Економічний зміст частинних похідних

Відповідним чином можна надати економічного змісту частинним похідним.

Розглянемо в якості прикладу функцію Кобба-Дугласа

Величину будемо називати середньою продуктивністю праці (кількість продукції, виробленої одним робітником).

Величину будемо називати середньою фондовіддачею (кількість продукції, що вироблена одним верстатом).

Величину назвемо середньою фондоозброєністю (фондоозброєність - це вартість фондів, що припадають на одиницю трудових ресурсів).

Зафіксуємо біжучий стан підприємства, тобто об’єм фондів і число працівників . Їм відповідає випуск продукції . Якщо найняти ще одного працівника, то приріст випуску продукції

.

А це є частковий приріст функції по і тому

Оскільки то .

Отже, частинна похідна від виробничої функції по об’єму трудових ресурсів приблизно рівна додатковій вартості продукції, що вироблена ще одним робітником. Тому похідна

називається граничною продуктивністю праці.

Якщо ж збільшити фонди ще на одиницю – купити ще один верстат, то додаткова вартість продукції, що вироблена на ньому, приблизно дорівнює частинній похідній виробничої функції по об’єму фондів. Тоді

називається граничною фондовіддачею.

І гранична продуктивність праці, і гранична фондовіддача – це абсолютні величини. Але в економіці надзвичайно цікаво знати на скільки відсотків зміниться випуск продукції, якщо число робітників збільшиться на 1%, або якщо фонди зростуть на 1%. Тому розглядаються поняття еластичності випуску продукції по об’єму трудових ресурсів і еластичності випуску продукції по фондах:

Звідси маємо економічний зміст параметрів функції Кобба-Дугласа.

- еластичність випуску по фондах;

- еластичність випуску по праці.

Приклад 2. Нехай виробнича функція є функцією Кобба-Дугласа. Щоб збільшити випуск продукції на 5% треба збільшити фонди на 10% або чисельність робітників на 15%. В 2001 році один робітник виготовляв продукцію на 2000 грн., а всього робітників 1000. Основні фонди оцінювались в 4 млн.грн. Записати виробничу функцію, величину середньої фондовіддачі і середньої продуктивності праці.

Розв’язування. Зрозуміло, що еластичність випуску продукції по праці , а по фондах . Отже, функція Кобба-Дугласа має вид , . Підставляючи інші величини, отримаємо:

, тобто

.

Отже, виробнича функція Середня фондовіддача рівна , а середня продуктивність

Частинні похідні функції багатьох змінних

Ми розглянули випадок функції двох змінних. Для функції означення частинних похідних вводиться аналогічно і знаходиться частинних похідних:

Очевидно, що для функцій багатьох змінних можна використовувати відомі правила диференціювання, включаючи таблиці похідних, які отримані для функцій однієї змінної.

§5. Градієнт функції багатьох змінних.

Похідна функції по напрямку

5.1. Градієнт функції багатьох змінних

Означення 5. Градієнтом функції називається вектор

(5,5)

Аналогічно для функції

(5.6)

Відповідно вводимо градієнт функції

. (5.7)

Скорочено градієнт функції позначимо через .

Похідна складної функції

Відомо, що для похідної складної функції однієї змінної де має місце формула

.

Узагальнимо цю формулу на випадок функції двох змінних Нехай задана диференційовна функція , яка має неперервні частинні похідні і . Допустимо, що аргументи і є в свою чергу диференційовними функціями від третьої змінної Ясно, що функція є складною функцією від змінної : .

Знайдемо похідну цієї функції по змінній . Для цього надамо приросту аргументу і знайдемо повний приріст функції , якщо аргументи і набувають відповідно приростів і :

.

Перепишемо цей приріст в іншому вигляді:

.

Застосуємо тепер теорему Лагранжа про скінчені прирости відповідно до першої і другої квадратних дужок. Тоді отримаємо:

.

Допустимо тепер, що частинні похідні неперервні по сукупності змінних і , тоді:

Таким чином,

.

Тепер згідно означення похідної знаходимо:

.

Перейшовши до границі при і враховуючи, що , отримаємо формулу:

.

Ця похідна називається повною похідною функції по аргументу . Аналогічно вводиться формула повної похідної для функції

,

де .

Поняття похідної функції можна узагальнити, якщо ввести похідну функції по напрямку.

Похідна функції по напрямку

Нехай функція задана в деякій замкнутій області площини .

Нехай в цій області задана точка . Надамо приросту аргументам відповідно і , тоді отримаємо точку . Розглянемо вектор .

Позначимо через кут, який утворює вектор з віссю , а через - довжину цього вектора. Тоді можна записати:

або

Таким чином: Значення функції

в точках і відповідно будуть такі:

і .

Звідси випливає, що коли зафіксувати точку і напрямок вектора і міняти тільки , то функцію можна записати у вигляді , а її значення в точках і

відповідно і Таким чином

Згідно означення похідної функції однієї змінної, похідна функції по змінній дорівнює

.

Цю границю назвемо похідною функції по даному напрямку. Виходячи із викладеного вище, функцію можна вважати складною функцією по . Її повна похідна по дорівнює

.

Але , тому

Цю формулу можна узагальнити на випадок функції трьох змінних . В цьому випадку напрямок задається вектором і формула диференціювання по напрямку відповідно матиме вид

.

Встановимо зв’язок між похідною функції по напрямку і градієнтом цієї функції. Для цього розглянемо вектори

і .

Помножимо скалярно вектор на вектор , отримаємо:

. Таким чином,

. Згідно з означенням скалярного добутку .

Із цієї формули випливає, що у випадку, коли напрямок вектора співпадає з напрямком вектора

.

Приклад 3. Обчислити градієнт функції в точці M₀(3,4).

Розв’язування. Знаходимо частинні похідні функції

;

Обчислимо їх значення в даній точці:

; .

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: