ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

ЗАНЯТИя.

Промежутки монотонности

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ И ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА

1. Найти область определения функции .

2. Найти производную .

3. Найти критические точки 1-го рода из условий

4. Исследовать знак первой производной по обе стороны от каждой критической точки и сделать вывод о промежутках монотонности и точках экстремума.

1. Найти значения функции в точках экстремума

Пример 1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

□ 1. Функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси: .

2. Ее производная равна

3. Поскольку при , то − критическая точка.

4. При при По теореме 3.15 функция возрастает при и убывает при . При переходе через точку в положительном направлении оси абсцисс знак производной меняется с плюса на минус. Поэтому − точка максимума.

5.

На рис. 1 приведены знаки первой производной функции в области определения. Стрелками схематично изображено поведение функции − возрастание и убывание − на отдельных участках области определения. ■

Пример 2. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

□ 1. Функция определена, непрерывна и дифференцируема при .

+ − +

3. Значит, − критическая точка.

4. Поскольку в , то знак производной совпадает со знаком разности При производная , при производная . Делаем вывод: функция возрастает при и убывает при , поэтому − точка максимума.

5. ■

Промежутки выпуклости вверх и вниз и точки перегиба

Алгоритм исследования функции на выпуклость

и точки перегиба

1. Найти область определения функции .

2. Найти вторую производную .

3. Найти критические точки 2-го рода из условий и .

4. Исследовать знак второй производной по обе стороны от каждой критической точки и сделать вывод о промежутках выпуклости и точках перегиба.

5. Найти значения функции в точках перегиба и точки перегиба графика.

Пример 3. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

□ 1. Область определения .

2. Найдем вторую производную:

3. Найдем критические точки 2-го рода:

4. Исследуем знак второй производной. Так как при , то функция выпукла вниз на этих промежутках. Так как при , то функция выпукла вверх на этом отрезке. При переходе через точки вторая производная меняет знак. Поэтому эти точки являются точками перегиба функции.

На рис. 3 указываем направления выпуклости графика. Обе критические точки являются точками перегиба, так как они разделяют интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

5. Вычисляем значения функции в точках перегиба: Точки перегиба графика: ■

Пример 4. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

□ 1. Область определения .

2. Найдем вторую производную:

3. В области определения критических точек

2-го рода нет, так как при .

4. Знак второй производной отрицательный во всей области определения. Следовательно, функция выпукла вверх во всей области определения . Точек перегиба нет.

5. − ■

Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции называют такую линию на плоскости, что расстояние от точки до этой линии стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Ограничимся рассмотрением прямых линий в качестве асимптот. График функции может иметь вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Вертикальная прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один односторонний предел при равен бесконечности: или

Пример 5. Найти асимптоты графика функции

□ Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, следовательно, не имеет точек разрыва и поэтому у нее нет вертикальных асимптот.

Найдем предел:

Отсюда следует, что является правой горизонтальной асимптотой заданной кривой. С учетом четности функции ясно, что ось абсцисс является одновременно и левосторонней, и правосторонней горизонтальной асимптотой. При больших по абсолютной величине значениях график функции слабо отклоняется от оси абсцисс (см. рис. 4). ■

Пример 6. Найти асимптоты графика функции

□ Функция определена и непрерывна при

График функции имеет вертикальную асимптоту , проходящую через граничную точку области определения , так как (см. рис. 5).

График не имеет правосторонней горизонтальной асимптоты, так как (см. пример 3.32).

Чтобы выяснить, имеет ли график правостороннюю наклонную асимптоту, вычислим пределы:

Второй предел не является конечным. Вывод: нет наклонной асимптоты.■

Общая схема исследования функции и построения графика

Пусть задана функция Исследование свойств функции и построение графика функции целесообразно проводить в следующей последовательности, называемой общей схемой исследования функции:

1. найти область определения функции ;

2. найти точки пересечения графика с координатными осями и промежутки знакопостоянства функции;

3. исследовать функцию на четность-нечетность и периодичность;

4. исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и вертикальные асимптоты;

5. исследовать поведение функции на бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

6. найти промежутки монотонности и точки экстремума;

7. найти промежутки выпуклости и точки перегиба;

8. составить таблицу значений функции и ее первых двух производных;

9. построить график.

 

Под построением графика понимается построение эскиза графика функции, который в полной мере отражает свойства функции, полученные в ходе ее исследования.

Пример 7. Исследовать функцию: .

□ 1. Область определения:

2. Точки пересечения с осью

или точка .

Точки пересечения с осью

Исследуем знак

 

3. Область симметрична, исследуем на четность и нечетность.

т. е. − нечетная функция, следовательно, ее график имеет симметрию относительно начала координат и достаточно выполнить исследование функции при

Периодичность: при не является периодической.

4. Функция является элементарной функцией. Поэтому область определения

одновременно является областью непрерывности. Точки являются точками разрыва , так как в них не определена. Вычислим в этих точках односторонние пределы:

точки являются точками разрыва второго рода, а прямые являются для графика вертикальными асимптотами.

5. Найдем предельные значения функции на границах области определения: ;

аналогично Отсюда следует, что у графика нет горизонтальных асимптот.

В силу нечетности функции ограничимся поиском асимптоты при Наклонную асимптоту ищем в виде

,

нет правой асимптоты. Вместе с ней нет и левой наклонной асимптоты.

6. =

;

; изучим знак

	max
		min

		­−1

 

Вывод: максимум в точке , так как знак первой производной меняется с положительного на отрицательный, минимум в точке , так как знак первой производной меняется с отрицательного на положительный. Соответствующие значения функции: .

7. .

Исследуем знак где

 

Точки являются точками перегиба, поскольку знаки второй производной слева и справа от них различны; точки поэтому не могут быть точками перегиба. Найдем точки перегиба графика функции, соответствующие точкам перегиба:

точка перегиба графика

точка перегиба графика точка перегиба графика

8. Для данной функции таблицу достаточно сделать только для , так как нечетная. Для функции общего вида таблица делается на всей области определения. В заголовок таблицы заносятся все характерные точки функции точки разрыва, критические точки 1-го и 2-го рода и промежутки между ними.

........ Табл. 1

	−	−		−		+	+	+
		−		+	+	+		−
	т. п.				min		т. п. 1,5

График функции изображен на рис. 6. Очевидно, что множество значений ■

З а м е ч а н и е. При построении графика следует учитывать, что если в точке экстремума то касательная к графику параллельна оси Оx, а если то касательная к графику параллельна оси Oy (вертикальная прямая).

 

Наибольшее и наименьшее значения функции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

 

Пусть функция непрерывна на отрезке Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке.

 

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

 

1. Найти производную функции

2. Найти критические точки функции из условий:

3. Выбрать критические точки, принадлежащие отрезку

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.

5. Выбрать наибольшее и наименьшее число среди полученных в п. 4 чисел.

Пример 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

□ Даннаяфункция − многочлен, который относится к числу элементарных функций. На отрезке функция определена и, следовательно, непрерывна. Для решения поставленной задачи применим описанный алгоритм.

1. Найдем производную:

2. Составим и решим уравнение:

3. Отберем критические точки, принадлежащие отрезку . Точка не принадлежит заданному отрезку и ее далее не рассматриваем. С точками продолжим исследование.

4. Вычислим в отобранных точках и на концах отрезка:

5. Сравним четыре числа и получим ■

Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

□ Даннаяэлементарная функция непрерывна на отрезке Описанный алгоритм применим.

1. Найдем производную:

2. Критических точек нет, так как

3. Нет точек для отбора.

4. Вычислим на концах отрезка:

5. Сравним числа и получим ■

 

При поиске наибольшего и наименьшего значения функции можно использовать подходящую замену переменной.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: