Математические основы теории двойственности.

Сформулируем правила составления двойственной задачи к стандартной форме записи прямой задачи ЛП.

1. Каждому ограничению исходной задачи ставится в соответствие переменная двойственной задачи

u₁↔a₁₁x₁+…+a₁_jx_j+…+a_1nx_n≤b₁;

u_i↔a_i₁x₁+…+a_ijx_j+…+a_inx_n≤b_i

u_m↔a_m₁x₁+…+a_mjx_j+…+a_mnx_n≤b_m (3.7)

x_j≥0; j=1, n

F(x) x=c₁x₁+…+c_jx_j+…+c_nx_n→max

Каждой переменной исходной задачи ставится в соответствие ограничение двойственной задачи

x₁↔a₁₁u₁+…+a_i1u_i+…+a_m₁u_m ≥ c₁;

x_j↔a₁_ju₁+…+a_iju_i+…+a_mju_m ≥ c_j;

x_n↔a₁_nu₁+…+a_inu_i+…+a_mnu_m ≥ c_n; (3.8)

u_i≥0; i=1, m;

Z (u)=b₁u₁+…+b_iu_i+…+b_mu_m→min

2. Левая часть ограничения двойственной задачи (3.8), соответствующая переменной x_j, представляет собой сумму произведений коэффициентов столбца при переменной х_j ограничений прямой задачи (3.7) на соответствующие им двойственные переменные. В качестве правой части этого же ограничения берется коэффициент целевой функции при переменной x _j прямой задачи. Между левой и правой частями ограничения двойственной задачи ставится знак ≥.

3. Граничные условия на переменные двойственной задачи заключается в требовании их не отрицательности u_i≥0; i=1,m.

4. Целевая функция двойственной задачи представляет собой сумму произведений правых частей ограничений прямой задачи на соответствующие им двойственные переменные и ориентируется на минимум.

Эти правила можно применить при построении задачи, двойственной к прямой, после ее приведения к нижеприведенной стандартной форме записи задачи линейного программирования.

Найти u=(u₁,…u_i,…,u_m);

-a₁₁u₁-…-a_i₁u_i-…-a_m₁u_m≤-c₁;

-a₁_ju₁-…-a_iju_i-…-a_mju_m≤-c_j;

-a₁_nu₁-…-a_inu_i-…-a_mnu_m≤-c_n;

u_i≥0; i=1,m;

Z (u)’= -b₁u₁-…-b_iu_i-…-b_mu_m→max. (3.9)

Применив предложенные ранее правила построения двойственной задачи, нетрудно убедиться, что в итоге получится задача, эквивалентная по смыслу прямой задаче.

Это доказывает свойство сопряженности прямой и двойственной задачи, которое заключается в том утверждении, что двойственная задача к двойственной задаче является прямой задачей. В соответствии с этим свойством двойственную задачу можно считать прямой, а прямую задачу - двойственной к ней, т.е. названия «прямая задача» и «двойственная задача» не являются навсегда закрепленными названиями за той или иной задачей линейного программирования. Это оправдывает применяемый в дальнейшем термин «пара взаимодвойственных задач».

Теорема двойственности

Пусть дана пара взаимодвойственных задач линейного программирования (3.7) и (3.8). Относительно этих задач имеет место следующая основная (первая) теорема двойственности.

Основная теорема двойственности

Если одна из этой пары взаимодвойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая задача тоже обязательно имеет оптимальное решение. При этом выполняется соотношение

F(x) = Z (u).

Следствие основной теоремы двойственности

Допустимое решение задачи (4.2) x*=(x₁*,…,x_j*,…,x_n*) и допустимое решение задачи (4.2) u*=(u*₁,…,u_i*,…,u_m*) будут оптимальными для своих задач, если выполняется равенство

c₁x₁^*+…+c_jx_j*+…+c_nx_n*= b₁u₁*+…+b_iu_i^*+…+b_mu_m*.

Под условиями «дополняющей нежесткости» для задач (3.7) и (3.8) понимаются следующие две группы математических соотношений:

u₁(b₁-a₁₁x₁-…-a₁_jx_j-…-a₁_nx_n)=0;

u_i(b_i-…a_i₁x₁-…-a_ijx_j-…-a_inx_n)=0;

u_m(b_m-…-a_m₁x₁-…-a_mjx_j-…-a_mnx_n)=0. (3.10)

x₁(a₁₁u₁+…+a_i₁u_i+…+a_m₁u_m-c₁)=0;

x_j(a₁_ju₁+…+a_iju_i+-+a_mju_m-c_j)=0

x_n(a₁_nu₁+…+a_inu_i+…+a_mnu_m-c_n)=0 (3.11)

Вторая теорема двойственности

Допустимое решение задачи (3.7) x*=(x*₁,…,x_j*,…,x_n*) и допустимое решение задачи (3.8) u*=(u₁*,…,u_i*,…,u_m*) будут оптимальными для своих задач тогда и только тогда, когда для них выполняются «условия дополняющей нежесткости»(3.10) и (3.11).

Первая группа условий дополняющей нежесткости (3.10) интерпретируется следующим образом.

1а. Если предельная эффективность ресурса под номером i больше нуля, т.е. u_i⁰>0, то этот ресурс является лимитирующим или, иначе, полностью расходуется по данной оптимальной производственной программе x⁰=(x₁⁰,…,x_j⁰,…,x_n⁰), так как должно выполняться равенство

a_i₁x₁⁰+…+a_ijx_j⁰+…+a_inx_n⁰=b

1б. Если ресурс под номером i не является лимитирующим для данной оптимальной производственной программы x⁰=(x₁⁰,…,x_j⁰,…,x_n⁰) или иначе, a_i₁x₁+…+a_ijx_j⁰+…+a_inx_n⁰<b, то предельная эффективность этого ресурса должна равняться нулю, т.е. u_i⁰=0.

Вторая группа условий дополняющей нежесткости (3.11) интерпретируется следующим образом.

2а. Если продукт под номером j выпускается по оптимальной производственной программе х⁰=(x₁⁰,...x_j⁰,…,x_n⁰), т.е. x_j⁰>0, то суммарная эффективность всех затраченных ресурсов на выпуск единицы этого продукта должна равняться эффективность его реализации (цене продукта)

a₁u₁⁰+…+a_iju_i⁰+…+a_mju_m⁰=c_j

2б. Если суммарная эффективность всех затраченных ресурсов на выпуск единицы продукта под номером j превышает эффективность его реализации, т.е. a₁u₁+…+a_iju_i⁰+…+a_mju_m⁰>c_j, то продукт по оптимальной программе x⁰=(x₁⁰,...,x_j⁰,…x_n⁰) не должен производиться, т.е. x_j⁰=0.

Решение двойственной задачи

Составим и найдем решение двойственной задаче к задаче, решенной графическим и симплекс-методом.

Прямая задача:

Найти =(x₁, x₂), чтобы

F(x) =16x₁+14x₂→max, при

0,8x₁+0,5x₂≤400

0,4x₁+0,8x₂≤365

x₁ - x₂≤100

x₂≤350

x₁, x₂ ≥0

Решение прямой задачи:

x₁ =312,5кг; x₂=300кг

F(x) =9200 руб.

При этом первое и втрое ограничение превращается в строгое равенство, а третье и четвертое в строгое неравенство.

Двойственная задача:

Найти =(u₁,u₂,u₃,u₄), чтобы

Z (u) = 400u₁+365u₂+100u₃+350u₄→min

при 0,8u₁+0,4u₂+u₃+0u₄≥16

0,5u₁+0,8u₂-u₃+u₄≥14

u₁ - u₄≥0

Относительно рассматриваемого варианта задач соответствующие условия “дополняющей нежесткости” первой и второй группы выглядит следующим образом.

u₁↔(400-0,8x₁-0,5x₂)=0;

u₂↔(365-0,4x₁-0,8x₂)=0; (3.12)

u₃↔(100 - x_{1 +} x₂)= 0;

u₄↔(350 - x₂)=0.

x₁↔ (0,8u₁+0,4u₂+ u₃ -16)=0; (3.13)

x₂↔ (0,5u₁+0,8u₂-u₃+u₄-14)=0;

Из группы условий (3.12), так как 100-312,5+300=87,5>0 и 350-300=50>0 и на основе интерпретации 1б следует, что ограничения по спросу не лимитируют оптимальную программу, т.е. u₃=u₄=0

Из группы условий (3.13) на основе интерпретации 2а следует, что если оба продукта выпускаются по оптимальной программе, т.е. x*₁=312,5 и x*₂=300, то должны выполняться равенства

0,8u₁+0,4u₂+u₃=16

0,5u₁+0,8u₂-u₃+u₄=14

Из этих уравнений с учетом u₃=u₄=0 перейдем к решению следующей системы

0,8u₁+0,4u₂=16

0,5u₁+0,8u₂=14

Откуда получаем u ₁= (16,36) руб. и u₂= (7,27) руб., при этом

Z (u) =400 · +365· =9200 руб. т. е F (x) = Z (u) =9200 руб.

В соответствие с вышесказанным найденное оптимальное решение позволяет уточнить понятие «теневая цена» это не просто цена, по которой мы будем продавать единицу того или иного ресурса. «Теневая цена» - это величина увеличения максимума целевой функции прямой задачи при изменении (увеличение) количества соответствующего ресурса на единицу, т.е.:

u₁=16,36 - величина ожидаемого прироста максимума дохода (9200 руб.) от дополнительного вовлечения в производство 1 кг молока к имеющимся 400кг;

u₂=7,27 руб.- величина ожидаемого прироста максимума дохода (9200 руб.) от дополнительного вовлечения в производство 1кг наполнителя к имеющимся 365 кг

u₃=u₄=0 руб. - величина ожидаемого прироста дохода за счет увеличения спроса (недефицитные) ресурсы.

В связи с этим «теневые цены» (u) в советской и российской литературе называются предельной эффективностью ресурса.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: