|
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ. ВОЛНЫ. ОПТИКА.ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ.Стр 1 из 5Следующая ⇒ Часть 3.
Лекция 3.1. Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение. Лекция 3.2. Упругие волны. Скорость и энергия упругой волны. Лекция 3.3. Электромагнитные волны. Лекция 3.4. Поляризация волн. Поляризация света. Способы поляризации. Лекция 3.5. Фазовая и групповая скорости. Дисперсия. Лекция 3.6. Интерференция. Условия максимума и минимума интерференции. Лекция 3.7. Понятие когерентности. Временная и пространственная когерентность. Лекция 3.8. Дифракция. Зоны дифракции. Дифракция Френеля. Лекция 3.9. Дифракция Фраунгофера от щели. Дифракционная решетка. Голография. Лекция 3.10. Тепловое излучение. Формула Планка. Лекция 3.11. Тормозное рентгеновское излучение. Фотоэффект. Формула Эйнштейна. Лекция 3.12. Ядерная модель атома. Постулаты Бора. Лекция 3.13. Волновые свойства частиц вещества. Лекция 3.14. Уравнение Шрёдингера. Квантование энергии и момента импульса. Атом водорода. Лекция 3.15. Многоэлектронные атомы. Спин электрона. Распределение электронов по энергетическим уровням. Лекция 3.16. Самопроизвольное и вынужденное излучение. Лекция 3.17. Энергия молекул. Энергетические зоны в кристаллах. Лекция 3.18. Атомное ядро. Энергия связи. Ядерная энергия.
Лекция 3.1. Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение. Представим себе цепочку, состоящую из равноотстоящих друг от друга материальных точек, которые связаны пружинками и могут движения, деформируя пружинки. Если сместить от положения равновесия какую-либо частицу, то она начнет совершать колебательное движение и, взаимодействуя через пружинки, вовлечет в колебания соседние частицы. Все частицы будут совершать колебания, тождественные с исходной, но не одновременно, а запаздывая по фазе. Таким образом, колебания будут распространяться в пространстве. Если смещение от положения равновесия частицы с координатой 0 записать
0 х где Рис.3.1.1 возмущение распространится от источника до данной точки. Обозначим скорость распространения возмущения Величина Аналогичным образом процесс будет протекать в упругой среде, поскольку ее частицы взаимодействуют друг с другом похожим образом. Таким образом, процесс колебаний распространяется в пространстве. При этом необходимо отметить, что переноса вещества в пространстве не происходит, частицы среды лишь колеблются около положения равновесия. Распространение в пространстве различных видов возмущений вещества и поля, проявляющееся в переносе энергии возмущения, называется волновым процессом или волной. Если речь идет о колебаниях частиц среды, то волна называется упругой.
Характеристики волны. Если волна является строго синусоидальной с постоянными во времени частотой В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волны различают волны продольные и поперечные. В продольной волне направление колебаний параллельно направлению распространения волны. В поперечной – направление колебаний перпендикулярно направлению распространения. На рис 3.1.1 показаны колебания частиц, расположенных вдоль оси х. В действительности колеблются не только эти частицы, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника, волновой процесс охватывает все новые части пространства. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Однако среди этих поверхностей существует одна особая, называемая волновым фронтом. Волновым фронтом называется волновая поверхность, отделяющая часть пространства, уже вовлеченного в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Волновые поверхности могут быть любой формы. В зависимости от их формы различают волны плоские, сферические и т.д. Уравнение (3.1.3) очевидно описывает волну, у которой все точки пространства с одинаковым значением координаты х колеблются в одинаковой фазе. Уравнение х = const есть уравнение плоскости. Таким образом, выражение (3.1.3) описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. В выражении (3.1.3) удобно ввести обозначение
Рассмотрим в распространяющейся волне две точки с координатами
Поэтому, принимая во внимание связь между циклической частотой
откуда следует еще одно определение длины волны. Длина волны это расстояние, которое проходит волна за время, равное периоду колебаний. Выясним смысл величины, которую мы назвали скоростью распространения возмущения в пространстве. Для этого фиксируем некоторое значение фазы, которое имеет место в момент времени t в точке с координатой х. За время dt это значение переместится на расстояние dx. Тогда
Следовательно,
Также описывает плоскую волну, но распространяющуюся против оси х.
Рис.3.1.2. Выразим l через радиус-вектор этой точки. Из рисунка видно, что l можно представить как скалярное произведение векторов
Для соблюдения общности мы ввели начальную фазу Кроме плоских могут существовать волны с другой формой волновой поверхности. В однородной изотропной среде волна от точечного источника представляет собой сферически расходящееся возмущение вида
где
Волновое уравнение. Прямой подстановкой можно убедиться, что выражение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х (3.1.5) является решением уравнения Это уравнение называется волновым уравнением. В случае, когда волна распространяется в произвольном направлении, (3.1.8) есть решение общего волнового уравнения
Лекция 3.2. Упругие волны. Скорость и энергия упругой волны.
Скорость упругой волны. Рассмотренные нами волны в цепочке очень хорошо представляют сущность волновых процессов во всевозможных телах (стержнях, струнах и т.д.) или в сплошных средах (твердых, жидких и газообразных). В твердых телах возможны как продольные, так и поперечные волны. В жидких и газообразных, не имеющих упругости формы (модуль сдвига равен нулю) поперечные волны невозможны, возможны только продольные. При распространение волны в такой среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц, перемещающиеся в направлении распространения волны. Найдем скорость волны в тонком стержне. Под тонким имеется в виду стержень, толщина которого мала по сравнению с длиной волны λ. При малых продольных деформациях стержня справедлив закон Гука:
Рассмотрим малый элемент стержня Δ x «λ в момент, Рис.3.2.1. когда при прохождении волны (длина волны он оказался, например, в растянутом состоянии (рис.3.2.1). Применим к этому элементу 2-й закон Ньютона: где ρ — плотность материала стержня, S — площадь его поперечного сечения. В данный момент, как видно из рисунка, Fx (x + ∆ х) > 0, a Fx (x) < 0. Соответствующие же значения σ в сечениях x и x + Δ x положительные (растяжение). Поэтому правую часть уравнения можно переписать так:
где учтено, что слева Fx и σ имеют разные знаки (это будет и при сжатии). Тогда уравнение движения после сокращения на Δ x · S примет вид
Мы пришли, таким образом, к волновому уравнению. Это позволяет утверждать, что в стержне будет распространяться продольная волна, скорость которой легко определить, сопоставив полученное выражение с (3.1.10):
Заметим, что для не тонкого стержня выражение для V имеет более сложный вид и значение V оказывается больше, чем в случае тонкого стержня. Можно показать, что скорость упругих поперечных волн в неограниченной изотропной твердой среде
где G — модуль сдвига среды, ρ — ее плотность. Скорость звука в жидкостях и газах. Формулу (3.2.3) можно использовать для вычисления скорости продольных волн в жидкостях и газах, в частности, звуковых волн, которые являются упругими волнами определенного частотного диапазона (20 ÷ 20000 Гц). Действительно, вырезав мысленно канал в направлении распространения плоской волны, мы можем повторить все рассуждения, приведшие нас к этой формуле. Остается только выяснить, какая величинав этом случае играет роль модуля Юнга Е. При продольных волнах в среде возникают сжатия и разрежения отдельных слоев, и закон Гука (3.2.1) в данном случае — связь избыточного давления Δ р сотносительным изменением длины элемента Δ х цилиндрического канала Δ ξ/ Δ x — примет вид Δ p = - Ε Δ ξ/ Δ x, где знак минус связан с тем, что приращения давления Δ p и длины Δ ξ противоположны по знаку. Умножив числитель и знаменатель на площадь поперечного сечения канала, получим
где Δ V/V — относительное приращение объема рассматриваемого элемента. Перейдя к пределу, получим
Объем V элемента Δ x и его плотность меняются при прохождении волны, но их произведение, т. е. масса т= ρV = const. Отсюда d ρ / ρ = -dV/V, значит
После подстановки этого выражения в (3.2.6) получим Ε =
Это выражение справедливо для волн в жидкостях и газах. Опыт показывает, что при распространении звука в газе связь между давлением и объемом определяется уравнением
где γ — так называемая постоянная адиабаты, равная отношению теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, γ = CP/CV — величина, характерная для каждого газа. Запишем дифференциал натурального логарифма выражения (3.2.9): откуда dp/dV = - γp/V, и формула (3.2.3) принимает вид
Таким образом, скорость звуковой волны в газе
Это выражение можно преобразовать к более удобному для расчетов виду, если учесть уравнение состояния идеального газа pV = (m/M)RT, где, напомним, m — масса газа, Μ — его молярная масса. Из уравнения состояния определим плотность как ρ = m/V = pM/RT, и уравнение (3.2.11) станет таким:
где R — универсальная газовая постоянная.
Энергия волны. Плотность потока энергии. Интенсивность волны. Прежде всего, найдем выражение для плотности упругой (потенциальной) энергии растянутого (или сжатого) стержня. Приложим к торцу стержня, другой конец которого закреплен, растягивающую силу F(x) и будем медленно увеличивать ее от 0 до значения F0. Удлинение стержня при этом будет меняться от 0 до x. По закону Гука F(x) = κх, где κ — коэффициент упругости. Работа силы F(x) в этом процессе Эта работа идет на увеличение упругой энергии U стержня, значит
Плотность же упругой энергии wn = U/Sl, где S и l — площадь поперечного сечения и длина стержня. Преобразуем выражение (3.2.13), учитывая, что k Отсюда видно, что плотность упругой энергии
При прохождении продольной волны в стержне каждая единица объема его обладает как потенциальной энергией упругой деформации wπ,так и кинетической энергией wk=
Для тонкого стержня Ε = ρ V 2, согласно (3.2.3), и выражение (3.2.15) можно переписать так:
Можно показать, что оба слагаемых равны друг другу, т. е. плотности кинетической и упругой энергии одинаковы и изменяются синфазно. Поэтому мы имеем в результате
В частности, для гармонической волны
Соответствующее распределение w (x) вдоль стержня в некоторый момент показано на рис.3.2.2.
Среднее значение плотности энергии за период (или за время значительно большее периода колебаний) равно Рис.3.2.2.
поскольку среднее значение квадрата синуса равно ½. Полученные формулы справедливы и для упругих волн в жидкостях и газах.
Плотность потока энергии. Так как энергия перемещается в среде вместе с возмущением, вводят понятие потока энергии Ф. Это количество энергии, переносимое волной через определенную поверхность S в единицу времени:
где dW — энергия, переносимая через данную поверхность за время dt. Поток энергии в разных точках поверхности S может иметь различную интенсивность. Для характеристики этого обстоятельства вводят понятие плотности потока энергии. Это поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии:
С учетом этого соотношения выражение (3.2.21) примет вид:
Для определения плотности потока и его направления вводят вектор Умова- Пойнтинга
где В случае монохроматической волны вектор
Это выражение справедливо для волн любого вида — плоской, сферической, цилиндрической, затухающих и др. Среднее по времени значении модуля плотности потока энергии называют интенсивностью волны: I =< j >. Зная вектор Умова - Пойнтинга во всех точках интересующей нас поверхности S, можно найти поток энергии сквозь эту поверхность. Для этого разобьем мысленно поверхность S на элементарные участки dS. Поток энергии через этот участок, согласно (3.2.21), есть где jn — проекция вектора
здесь Стоячие волны. . При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн. Рассмотрим практически важный случай, когда две гармонические волны с одинаковыми частотой ω и амплитудой
Чтобы не усложнять формулы, начала отсчета времени и координаты выбраны так, чтобы начальные фазы для обеих волн были равны нулю. Суперпозиция этих волн дает:
Это и есть уравнение стоячей волны. Видно, что ее частота та же, т.е. ω, а амплитуда равна (Acoskx) и, в отличие от бегущей гармонической волны, зави минимумы — узлы. Период |cos kx | равен π, поэтому kΔx = π и Δх = π /k = λ/2. Т. е. интервалы между соседними пучностями или узлами равны Рис.3.2.4. половине длины волны (см. рисунок 3.2.4,где показаны крайние смещения ξ через половину периода). Между двумя соседними узлами все точки среды колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на π, т. е. колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе. Узлы смещения как бы разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются независимо. Никакой передачи движения из одной области к другой, а значит и перетекания энергии через узлы не происходит. Другими словами, нет никакого распространения возмущения вдоль оси х. Именно поэтому возмущения, описываемые формулой (3.2.26), и называют стоячей волной. Энергия стоячей волны. Переходя к распределению энергии в стоячей волне, определим сначала с помощью (3.2.26) выражение для скорости
в нуль, и наоборот (t = T/4).
пучностям и обратно. Средний же по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю. Лекция 3.3. Электромагнитные волны.
Волновое уравнение для электромагнитного поля. Уравнения Максвелла для векторов
В нейтральной однородной непроводящей среде, где плотность зарядов и плотность тока проводимости равны нулю, уравнения Максвелла запишутся
Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Это подтверждается тем, что, проведя ряд преобразований с уравнениями (3.3.2), можно получить уравнения
Как видно, это волновые уравнения. Они неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из (3.3.2), которые связывают вектора
В вакууме Это одна из фундаментальных физических констант. Тогда скорость волны в среде где n
Свойства электромагнитных волн. Установим основные свойства электромагнитной волны на примере плоской волны, распространяющейся в свободном пространстве (отсутствуют заряды и токи). 1. Направим ось х перпендикулярно волновым поверхностям. При этом
Из условий 2. Кроме того, оказывается, векторы
(можно было бы взять и другую пару, содержащую производные Ez и Hy). Из этих уравнений видно, что изменение во времени, скажем, магнитного поля, направленного вдоль оси z, порождает электрическое поле Ey вдоль оси y. Изменение во времени поля Ey в свою очередь порождает поле Hz и т. д. Ни поля Ez, ни поля Hy при этом не возникает. А это и значит, что 3.
т.е. представляют собой гармонические функции
Как видно из (3.3.9) частоты и волновые числа в этих выражениях одинаковы, отличаются лишь амплитуды и начальные фазы. Подставив эти решения в уравнения (3.3.8), получим
4. Найдем связь мгновенных значений Ε и Н. Рис.3.3.1. Поскольку
Перемножив эти два равенства, получим
Это соотношение связывает амплитуды колебаний Е и Н. Но поскольку фазы их колебаний совпадают, то мгновенные значения подчиняются такому же равенству
(3.3.14) Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга. С бегущей электромагнитной волной связан перенос энергии. Плотность потока энергии в этом случае можно найти как и для упругой волны через произведение плотности энергии w на скорость волны V (см.формулу (3.2.23)). В обычной изотропной среде с проницаемостями ε и μ плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей:
В данной среде справедливо соотношение (3.3.14) между Ε и Н, а это означает, что плотность электрической составляющей в бегущей волне равна плотности магнитной. Поэтому (3.3.15) можно записать так:
где V – скорость волны. Умножив w на V, получим модуль вектора плотности потока энергии:
Векторы
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны В случае бегущей гармонической электромагнитной волны (3.3.10) плотность энергии, согласно (3.3.16) и (3.3.14), равна Плотность же потока энергии, как следует из (3.3.17),
где учтено, что скорость V определяется формулой (3.3.4). Интенсивность I такой волны равна, по определению, среднему значению модуля плотности потока энергии: I = < S >. Принимая во внимание, что при усреднении (3.3.19) среднее значение квадрата косинуса равно 1/2, получим
Домножив и поделив подкоренное выражение в этой формуле на
или для волны, распространяющейся не ферромагнитной среде (
Обратим внимание, что I пропорционально квадрату амплитуды, I ~ Еm2. Необходимо отметить также, что интенсивность электромагнитной волны выражают обычно через напряженность ее электрической составляющей, поскольку, как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света обусловлены именно ею. ![]() ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|