Основні поняття про функції багатьох змінних

Основні поняття про функції багатьох змінних

Вивчення зв’язків і закономірностей, які існують в матеріальному світі, часто приводять до функції не однієї, а багатьох змінних. Ці функції дозволяють виражати більш складні залежності, ніж функції однієї змінної. Тому теорія функцій багатьох змінних має широке практичне застосування в різних галузях.

1.1. Означення функції багатьох змінних.

Функція двох змінних та її графічне зображення

Змінні називаються незалежними між собою, якщо кожна із них може приймати довільні значення в своїй області зміни незалежно від того, які значення приймають при цьому інші змінні.

Означення 1. Функцією багатьох змінних називається така закономірність, при якій змінним із деякої множини ставиться у відповідність одне значення із множини .

Наприклад:

Множина називається областю визначення функції

а множина - область значень цієї функції. Наприклад, функція задана для всіх і , для яких виконується нерівність У даному випадку областю визначення функції є круг на площині з центром в точці і радіусом R=3 Область значень цієї функції .

Частинним випадком функції багатьох змінних є функція двох змінних для якої можна дати поняття графіка функції. В загальному випадку графіком такої функції є поверхня у трьохвимірному просторі R³

K - об’єм фондів в вартісному або натуральному вираженні;

L - об’єм трудових ресурсів – число працівників, число

людино-днів;

y - випуск продукції в вартісному або натуральному виразі. На цьому прикладі видно, що функція Кобба-Дугласа є функцією двох незалежних змінних K і L.

Приклад 3. Розглянемо основне рівняння класичної кількісної теорії грошей, яке називається рівнянням обміну Фішера:

MV=PY

даному рівнянні будь-яка із змінних M,V,P,Y може розглядатися як функція трьох змінних, де

M - це загальна кількість грошей, наявних в обороті;

V - швидкість їх обороту (скільки раз кожна гривня

бере участь в розрахунках в середньому за рік);

Y - національний продукт або дохід (національний продукт

– це всі готові товари і послуги, що виготовлені в економічній

системі у вартісному виразі; національний дохід – це всі виплати,

одержані домашніми господарствами: заробітна плата, рента, прибуток; національний продукт і національний дохід чисельно рівні);

- рівень цін (середнє зважене значення цін готових товарів і послуг, що визначені відносно базового показника, прийнятого за одиницю).

Нехай - тобто ціна є функцією трьох незалежних змінних. Тоді із збільшенням грошової маси (кількості грошей) в декілька разів (тобто гроші просто надрукують), ціни зростуть в стільки ж разів, при умові, що інші величини і залишаться незмінними. Такі дії і є найчастіше причиною інфляції.

Лінії та поверхні рівня. Гіперповерхні рівня

Поверхні другого порядку

Найбільш вивчені поверхні в курсі аналітичної геометрії – поверхні другого порядку. В загальному випадку рівняння такої поверхні має вигляд.

Залежно від значень коефіцієнтів одержують різні поверхні другого порядку.

Наприклад:

1)

- конус;

2)

- напівсфера;

3) -

еліптичний параболоїд;

4)

-гіперболічний параболоїд;

5)

-трьохосний

еліпсоїд.

Для вивчення поверхонь в трьохвимірному просторі застосовується метод перерізів. Суть цього методу така: перерізаємо задану поверхню площинами. В результаті отримуємо деякі криві, які характеризують поверхню.

Приклад 3. Нехай Отримаємо рівняння (рівняння кола). Покладемо тоді - рівняння параболи в площині , яка зміщена на одиниць вверх по осі . Покладемо Отримаємо рівняння Одержали рівняння параболи в площині , яка зміщена на одиниць вверх по осі З цих досліджень випливає, що графіком функції є параболоїд обертання навколо осі

Гіперповерхня рівня

Нехай задана функція від змінних Якщо покласти то одержимо рівняння яке називається рівнянням гіперповерхні рівня в просторі . Наприклад: Якщо то рівняння є рівнянням гіперсфери в з центром в точці і радіусом .

Функції двох змінних

Похідна складної функції

Відомо, що для похідної складної функції однієї змінної де має місце формула

.

Узагальнимо цю формулу на випадок функції двох змінних Нехай задана диференційовна функція , яка має неперервні частинні похідні і . Допустимо, що аргументи і є в свою чергу диференційовними функціями від третьої змінної Ясно, що функція є складною функцією від змінної : .

Знайдемо похідну цієї функції по змінній . Для цього надамо приросту аргументу і знайдемо повний приріст функції , якщо аргументи і набувають відповідно приростів і :

.

Перепишемо цей приріст в іншому вигляді:

.

Застосуємо тепер теорему Лагранжа про скінчені прирости відповідно до першої і другої квадратних дужок. Тоді отримаємо:

.

Допустимо тепер, що частинні похідні неперервні по сукупності змінних і , тоді:

Таким чином,

.

Тепер згідно означення похідної знаходимо:

.

Перейшовши до границі при і враховуючи, що , отримаємо формулу:

.

Ця похідна називається повною похідною функції по аргументу . Аналогічно вводиться формула повної похідної для функції

,

де .

Поняття похідної функції можна узагальнити, якщо ввести похідну функції по напрямку.

Похідна функції по напрямку

Нехай функція задана в деякій замкнутій області площини .

Нехай в цій області задана точка . Надамо приросту аргументам відповідно і , тоді отримаємо точку . Розглянемо вектор .

Позначимо через кут, який утворює вектор з віссю , а через - довжину цього вектора. Тоді можна записати:

або

Таким чином: Значення функції

в точках і відповідно будуть такі:

і .

Звідси випливає, що коли зафіксувати точку і напрямок вектора і міняти тільки , то функцію можна записати у вигляді , а її значення в точках і

відповідно і Таким чином

Згідно означення похідної функції однієї змінної, похідна функції по змінній дорівнює

.

Цю границю назвемо похідною функції по даному напрямку. Виходячи із викладеного вище, функцію можна вважати складною функцією по . Її повна похідна по дорівнює

.

Але , тому

Цю формулу можна узагальнити на випадок функції трьох змінних . В цьому випадку напрямок задається вектором і формула диференціювання по напрямку відповідно матиме вид

.

Встановимо зв’язок між похідною функції по напрямку і градієнтом цієї функції. Для цього розглянемо вектори

і .

Помножимо скалярно вектор на вектор , отримаємо:

. Таким чином,

. Згідно з означенням скалярного добутку .

Із цієї формули випливає, що у випадку, коли напрямок вектора співпадає з напрямком вектора

.

Приклад 3. Обчислити градієнт функції в точці M₀(3,4).

Розв’язування. Знаходимо частинні похідні функції

;

Обчислимо їх значення в даній точці:

; .

Багатьох змінних

Нехай z=f(x,y) - функція двох змінних. Надамо обом змінним прирости відповідно Δ x і Δ y, тоді функція z отримає приріст який називається повним приростом функції.

Тоді головна лінійна частина приросту функції називається диференціалом функції dy=φ′(x) Δ x= φ′(x)dx.

Означення 7. Повним диференціалом функції називається головна лінійна частина приросту функції відносно і , тобто: або

ТЕОРЕМА 1. Якщо функція диференційовна в даній точці , то існують частинні похідні цієї функції і має місце рівність тобто

. (5.10)

Доведення. Нехай функція диференційовна. Тоді має місце формула (5.9). Покладемо тоді із (5.9) отримаємо

звідки , де якщо

Оскільки - стала величина ( і фіксовані), то

Аналогічно доводиться, що Таким чином, формула (5.10) доведена.

Нехай задана функція Можна довести, по аналогії з функцією що в випадку диференційовності функції має місце формула

(5.11)

Навпаки, якщо допустити, що функція має частинні похідні, які є неперервними функціями по сукупності змінних в околі точки M(x₁,x₂,…,x_n ) то справедлива формула (5.11).

Основні поняття про функції багатьох змінних

Вивчення зв’язків і закономірностей, які існують в матеріальному світі, часто приводять до функції не однієї, а багатьох змінних. Ці функції дозволяють виражати більш складні залежності, ніж функції однієї змінної. Тому теорія функцій багатьох змінних має широке практичне застосування в різних галузях.

1.1. Означення функції багатьох змінних.

Функція двох змінних та її графічне зображення

Змінні називаються незалежними між собою, якщо кожна із них може приймати довільні значення в своїй області зміни незалежно від того, які значення приймають при цьому інші змінні.

Означення 1. Функцією багатьох змінних називається така закономірність, при якій змінним із деякої множини ставиться у відповідність одне значення із множини .

Наприклад:

Множина називається областю визначення функції

а множина - область значень цієї функції. Наприклад, функція задана для всіх і , для яких виконується нерівність У даному випадку областю визначення функції є круг на площині з центром в точці і радіусом R=3 Область значень цієї функції .

Частинним випадком функції багатьох змінних є функція двох змінних для якої можна дати поняття графіка функції. В загальному випадку графіком такої функції є поверхня у трьохвимірному просторі R³

K - об’єм фондів в вартісному або натуральному вираженні;

L - об’єм трудових ресурсів – число працівників, число

людино-днів;

y - випуск продукції в вартісному або натуральному виразі. На цьому прикладі видно, що функція Кобба-Дугласа є функцією двох незалежних змінних K і L.

Приклад 3. Розглянемо основне рівняння класичної кількісної теорії грошей, яке називається рівнянням обміну Фішера:

MV=PY

даному рівнянні будь-яка із змінних M,V,P,Y може розглядатися як функція трьох змінних, де

M - це загальна кількість грошей, наявних в обороті;

V - швидкість їх обороту (скільки раз кожна гривня

бере участь в розрахунках в середньому за рік);

Y - національний продукт або дохід (національний продукт

– це всі готові товари і послуги, що виготовлені в економічній

системі у вартісному виразі; національний дохід – це всі виплати,

одержані домашніми господарствами: заробітна плата, рента, прибуток; національний продукт і національний дохід чисельно рівні);

- рівень цін (середнє зважене значення цін готових товарів і послуг, що визначені відносно базового показника, прийнятого за одиницю).

Нехай - тобто ціна є функцією трьох незалежних змінних. Тоді із збільшенням грошової маси (кількості грошей) в декілька разів (тобто гроші просто надрукують), ціни зростуть в стільки ж разів, при умові, що інші величини і залишаться незмінними. Такі дії і є найчастіше причиною інфляції.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: