Линеаризация статических характеристик звеньев

Статическая характеристика звена описывает соотношение между входной и выходной величинами в статике (установившемся режиме). Статические характеристики могут быть заданы графически и аналитически. При наличии статических характеристик звеньев можно построить статические характеристики группы звеньев, а также характеристики всей системы.

Замена реальных нелинейных характеристик линейными называется линеаризацией.

Пусть имеем нелинейное звено (рис. 1.17).

Рис. 1.17 Рис. 1.18

Статическая характеристика звена описывается функцией и изображена на рис. 1.18. Допустим, соответствует установившемуся режиму работы, тогда справедливо

. (2.1)

Если функция в окрестности x ⁰₁ непрерывна и дифференцируема, то ее можно разложить в ряд Тейлора

(2.2)

Через обозначена величина, взятая при _.

Обычно считают, что члены высшего порядка малости много меньше двух первых слагаемых, потому ими пренебрегают

(2.3)

Вычтем из (2.3) уравнение (2.1) почленно и получим

,

где .

Уравнение (2.4) называется уравнением в отклонениях и соответствует статике звена.

Практически линеаризацию проводят чаще всего путем проведения касательной в точке установившегося режима и определяют , особенно в тех случаях, когда не имеет аналитического выражения.

Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений.

Чаще всего процессы в звеньях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим процесс линеаризации на примере дифференциального уравнения второго порядка

, (2.5)

где – входная величина, – выходная величина, , .

Пусть в установившемся режиме звена справедливо

, , .

Тогда уравнение установившегося режима примет вид

. (2.6)

Разложим (2.5) в ряд Тейлора в точке установившегося режима, рассматривая (2.5) как функцию от независимых переменных,

(2.7)

где – высшие члены малости, , , .

Вычтем из (2.7) уравнение (2.6) и положим Q =0, тогда получим уравнение в отклонениях:

(2.8)

где

, , , , .

Уравнение (2.8) описывает тот же процесс, что и (2.5), но имеет отличия:

· Уравнение (2.8) является линейным относительно переменных и ;

· Вместо и присутствуют отклонения и от установившегося значения;

· Уравнение (2.8) является приближенным.

Безразмерная форма записи уравнений

Введем относительные переменные:

, (2.9)

Подставим (2.9) в (2.8)

(2.10)

Разделим (2.10) на и получим с учетом новых обозначений:

(2.11)

, , , , .

Уравнение (2.11) можно преобразовать

(2.12)

где _,

– постоянная времени звена, [c],

– коэффициент усиления (безразмерный).

Решая уравнение (2.12) как линейное, можно получить закон изменения выходной величины в функции времени = .

Пример линеаризации звена.

Дана нелинейная функция , в статике

Образуем функцию .

Разложим функцию в ряд Тейлора

,

.

Откуда получим уравнение в отклонениях

.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМЫ

Динамическое звено – это устройство любого вида и принципа действия, описываемое определенным дифференциальным уравнением. Свойства звена могут быть определены различными характеристиками: передаточной функцией, временными характеристиками и частотными характеристиками.

Передаточная функция звена

Пусть дано динамическое звено.

		Рис. 3.1

Дифференциальное уравнение такого звена можно записать следующим образом:

(3.1)

Применим преобразование Лапласа, тогда уравнение (3.1) можно записать:

, (3.2)

Правила преобразования Лапласа для производных:

Если , то

,

.

Тогда в уравнении (3.2)

,

,

Из уравнения (3.2) выразим

(3.3)

Первая составляющая представляет собой эффект действия входного сигнала на звено. Вторая составляющая учитывает начальные условия входной и выходной величин.

Пусть при ,

.

Тогда и , а значит уравнение (3.3) примет вид

(3.4)

или

(3.5)

Выражение (3.5) называется передаточной функцией звена.

Таким образом, передаточной функцией звена (или системы) называется отношение изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.

С физической точки зрения можно представить как динамический, т.е., переменный во времени коэффициент передачи звена.

Выражение (3.5) можно представить графически (рис. 3.2).

		Рис. 3.2

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: