений и прово­ди­мостей. Наиболее часто конверторы сопротивлений и проводимос­тей реализуются на управляемых источниках напряжения или тока. Схема конвертора сопротивления с управляемым источником напря­же­ния приведена на рис.10.2,а. В этой схеме управляемый источник

Рис.10.2. Модель конвертора cопро­тивления с управляемым источником напряжения (а) и модель конвертора про-водимости с управляемым источни

ком тока (б)

напряжения соединен последовательно с сопротивлением наг­рузки , а уравнения схемы имеют вид:

. (10.1)

Входное сопротивление такой схемы определяется выражением:

(10.2)

Таким образом, коэффициент конверсии имеет значение:

(10.3)

Если , то рассмотренная схема является конвертором отрицательного сопротивления, если же , то схема становится конвертором положительного сопротивления. При резистивной нагрузке конвертора входное сопротивление будет положи­тель­ным при и отрицательным при .

Если нагрузка имеет индуктивный характер , то входное сопротивление также оказывается индуктивным:

При входная индуктивность конвертора становится отрицательной (). Таким образом, одна и та же схема, приведенная на рис 10.2,а, при различных значениях коэффициента передачи четы­­рехполюсника может быть конвертором положи­тель­ного или отрицательного сопротивления.

Аналогичные результаты получаем при использовании в четырехполюснике источника тока, управляемого током, как показа­но на рис 10.2,б. Так как в этой схеме управляемый источник вклю­чен параллельно нагрузке, то уравнения схемы имеют вид:

(11.4)

Входная проводимость схемы имеет значение

(11.5)

где – коэффициент передачи управляемого источника по току.

При > 1 входная проводимость становится отрицательной, поэ­тому схема будет конвертором отрицательной проводимости.

Так, например, если нагрузка четырехполюсника имеет веще­ственный характер , то входная проводимость

будет отрицательной и вещественной.

Если нагрузка имеет емкостной характер , то входная про­водимость также будет емкостной, а сама входная емкость при > 1 будет отрицательной (). При < 1, входная емкость будет по­ло­­­жи­тельной.

Таким образом, использование конверторов сопротивлений и про­­­водимостей позволяет изменять масштаб положительных сопро­тив­лений, проводимостей, индуктивностей и емкостей, делая их отри­цательными, положительными или равными нулю.

Некоторых пояснений требуют понятия отрицательной емкости и отрицательной индуктивности. Положительная емкость (просто ем­кость) имеет комплексную проводимость , где угол 90^о ука­зы­вает, что ток опережает напряжение на 90^о. В отрицательной ем­ко­сти сохраняется та же частотная зависимость проводимости, но изменяется сдвиг фаз между напряжением и током, т. е. ток отстает от напряжения на угол, равный 90^о.

Положительная индуктивность (просто индуктивность) имеет комплексное сопротивление , где угол 90^о указывает, что напряжение опережает ток на 90^о. В отрицательной индуктивности сохраняется тот же вид частотной зависимости сопротивления, но изменяется сдвиг фаз между током и напряжением, т. е. напряжение отстает от тока на 90^о. Иначе говоря, частотные зависимости у отри­ца­тельной емкости и отрицательной индуктивности такие же, как у положительных, а сдвиги фаз отличаются на 180^о.

Например, если положительную емкость подключить парал­ле­ль­но отрицательной емкости, то при равенстве их абсолютных значений полная емкость такого соединения будет равна нулю. Если же после­до­вательно соединить отрицательную индуктивность и положитель­ную индуктивность, имеющие одинаковые абсолютные значения, то полная индуктивность такого соединения также будет равна нулю.

Инверторы сопротивлений и проводимостей также можно по­строить на управляемых источниках напряжения или тока. Схема ин­вер­тора сопротивления на двух источниках напряжения, управляе­мых током, приведена на рис.10 .3,а.

Рис.10.3. Модель инвертора сопротивления на уп­рав­ляемых источниках напряжения (а) и модель ин­вер­тора проводимости на управляемых источниках

тока (б)

В этой схеме напряжения на зажимах четы­рехполюсника, составленного из двух управ­ляе­­мых источников, имеют значения:

(10.6)

где – сопротивление прямой передачи управляемых источников, которое одновременно является и сопротивлением инверсии (гирации).

Из уравнения (10.6) найдем входное сопротивление:

(10.7)

где – сопротивление нагрузки (знак минус введен из-за того, что ток и напряжение на нагрузке имеют различное сопротив­ле­ние).

Схема, приведенная на рис 10.3,а, соответствует инвертору (гира­тору) положительного сопротивления. Если же поменять направление только одного из управляемых источников напряжения, то изменится знак у одного из напряжений в уравнениях (10.6) и сопротивление

(10.8)

примет отрицательное значение. В этом случае схема будет соответ­ствовать инвертору (гиратору) отрицательного сопротивления.

Аналогичные результаты получаем при использовании двух ис­точ­ников тока, управляемых напряжением. Схема инвертора прово­ди­мости с двумя управляемыми источниками тока приведена на рис 10.3,б. В этой схеме токи управляемых источников имеют значения:

(10.9)

где Y_г – проводимость прямой передачи источников, которая и яв­­ляется проводимостью инверсии.

Из уравнения (10.9) находим входную проводимость схемы:

(10.10)

где – проводимость нагрузки.

Схема, приведенная на рис 10.3,б, соответствует инвертору (ги­ратору) положительной проводимости. Если поменять направ­ление только одного из управляемых источников тока, то изменится знак у одного из токов в уравнениях (10.9) и проводимость

(10.11)

примет отрицательное значение. В этом случае схема, приведенная на рис. 10.3,б, будет соответствовать инвертору отрицательной проводи­мости. Самым распространенным применением инверторов сопро­ти­в­­ле­ний и проводимостей является создание на их основе ем­костных аналогов индуктивности. В связи с тем, что изготовление ем­кости про­ще, чем изготовление индуктивности, этот способ изготов­ления индуктивностей находит самое широкое применение, особенно в микроэлектронике. Так, например, если в схеме рис.10.3,а исполь­зо­вать емкостную нагрузку , то входное сопротивление ин­вер­тора будет индуктивным, а эквивалентная индуктивность будет иметь значение

, (10.12)

где R_г– вещественное сопротивление инверсии.

При помощи инверторов сопротивлений можно построить без­ин­дуктивные резонансные контуры, различные безиндуктивные филь­тры, интеграторы напряжения и многие другие устройства. В таких устройствах отсутствуют многие нежелательные факторы, свя­занные с несовершенством катушек индуктивности: насыщение фер­ромаг­нитных сердечников, потери на гистерезис и вихревые токи, большие габариты и масса катушек. Инверторы сопротивлений с ем­костной нагрузкой имеют реактивный (индуктивный) характер вход­ного сопротивления, поэтому такой инвертор не потребляет энергию из цепи, к которой он подключен.

Реализация конверторов сопротивлений на управляемых источниках. При построении конверторов сопротивлений на управляемых источниках напряжения с использованием модели, приведенной на рис.10.2,а, в качестве управляемого источника можно использовать, например, операционный усилитель, выполнив на нем усилитель с ограниченным усилением. Схема такого усилителя без инверсии входного сигнала приведена на рис.10.4,а, а с инверсией – на рис.10.4,б.

Рис.10.4. Схемы неинвертирующего усилителя с ограниченным усилением ОУ (а), инвертирующего усилителя (б) и условное обозначение неинвер­­тирую-

­­щего усилителя (в) и инвертирующего усилителя (г)

Коэффициент усиления по напряжению для схемы, приведенной на рис.10.4,а, определяется по формуле

а для схемы, приведенной на рис.10.4,б,

Условные схематические обозначения усилителей с ограничен­ным усилением приведены на рис.10.4,в и г.

С помощью таких усилителей можно легко организовать кон­вер­­­торы отрицательной и положительной емкости, схемы которых приведены на рис.10.5. Для схемы конвертора отрицатель­ной емкости, изображенной на рис.10.5,а, входная емкость может быть найдена по формуле

а для схемы конвертора положительной емкости, изображенной на рис.10.5,б, – по формуле

Так, например, при R₁=R₂ для схемы конвертора (рис.10.5,а) по­лучаем C_вх=-С_н, т. е. емкость на входе конвертора изменяет знак, не изменяя значения.

Рис.10.5. Схемы конвертора отрицатель-

ной (а) и положительной (б) емкостей

Другой тип конверторов сопро­тив­ления можно создать на базе источников тока, управляемых током. Простейшим устройством такого типа является биполярный транзистор. В соответствии со схемой такого конвертора (рис.10.2,б) нагрузка должна подключаться параллельно управляемому источнику тока. Упрощенная схема тако­го конвертора приведена на рис 10.6,а. Так как нагрузка Z_н включена в эмиттер, то схема является эмиттерным повторителем напряжения, схема замещения которого приведена на рис.10.6,б.

Уравнения для схемы замещения рис.10.6,б имеют вид:

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: