|
Основні поняття про функції багатьох зміннихСтр 1 из 2Следующая ⇒ Основні поняття про функції багатьох змінних Вивчення зв’язків і закономірностей, які існують в матеріальному світі, часто приводять до функції не однієї, а багатьох змінних. Ці функції дозволяють виражати більш складні залежності, ніж функції однієї змінної. Тому теорія функцій багатьох змінних має широке практичне застосування в різних галузях. 1.1. Означення функції багатьох змінних. Функція двох змінних та її графічне зображення Змінні Означення 1. Функцією багатьох змінних Наприклад: Множина
Приклад 1. 1.2. Економічні задачі, що приводять до поняття функцій багатьох змінних Приведемо приклади конкретних функцій багатьох змінних, які зустрічаються в економічних задачах. Приклад 2. Нехай підприємство випускає тільки один товар і на його випуск затрачається тільки одна сировина (один ресурс). Підприємство характеризується повністю своєю виробничою функцією y=f(x) залежність об’єму випущеного товару Якщо на виробництво продукції певного типу витрачається багато видів сировини (ресурсів) х1, х2,...,хn то така виробнича функція називається багаторесурсною або багатофакторною: Найбільш відомою виробничою функцією є функція Кобба - Дугласа K - об’єм фондів в вартісному або натуральному вираженні; L - об’єм трудових ресурсів – число працівників, число людино-днів; y - випуск продукції в вартісному або натуральному виразі. На цьому прикладі видно, що функція Кобба-Дугласа є функцією двох незалежних змінних K і L. Приклад 3. Розглянемо основне рівняння класичної кількісної теорії грошей, яке називається рівнянням обміну Фішера: MV=PY даному рівнянні будь-яка із змінних M,V,P,Y може розглядатися як функція трьох змінних, де M - це загальна кількість грошей, наявних в обороті; V - швидкість їх обороту (скільки раз кожна гривня бере участь в розрахунках в середньому за рік); Y - національний продукт або дохід (національний продукт – це всі готові товари і послуги, що виготовлені в економічній системі у вартісному виразі; національний дохід – це всі виплати, одержані домашніми господарствами: заробітна плата, рента, прибуток; національний продукт і національний дохід чисельно рівні);
Нехай
Лінії та поверхні рівня. Гіперповерхні рівня Поверхні другого порядку Найбільш вивчені поверхні в курсі аналітичної геометрії – поверхні другого порядку. В загальному випадку рівняння такої поверхні має вигляд.
Наприклад: 1) - конус;
2) - напівсфера;
еліптичний параболоїд;
-гіперболічний параболоїд;
5) -трьохосний еліпсоїд.
Для вивчення поверхонь в трьохвимірному просторі застосовується метод перерізів. Суть цього методу така: перерізаємо задану поверхню площинами. Приклад 3. Гіперповерхня рівня Нехай задана функція від Функції двох змінних Похідна складної функції Відомо, що для похідної складної функції однієї змінної
Узагальнимо цю формулу на випадок функції двох змінних Знайдемо похідну цієї функції по змінній
Перепишемо цей приріст в іншому вигляді:
Застосуємо тепер теорему Лагранжа про скінчені прирости відповідно до першої і другої квадратних дужок. Тоді отримаємо:
Допустимо тепер, що частинні похідні неперервні по сукупності змінних Таким чином,
Тепер згідно означення похідної знаходимо:
Перейшовши до границі при
Ця похідна називається повною похідною функції
де Поняття похідної функції
Похідна функції по напрямку Нехай функція Нехай в цій області задана точка Позначимо через
Таким чином:
Звідси випливає, що коли зафіксувати точку відповідно Згідно означення похідної функції однієї змінної, похідна функції
Цю границю назвемо похідною функції
Але Цю формулу можна узагальнити на випадок функції трьох змінних
Встановимо зв’язок між похідною функції
Помножимо скалярно вектор
Із цієї формули випливає, що у випадку, коли напрямок вектора
![]() ![]() Приклад 3. Обчислити градієнт функції Розв’язування. Знаходимо частинні похідні функції
Обчислимо їх значення в даній точці:
![]() ![]() Багатьох змінних Нехай z=f(x,y) - функція двох змінних. Надамо обом змінним прирости відповідно Δ x і Δ y, тоді функція z отримає приріст Відомо, що для функції y= φ (x), яка має похідну
де ε→ 0, якщо Δ x→0. Тоді головна лінійна частина приросту функції називається диференціалом функції dy=φ′(x) Δ x= φ′(x)dx. В випадку функції двох або більше змінних наявність частинних похідних ще не гарантує того, що повний приріст функції можна представити в виді, аналогічному (5.8). Означення 6. Функція z=f(x,y) називається диференційовною в даній точці
де Доданки Означення 7. Повним диференціалом функції ТЕОРЕМА 1. Якщо функція
Доведення. Нехай функція
Оскільки Аналогічно доводиться, що Нехай задана функція
Навпаки, якщо допустити, що функція Основні поняття про функції багатьох змінних Вивчення зв’язків і закономірностей, які існують в матеріальному світі, часто приводять до функції не однієї, а багатьох змінних. Ці функції дозволяють виражати більш складні залежності, ніж функції однієї змінної. Тому теорія функцій багатьох змінних має широке практичне застосування в різних галузях. 1.1. Означення функції багатьох змінних. Функція двох змінних та її графічне зображення Змінні Означення 1. Функцією багатьох змінних Наприклад: Множина
Приклад 1. 1.2. Економічні задачі, що приводять до поняття функцій багатьох змінних Приведемо приклади конкретних функцій багатьох змінних, які зустрічаються в економічних задачах. Приклад 2. Нехай підприємство випускає тільки один товар і на його випуск затрачається тільки одна сировина (один ресурс). Підприємство характеризується повністю своєю виробничою функцією y=f(x) залежність об’єму випущеного товару Якщо на виробництво продукції певного типу витрачається багато видів сировини (ресурсів) х1, х2,...,хn то така виробнича функція називається багаторесурсною або багатофакторною: Найбільш відомою виробничою функцією є функція Кобба - Дугласа K - об’єм фондів в вартісному або натуральному вираженні; L - об’єм трудових ресурсів – число працівників, число людино-днів; y - випуск продукції в вартісному або натуральному виразі. На цьому прикладі видно, що функція Кобба-Дугласа є функцією двох незалежних змінних K і L. Приклад 3. Розглянемо основне рівняння класичної кількісної теорії грошей, яке називається рівнянням обміну Фішера: MV=PY даному рівнянні будь-яка із змінних M,V,P,Y може розглядатися як функція трьох змінних, де M - це загальна кількість грошей, наявних в обороті; V - швидкість їх обороту (скільки раз кожна гривня бере участь в розрахунках в середньому за рік); Y - національний продукт або дохід (національний продукт – це всі готові товари і послуги, що виготовлені в економічній системі у вартісному виразі; національний дохід – це всі виплати, одержані домашніми господарствами: заробітна плата, рента, прибуток; національний продукт і національний дохід чисельно рівні);
Нехай
![]() ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|