Линеаризация статических характеристик звеньев

Статическая характеристика звена описывает соотношение между входной и выходной величинами в статике (установившемся режиме). Статические характеристики могут быть заданы графически и аналитически. При наличии статических характеристик звеньев можно построить статические характеристики группы звеньев, а также характеристики всей системы.

Замена реальных нелинейных характеристик линейными называется линеаризацией.

Пусть имеем нелинейное звено (рис. 1.17).

Рис. 1.17 Рис. 1.18

Статическая характеристика звена описывается функцией и изображена на рис. 1.18. Допустим, соответствует установившемуся режиму работы, тогда справедливо

. (2.1)

Если функция в окрестности x ⁰₁ непрерывна и дифференцируема, то ее можно разложить в ряд Тейлора

(2.2)

Через обозначена величина, взятая при _.

Обычно считают, что члены высшего порядка малости много меньше двух первых слагаемых, потому ими пренебрегают

(2.3)

Вычтем из (2.3) уравнение (2.1) почленно и получим

,

где .

Уравнение (2.4) называется уравнением в отклонениях и соответствует статике звена.

Практически линеаризацию проводят чаще всего путем проведения касательной в точке установившегося режима и определяют , особенно в тех случаях, когда не имеет аналитического выражения.

Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений.

Чаще всего процессы в звеньях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим процесс линеаризации на примере дифференциального уравнения второго порядка

, (2.5)

где – входная величина, – выходная величина, , .

Пусть в установившемся режиме звена справедливо

, , .

Тогда уравнение установившегося режима примет вид

. (2.6)

Разложим (2.5) в ряд Тейлора в точке установившегося режима, рассматривая (2.5) как функцию от независимых переменных,

(2.7)

где – высшие члены малости, , , .

Вычтем из (2.7) уравнение (2.6) и положим Q =0, тогда получим уравнение в отклонениях:

(2.8)

где

, , , , .

Уравнение (2.8) описывает тот же процесс, что и (2.5), но имеет отличия:

· Уравнение (2.8) является линейным относительно переменных и ;

· Вместо и присутствуют отклонения и от установившегося значения;

· Уравнение (2.8) является приближенным.

Безразмерная форма записи уравнений

Введем относительные переменные:

, (2.9)

Подставим (2.9) в (2.8)

(2.10)

Разделим (2.10) на и получим с учетом новых обозначений:

(2.11)

, , , , .

Уравнение (2.11) можно преобразовать

(2.12)

где _,

– постоянная времени звена, [c],

– коэффициент усиления (безразмерный).

Решая уравнение (2.12) как линейное, можно получить закон изменения выходной величины в функции времени = .

Пример линеаризации звена.

Дана нелинейная функция , в статике

Образуем функцию .

Разложим функцию в ряд Тейлора

,

.

Откуда получим уравнение в отклонениях

.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМЫ

Динамическое звено – это устройство любого вида и принципа действия, описываемое определенным дифференциальным уравнением. Свойства звена могут быть определены различными характеристиками: передаточной функцией, временными характеристиками и частотными характеристиками.

Передаточная функция звена

Пусть дано динамическое звено.

		Рис. 3.1

Дифференциальное уравнение такого звена можно записать следующим образом:

(3.1)

Применим преобразование Лапласа, тогда уравнение (3.1) можно записать:

, (3.2)

Правила преобразования Лапласа для производных:

Если , то

,

.

Тогда в уравнении (3.2)

,

,

Из уравнения (3.2) выразим

(3.3)

Первая составляющая представляет собой эффект действия входного сигнала на звено. Вторая составляющая учитывает начальные условия входной и выходной величин.

Пусть при ,

.

Тогда и , а значит уравнение (3.3) примет вид

(3.4)

или

(3.5)

Выражение (3.5) называется передаточной функцией звена.

Таким образом, передаточной функцией звена (или системы) называется отношение изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.

С физической точки зрения можно представить как динамический, т.е., переменный во времени коэффициент передачи звена.

Выражение (3.5) можно представить графически (рис. 3.2).

		Рис. 3.2

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: