Стоячая электромагнитная волна.

Мы уже говорили, что стоячую упругую волну можно представить как результат суперпозиции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Это относится и к элект­ромагнитным волнам. Однако надо учесть, что электромагнит­ная волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаим­но ортогональными векторами и .

Пусть волна распространяется в положительном направле­нии оси х и описывается уравнениями

(3.3.28)

Для волны, распространяющейся в обратном направлении, как мы знаем, в скобках мину­сы заменяются на плюсы. Кроме того, будем помнить, что векторы , , должны составлять правую тройку.

Это поясняет рис.3.3.2, где в части (а) показаны возможные ориентации векторов и в волне, распространяющейся в прямом, а в части (б) – в обратном направлении. Рис.3.3.2.

Таким образом, при сложении волн

либо векторы , либо будут иметь противоположные направления, а, значит, при векторном сложении их модули будут вычитаться. Итак, уравнения встречной вол­ны будут иметь вид:

(3.3.29)

или , . (3.3.30)

В результате суперпозиции двух встречных волн, (3.3.28) и (3.3.29), получим:

(3.3.31)

Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны. Видно, что в этой волне колебания векторов и сдвинуты по фазе на π/2 как в пространстве, так и во времени. Если в некоторый момент E_y во всех точках имело максимальное зна­чение и при этом H_z = 0, то через четверть периода картина будет обратной: H_z достигнет всюду максимальных значений со сдвигом в пространстве на λ/4, а E_y обратится в нуль. Таким образом, в процессе колебаний электрическое поле посте­пенно переходит в магнитное, магнитное — в электрическое Рис.3.3.3.

и т. д. (см. рис.3.3.3). Поскольку колебания векторов и происхо­дят не в фазе, соотношение (3.3.13) оказывается справедливым только для амплитудных значений Ε_m и Η_m стоячей волны:

(3.3.32)

В стоячей электромагнитной волне энергия переходит из чис­то электрической, имеющей максимумы в пучностях , в маг­нитную с максимумами в пучностях вектора , т. е. смещенным в пространстве на λ/4. Таким образом, происходит преобразование энергии электрического поля в энергию мгнитного и наоборот на расстоянии четверти длины волны. Это аналогично поведению гармоническо­го осциллятора, например математического маятника, где энер­гия переходит из чисто потенциальной (в крайнем положении) в кинетическую (в положении равновесия), и наоборот. Макроскопического переноса энергии не происходит. Отсюда и название волны – стоячая.

Электромагнитная волна на границе раздела диэлектриков

Выясним, что происходит при падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух однородных изотропных прозрачных диэлектриков, магнитная проницаемость которых равна единице (µ = 1). Известно, что при этом возникают отраженная и преломленная волны. Ограничимся рассмотрением частного, но практически важного случая, когда волна падает нормально на границу раздела диэлектриков с показателями преломления n ₁ и n ₂.

Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через и , а магнитную составляющую — через и . Из соображений симметрии ясно, что колебания векторов и происходят в одной плоскости. Это же относится и к векторам и . На рисунке показаны относительное расположение этих векторов в непосредственной близости от границы раздела и направления распространения всех трех волн, обозначенные векторами , и . Дальнейший расчет покажет, насколько эта картина соответствует действительности.

Воспользуемся граничными условиями для

тангенциальных составляющих векторов и : Рис.3.3.4.

(3.3.33)

Перепишем эти условия для нашего случая:

(3.3.34)

(3.3.35)

Согласно (3.3.14),

Тогда но поскольку проекции E’_y и Н’_z, в отраженной волне имеют противоположные знаки (см. рис.3.3.4). Поэтому равенство (3.3.35) можно переписать так: или

(3.3.36)

Решив совместно уравнения (3.3.34) и (3.3.36), получим выражения для Е’_y и Е”_y через Е_y, которые в векторной форме имеют вид:

(3.3.37)

Отсюда следует, что:

1. Вектор всегда сонаправлен с вектором , т. е. оба вектора колеблются синфазно — при прохождении волны через границу раздела фаза не претерпевает скачка.

2. Это же относится и к векторам и , но при условии, что n ₁ > n ₂, т. е. если волна переходит в оптически менее плотную среду. В случае же, когда n ₁ < n ₂, дробь в выражении (3.3.37) для оказывается отрицательной, а это означает, что направление вектора противоположно направлению вектора , т. е. колебания этих векторов происходят в противофазе (этому соответствует рис.3.3.4). Другими словами, при отражении волны от оптически более плотной среды фаза колебаний вектора изменяется скачком на π.

Эти результаты мы будем использовать в дальнейшем при изучении интерференции волн, отраженных от поверхностей тонких пластинок.

Коэффициенты отражения и пропускания.

Вопрос об этих коэффициентах мы рассмотрим для случая нормального падения световой волны на границу раздела двух прозрачных диэлектриков. Ранее мы выяснили, что интенсивность I гармонической волны, пропорциональна . Коэффициент отражения, по определению, есть . После подстановки отношения Е’_m / Е_m из первой формулы (3.3.37), найдем:

(3.3.38)

Обратим внимание на то, что r не зависит от направления падающей волны на границу раздела: из среды 1 в среду 2, или наоборот. При небольшой разнице показателей преломления граничащих сред этот коэффициент оказывается очень небольшим (на границе стекло – воздух он составляет 0,04)

Аналогично находим и коэффициент пропускания t как отношение I’’ / I. Согласно (3.3.27), I” / I = . Остается учесть вторую формулу из (3.3.37), и мы получим, что коэффициент пропускания

(3.3.39)

Нетрудно убедиться в том, что сумма обоих коэффициентов r + t = 1, как и должно быть.

Лекция 3.4

Поляризация волн. Поляризация света. Способы поляризации.

Как уже указывалось, электромагнитная волна является поперечной. Это значит, что векторы и всегда лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны (лучу). Однако, как именно в этой плоскости расположены эти векторы, зависит от источника волны. (В дальнейшем будем вести речь о световом векторе )

В зависимости от длины волны (или частоты) различают несколько видов электромагнитных волн: радиоволны, оптический диапазон, рентгеновское и гамма-излучения. В дальнейшем нас будет интересовать главным образом оптический диапазон длин волн. Его подразделяют на

инфракрасное излучение ………..l ~ 1 мм ÷ 0,76 мкм,

видимое излучение (свет) ……….l ~ 0,76 ÷ 0,40 мкм,

ультрафиолетовое излучение.......l ~ 0,40 ÷ 0,01 мкм.

Соответствующие длины волн указаны в вакууме.

По классическим представлениям излучение светящегося тела (газа) слагается из волн, испускаемых его атомами. Излучение отдельного атома продолжается порядка 10^-8 c и представляет собой, как говорят, цуг волн. Излучив, атом через некоторое время, придя в возбужденное состояние, излучает опять и т. д. Одновременно излучает множество атомов. Порожденные ими цуги волн, налагаясь друг на друга, образуют испускаемую телом световую волну. Направления колебаний для каждого цуга ориентированы случайным образом. Поэтому в результирующей световой волне колебания светового вектора происходят в разных направлениях с равной вероятностью, оставаясь в плоскости перпендикулярной лучу. Это надо понимать так, что при прохождении световой волны через некоторую точку колебания светового вектора быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Такой свет называют неполяризованным или естественным.

Существуют способы упорядочивания колебаний световой волны. Свет, в котором направление колебаний светового вектора упорядочено каким-либо образом, называют поляризованным. Если колебания светового вектора происходят только в одной плоскости, содержащей луч и вектор свет называют плоско- (или линейно -) поляризованным (конец вектора описывает прямую линию в плоскости перпендикулярной лучу. В этом случае вектор меняется только по величине, не меняя направления. Плоскость, в которой происходят колебания светового вектора, называют плоскостью поляризации волны.

Если конец светового вектора описывает в этой плоскости эллипс, то такой свет называют эллиптически-поляризованным. Частным случаем такой поляризации является круговая или циркулярная, когда световой вектор меняется только по направлению, не меняясь по модулю. В зависимости от направления вращения вектора различают правую и левую эллиптические (или круговые) поляризации. Если смотреть навстречу распространения волны, и вектор при этом поворачивается по часовой стрелке, то поляризацию называют правой, в противном случае (если против часовой стрелки) — левой.

Создание принципиально нового источника света — лазера позволило получить плоско-поляризованный свет с высокой степенью монохроматичности. Использование такого источника света сильно упростило экспериментальное решение многих вопросов, связанных с интерференцией, дифракцией и др.

Способы поляризации света.

1. Поляризация при отражении света на границе раздела диэлектриков.

Естественный свет можно представить как наложение (сумму) двух некогерентных (несогласованных) плоскополяризованных волн с взаимно ортогональными плоскостями поляризации.

Рассматривая отражение и преломление волны, падающей под произвольным углом на границу раздела диэлектриков, можно найти соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн – так называемые формулы Френеля. При необходимости с ними можно познакомиться во многих учебниках и справочниках.

Мы не будем выписывать эти формулы, поскольку для решения наших вопросов они нам не понадобятся. Важно отметить только, что с помощью этих формул можно показать, что при произвольном угле падения (и соответствующем ему угле преломления ) коэффициенты отражения линейно-поляризованного света, плоскость поляризации которого перпендикулярна плоскости падения () и параллельна ей (), определяются следующими выражениями:

(3.4.1)

Поскольку эти коэффициенты различны то отраженный и преломленный пучки оказываются частично-поляризованными. В отраженном свете преобладают колебания вектора , перпендикулярные к плоскости падения, а в преломленном свете, параллельные плоскости падения. Степень поляризации обеих волн (отраженной и преломленной) зависит от угла падения. Рис.3.4.1.

При некотором значении угла падения отраженный

свет становится полностью поляризованным, и его плоскость поляризации (плоскость колебаний вектора ) оказывается перпендикулярной к плоскости падения. Такое явление наблюдается, когда = p/2, т.е. отраженный и преломленный лучи ортогональны, и значит, tg(p/2)=∞.Тогда коэффициент отражения = 0, т. е. отраженный свет будет полностью линейно-поляризованным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Угол падения, при котором наблюдается такой эффект называется углом Брюстера или углом полной поляризации. Этот угол удовлетворяет следующему условию:

(3.4.2)

На рис.3.4.1. представлена именно такая ситуация. Точками и черточками на отраженном и преломленном лучах этого рисунка показаны направления колебаний вектора .

2. Поляризация при двойном лучепреломлении.

Почти все прозрачные кристаллические диэлектрики оптически анизотропны, т. е. оптические свойства света при прохождении через них зависят от направления. Вследствие этого возникает явление, называемое двойным лучепреломлением. Оно заключается в том, что падающий на кристалл пучок света разделяется внутри кристалла на два пучка, распространяющиеся, вообще говоря, с разными скоростями.

Существуют кристаллы одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов один из преломленных пучков подчиняется обычному закону преломления (). Его называют обыкновенным и обозначают буквой или индексом о. Другой пучок необыкновенный (e), он не подчиняется обычному закону преломления, и даже при нормальном падении светового Рис3.4.2.

пучка на поверхность кристалла необыкновенный пучок может

отклоняться от нормали (рис.3.4.2). И, как правило, необыкновенный луч не лежит в плоскости падения.

Наиболее сильно двойное лучепреломление выражено у таких одноосных кристаллов как кварц (кристаллический), исландский шпат и турмалин.

Далее мы ограничимся рассмотрением только одноосных кристаллов. У одноосных кристаллов имеется направление – оптическая ось 00’ -, вдоль которого обыкновенная и необыкновенная волны распространяются, не разделяясь пространственно и с одинаковой скоростью (у двуосных кристаллов, например слюды, имеются два таких направления).

Оптическая ось 00’ кристалла не является какой-то особой прямой линией. Она характеризует лишь избранное направление в кристалле и может быть проведена через произвольную точку кристалла.

Любую плоскость, проходящую через оптическую ось, называют главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно пользуются главным сечением (плоскостью), проходящим через световой луч в кристалле.

Обыкновенная и необыкновенная волны (и лучи) линейно поляризованы. Колебания вектора в обыкновенной волне совершаются в направлении, перпендикулярном главному сечению кристалла для обыкновенного луча. Колебания же вектора в необыкновенной волне – в главном сечении кристалла обыкновенного луча. Направления колебаний вектора (т.е. их плоскости поляризации) в обоих пучках показаны на рис.3.4.2, где предполагается, что оба пучка и пересекающая их оптическая ось 00’ лежат в плоскости рисунка. Видно, что в данном случае плоскости поляризации обеих волн (о и е) взаимно ортогональны. Заметим, что это наблюдается практически при любой ориентации оптической оси, поскольку угол между обыкновенным и необыкновенным лучами достаточно мал.

Оба луча, вышедшие из кристалла, отличаются друг от друга только направлением поляризации, так что названия «обыкновенный» (о) и «необыкновенный» (е) имеют смысл только внутри кристалла.

Раздвоение световых лучей обусловлено зависимостью показателя преломления среды от направления светового вектора волны. Световую волну, падающую на кристалл, можно представить как совокупность двух линейно поляризованных волн, у одной из которых плоскость поляризации перпендикулярна главному сечению кристалла (обыкновенный луч), а у другой – параллельна ему (необыкновенный луч). Скорость распространения обыкновенной волны и, следовательно, показатель преломления для нее не зависят от направления распространения (т.е. эта волна ведет себя в кристалле как в изотропной среде). Скорость же распространения и показатель преломления необыкновенной волны зависят от направления распространения. Таким образом, законы преломления для необыкновенного луча изменяются, в частности, он может не лежать в плоскости падения. При распространении вдоль оптической оси оба показателя преломления совпадают, поэтому раздвоения луча не происходит. Наибольшее отличие от наблюдается при распространении в направлении перпендикулярном оптической оси.

Поляризаторы. Закон Малюса.

Устройства, с помощью которых можно получить из естественного поляризованный свет (обычно линейно-поляризованный) называются поляризаторами. Действие таких приборов может быть основано на двух вышеназванных явлениях. В любом случае вышедший из поляризатора свет линейно поляризован, а плоскость, проведенная через вектор и вышедший луч, называется плоскостью поляризатора. Поляризатор пропускает лишь волну, колебания вектора в которой параллельны этой плоскости.

Пусть на поляризатор падает плоско-поляризованная волна. Плоскость, проведенная через вектор и луч, называется плоскостью поляризации. Пусть плоскость поляризации падающей волны составляет с плоскостью поляризатора угол . Такую волну можно представить как суперпозицию двух других, у одной из которых плоскость поляризации параллельна плоскости поляризатора, а у другой – перпендикулярна (рис.3.4.3). Поляризатор пропустит лишь первую из них. Из рисунка видно, что . А поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность вышедшей из поляризатора волны I связана с интенсивностью падающей I

. (3.4.3)

Соотношение (3.4.3) называется законом Малюса. Если падающий свет естественный, то угол хаотически меняется в пределах от 0 до и при усреднении соотношения (3.4.3)получим интенсивность вышедшего луча

. (3.4.4)

Лекция 3.5

Фазовая и групповая скорости волны. Дисперсия.

В вакууме все электромагнитные волны распространяются с одинаковой скоростью, называемой скоростью света - с. Скорость же распространения волн разных частот в веществе будет различной. Дело в том, что электрические диполи диэлектрика под влиянием электромагнитного поля волны совершают вынужденные колебания. Электромагнитное излучение, вызванное колебаниями этих диполей, создает вторичную волну, которая, накладывается на исходную (первичную) и дает результирующую волну в веществе. Это наложение оказывается достаточно сложным и в результате скорость волны оказывается зависящей от ее частоты.

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность «горбов» и «впадин», перемещающихся вдоль оси х с фазовой скоростью

. (3.5.1)

С помощью такой волны нельзя передать никакого сигнала, так как каждый последующий «горб» или «впадина» ничем не отличаются от предыдущего.

Рис.3.5.1.

Однако, как уже отмечалось, монохроматическая волна это идеализация. Реально любая волна представляет собой некую совокупность (суперпозицию) волн с частотами, заключенными в некотором интервале . Если этот интервал невелик, то такая совокупность называется волновым пакетом или группой волн. С помощью такой системы можно передавать сигнал (рис.3.5.1)

Рассмотрим простейший случай. Пусть волновой пакет состоит из двух волн с одинаковыми амплитудами и небольшим отличием по частотам (а следовательно и по волновым числам)

, (3.5.2)

где « и «k. Тогда, сложив эти две волны, получим

. (3.5.3)

Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно считать амплитудой волнового пакета (огибающая на рис.3.5.1). Эта амплитуда меняется в пространстве и во времени, но фиксировав некоторое ее значение, например максимум (точка В на рисунке) можно передавать информацию.

Найдем скорость этой точки. Для этого фиксируем некоторое значение амплитуды. За время dt это значение переместится на dx. Тогда можно записать

,

Откуда получим

. (3.5.4)

Эта величина есть не что иное, как скорость перемещения амплитуды волнового пакета, называемая групповой скоростью. Это также скорость перемещения энергии. Мы получили это выражение для группы, состоящей из двух волн. В общем случае для групповой скорости, которую обозначим u, имеет место выражение

. (3.5.5)

Напомним, что фазовая скорость волны . (3.5.6)

Найдем связь между групповой и фазовой скоростью. Учтем связь между длиной волны и волновым числом . Тогда получим

. (3.5.7)

Из полученного соотношения следует, что, если фазовая скорость не зависит от частоты (или длины волны), то групповая и фазовая скорости одинаковы и форма волнового пакета не меняется. Если же фазовые скорости для разных составляющих пакета различны, то V ≠ u и форма волнового пакета меняется (пакет расплывается).

Явление зависимости фазовой скорости (а, следовательно, и показателя преломления вещества) от длины волны (или частоты) называется дисперсией.

Дисперсия света.

Дисперсия света объясняется зависимостью диэлектрической проницаемости , а, следовательно, и показателя преломления от частоты (или длины волны ). Эта зависимость связана с взаимодействием электромагнитного поля световой волны с атомами и молекулами, показатель преломления при этом становится комплексной величиной, содержащей действительную часть – истинный показатель преломления п и мнимую часть – коэффициент поглощения אּ. В видимой и ультрафиолетовой областях спектра основное значение имеют колебания электронов, а в инфракрасной - колебания ионов.
Согласно классическим представлениям, под действием электрического поля световой волны электроны атомов или молекул совершают вынужденные колебания с частотой, равной частоте приходящей волны . При приближении частоты световой волны к частоте собственных колебаний электронов возникает явление резонанса, обусловливающее поглощение света. Эта теория хорошо объясняет связь дисперсии света с полосами поглощения

Рис.3.5.2.

На рис 3.5.2. показана зависимость показателя преломления и коэффициента поглощения от отношения частоты волны к собственной частоте электронов. Видно, что в области, где , характер зависимости показателя преломления от частоты волны резко меняется и резко увеличивается коэффициент затухания. Область, где п растет с увеличением частоты, называется нормальной дисперсией, а, если п убывает с ростом частоты – аномальной дисперсией. Из графика видно, что аномальная дисперсия наблюдается при частотах, которые соответствуют сильному поглощению.

Один из самых наглядных примеров дисперсии — разложение белого света при прохождении его через призму (опыт Ньютона). Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с преломляющим углом А и показателем преломления n (рис.3.5.3) под углом .

Рис.3.5.4.	Рис.3.5.3

После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается преломлен от первоначального направления на угол φ. Очевидно, что угол отклонения лучей призмой зависит от показателя преломления n, а n – функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы отклоняются на разные углы (рис.3.5.4). Пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и наблюдал Ньютон. Таким образом, с помощью призмы, разлагая свет на монохроматические составляющие, можно определить его спектральный состав.

Лекция 3.6

Интерференция. Условия максимума и минимума интерференции.

Интерференция - это явление наложения двух или нескольких волн, при котором результирующая интенсивность не равна сумме интенсивностей складываемых волн. Интерферировать могут волны любой физической природы. Мы рассмотрим это явление на примере электромагнитных волн.

Пусть в некоторую точку пространства приходят две плоские электромагнитные волны

= cos( t─ + ),

cos ( t─ + ). (3.6.1) Они возбуждают в этой точке колебания напряженности электрического поля

= cos( t + ),

= cos( t + ), (3.6.2) где и - соответствующие начальные фазы. Результирующая напряженность, в соответствии с принципом суперпозиции,

= + .

Интенсивность волны пропорциональна среднему по времени квадрату напряженности электрического поля:

I ~ < > = < ( + ) > = < > + < > + 2 < ( · )> (3.6.3)

Здесь усреднение проводится за время наблюдения. Фактически всякий прибор, с помощью которого наблюдают интерференционную картину, обладает некоторой инерционностью, т.е. регистрирует не мгновенную картину, а усредненную за промежуток времени t, необходимый для «срабатывания» прибора. Это и есть время усреднения в (3.6.3).

Первые два слагаемых в правой части (3.6.3) определяют (с учетом коэффициента пропорциональности) интенсивности волн I и I . Интерференция будет наблюдаться, если третье слагаемое будет отличаться от нуля. Для этого вектора и не должны быть взаимно перпендикулярны. В дальнейшем будем полагать, что и параллельны. Рассмотрим идеализированный случай монохроматических плоских волн, т.е. амплитуды, частоты и волновые векторы () будем полагать константами, причем

= = , | | = | | = k.

Однако параллельность векторов и еще не гарантирует отличие от нуля последнего слагаемого в (3.6.3). Для выполнения этого условия необходимо, чтобы модуль амплитуды результирующего колебания в данной точке не ме нялся за время наблюдения. Это возможно лишь в случае, если разность фаз складываемых в этой точке колебаний ( = — ) не зависит от времени. Рис.3.6.1.

Условия максимума и минимума интерференции.

Модуль амплитуды результирующего колебания Е в случае параллельности складываемых колебаний можно определить с помощью векторной диаграммы (рис. 3.6.1)

Е = Е + Е + 2 Е Е cos ( — ). (3.6.4)

Тогда результирующая интенсивность

I = I + I + 2 <cos ( — ) >. (3.6.5)

В реальных источниках излучателями являются отдельные атомы, не связанные друг с другом ( и меняются независимо). Поэтому разность фаз ( — ) непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, так что среднее по времени значение <cos( ─ )> равно нулю.

Тогда суммарная интенсивность равна сумме интенсивностей складываемых волн – интерференция отсутствует.

Если же добиться, чтобы разность фаз в каждой точке пространства оставалась неизменной с течением времени, то значение интенсивности в разных точках пространства будет отличным от суммы интенсивностей складываемых волн и различным в разных точках в зависимости от величины cos ( — ). В частности, при cos ( — ) = 1 интенсивность будет принимать максимальное значение:

I =I +I +2 = . (3.6.6) Как нетрудно видеть, такая интенсивность будет осуществляться при

= — =2 m , (3.6.7) где целое число m = 0, 1, 2, …называется порядком максимума интерференции. Если cos ( — ) = —1, интенсивность будет минимальна:

. (3.6.8) Такая интенсивность наблюдается в точках, где

=

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: