Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Список вопросов

1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2 Дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия (частный и общий интегралы, интегральная кривая).

3 Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

4 Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Алгоритм нахождения общего интеграла.

5 Однородные уравнения первого порядка.

6 Уравнения, приводящиеся к однородному уравнению.

7 Обобщенное однородное уравнение (уравнение вида y`=x^m * f(y/x^(m+1)))

8 Уравнения вида y`= x^m+yⁿ.

9 Линейные уравнения первого порядка. Подстановка Бернулли.

10 Уравнение Бернулли.

11 Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка.

12 Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

13 Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, не содержащие в явном виде функцию y.

14 Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, не содержащие в явном виде аргумент x.

15 Линейные неоднородные уравнения высших порядков. Структура общего решения.

16 Линейные однородные уравнения. Структура общего решения.

17 Достаточное условие линейной независимости функций.

18 Необходимое условие линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

19 Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.

20 Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Нахождение общего решения.

21 Уравнение Эйлера. - фарт, тяни другой билет.

22 Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

23 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью вида Pn(x)·e^αx.

24 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью вида Pn(x)·e^αx ·sin βx.

25 Уравнение колебательных процессов. Явление резонанса.

26 Преобразование Лапласа, его свойства: линейность оператора Лапласа.

27 Преобразование Лапласа: изображения основных элементарных функций
(x=e^t, x=sin(t), x=cos(t)).

28 Преобразование Лапласа: дифференцирование оригинала.

29 Преобразование Лапласа: дифференцирование изображения.

30 Преобразование Лапласа: свойство подобия.

31 Преобразование Лапласа: запаздывание оригинала.

32 Преобразование Лапласа: смещение изображения.

33 Преобразование Лапласа: интегрирование оригинала.

34 Свертка функций, ее изображение.

35 Применение операционного исчисления при решении линейных дифференциальных уравнений.

36 Функциональные ряды, их применения: интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

37-38. Таблица производных и таблица оригинал<->изображение.

Список вопросов

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия.

3 Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

4. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Алгоритм нахождения общего интеграла.

5. Однородные уравнения первого порядка.

6. Уравнения, приводящиеся к однородному уравнению.

7. Обобщенное однородное уравнение (уравнение вида y`=xm * f(y/x(m+1)))

9. Линейные уравнения первого порядка. Подстановка Бернулли.

10. Уравнение Бернулли.

11. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка

12. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

13. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения не содержащие в явном виде функцию y.

14. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения не содержащие в явном виде функцию x.

15. Линейные неоднородные уравнения высших порядков. Структура общего решения.

16. Линейные однородные уравнения. Структура общего решения.

17. Линейная независимость функций.

18. Необходимое условие линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

19. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.

20. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Нахождение общего решения.

22. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

23. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами.Уравнения с правой частью вида Pn(x)·eαx.

24. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью вида Pn(x)·eαx ·sin βx.

25. Уравнение колебательных процессов. Явление резонанса.

26.Преобразование Лапласа, его свойства: линейность оператора Лапласа.

27.Преобразование Лапласа: изображения основных элементарных функций

28. Преобразование Лапласа: дифференцирование оригинала.

29. Преобразование Лапласа: дифференцирование изображения.

30. Преобразование лапласа: свойство подобия.

31. Преобразование Лапласа: запаздывание оригинала.

32. Преобразование Лапласа: смещение изображения.

33.Преобразование Лапласа: интегрирование оригинала.

34.СВЕРТКА ФУНКЦИИ И ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

37. Таблица производных

38. Таблица соотношений оригиналов и изображений

Однородные уравнения первого порядка.

Определение: функция f(x,y) называется однородной m-ого измерения, если
* f (kx, ky) = kmf(x,y)
m=1 - функция однородная
m=0 - f(x,y)=(y/x), функция зависит не от У и Х, а от У/Х
Дифференциальное уравнение y`=f(x,y) называется однородным первого порядка, если правая часть является однородной.
АЛГОРИТМ:
y`= (y/x)
Замена - y/x = z, y=xz, y`=z+xz`
z+xz`=(y/x)
xz`=(y/x)-z
z`=[(y/x)-z]*1/x - уравнение с разделяющимися перменными.
dz/(y/x)-z=dx/x+ln |c|=ln|cx|
z=F(x,c) или F(x,z,c)=0,
y=zx=x*F(x,c)
* y`=f1(x,y)f2 (x,y)f1, f2 - однородные функции одинакового измерения.
f1(kx,ky)=kmf1(x, y)
f2(kx,ky)=kmf2(x, y)
АЛГОРИТМ:
Разделяем числитель и знаменатель на xm (умножаем на x-m)и получаем однородное уравнение первого порядка

Линейные уравнения первого порядка. Подстановка Бернулли.

Определение:

Уравнение в которых функция y и y' входят в 1 степени и не перемножаются.

Общий вид:

y'+φ(x)y = f(x)

(y'+φ(x)y = 0 — линейное однородное уравнение)

Алгоритм (подстановка Бернулли):

Ищем y = U(x)*V(x)

y'=U'V+UV'

U'V+UV' + φ(x)UV = f(x)

U'V + U(V' + φ(x)V) = f(x)

Так как y строим с помощью двух(?), то одну из них можно выбрать произвольно

⇩

Выберем V так, чтобы

(1) V' + φ(x)V = 0

⇩

Находим V, подставляем в 2

⇩

(2) U'V = f(x)

U' = f(x)/V

U=∫(f(x)/V) dx + C

Уравнение Бернулли.

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

y’+P(x)y = Q(x)yⁿ, n ≠ 0,1

При n=0 или n=1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение.

При n=2 является частным случаем уравнения Риккати.

Заменим[1]

y=uv

тогда:

u’v+u(v’+a(x)v) = b(x)(uv)ⁿ

Подберем u(x)≠0(не идентично) так, чтобы было

u’+a(x)v=0

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения u получаем уравнение u’/uⁿ = b(x)v^(n-1) — уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

Преобразование Лапласа, его свойства: линейность оператора Лапласа.

C₁x₁(t)+C₂x₂(t).=’ C₁F₁(p)+C₂F₂(p)

//равенство с точками, оригиналы слева.

Преобразование Лапласа: дифференцирование оригинала.

x’(t).=’ p*F(p) - x(0)

x’’(t).=’ p² *F(p) - p*x(0) - x’(0)

//равенство с точками, оригинал слева.

Преобразование Лапласа: дифференцирование изображения.

F’(p) = (∫e^-ptx(t)dt)’ = 0 - 0 + ∫(e^-ptx(t)’’dt = ∫x(t)*(-t)e^-ptdt

Преобразование лапласа: свойство подобия.

X(αt).=’ ∫x(αt)e^-ptdt = {αt=u; t=u/α; dt=du/α} = ∫x(u)e^-p/αudu/α = 1/α ∫x(u)e^-p/αudu

//равенство с точками, оригинал слева.

Преобразование Лапласа: запаздывание оригинала.

Сдвиг (запаздывание оригинала)
x(t-t₀) ≓0∞x(t-t0)*e-ptdt = e-pt0∞x(u)*e-pudu,
где: t - t₀ = u; t = u + t₀; dt = du; t: (-t₀;∞).

x(t-t₀) ≓ e-pt*F(p)

Таблица производных

Таблица соотношений оригиналов и изображений

Игорь Жиронкин:

В варианте из лекций было по-другому и, возможно, верно.

Список вопросов

1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2 Дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия (частный и общий интегралы, интегральная кривая).

3 Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

4 Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Алгоритм нахождения общего интеграла.

5 Однородные уравнения первого порядка.

6 Уравнения, приводящиеся к однородному уравнению.

7 Обобщенное однородное уравнение (уравнение вида y`=x^m * f(y/x^(m+1)))

8 Уравнения вида y`= x^m+yⁿ.

9 Линейные уравнения первого порядка. Подстановка Бернулли.

10 Уравнение Бернулли.

11 Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка.

12 Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

13 Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, не содержащие в явном виде функцию y.

14 Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, не содержащие в явном виде аргумент x.

15 Линейные неоднородные уравнения высших порядков. Структура общего решения.

16 Линейные однородные уравнения. Структура общего решения.

17 Достаточное условие линейной независимости функций.

18 Необходимое условие линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

19 Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.

20 Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Нахождение общего решения.

21 Уравнение Эйлера. - фарт, тяни другой билет.

22 Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

23 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью вида Pn(x)·e^αx.

24 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью вида Pn(x)·e^αx ·sin βx.

25 Уравнение колебательных процессов. Явление резонанса.

26 Преобразование Лапласа, его свойства: линейность оператора Лапласа.

27 Преобразование Лапласа: изображения основных элементарных функций
(x=e^t, x=sin(t), x=cos(t)).

28 Преобразование Лапласа: дифференцирование оригинала.

29 Преобразование Лапласа: дифференцирование изображения.

30 Преобразование Лапласа: свойство подобия.

31 Преобразование Лапласа: запаздывание оригинала.

32 Преобразование Лапласа: смещение изображения.

33 Преобразование Лапласа: интегрирование оригинала.

34 Свертка функций, ее изображение.

35 Применение операционного исчисления при решении линейных дифференциальных уравнений.

36 Функциональные ряды, их применения: интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

37-38. Таблица производных и таблица оригинал<->изображение.

Список вопросов

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия.

3 Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

4. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Алгоритм нахождения общего интеграла.

5. Однородные уравнения первого порядка.

6. Уравнения, приводящиеся к однородному уравнению.

7. Обобщенное однородное уравнение (уравнение вида y`=xm * f(y/x(m+1)))

9. Линейные уравнения первого порядка. Подстановка Бернулли.

10. Уравнение Бернулли.

11. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка

12. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

13. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения не содержащие в явном виде функцию y.

14. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения не содержащие в явном виде функцию x.

15. Линейные неоднородные уравнения высших порядков. Структура общего решения.

16. Линейные однородные уравнения. Структура общего решения.

17. Линейная независимость функций.

18. Необходимое условие линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

19. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.

20. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Нахождение общего решения.

22. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

23. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами.Уравнения с правой частью вида Pn(x)·eαx.

24. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью вида Pn(x)·eαx ·sin βx.

25. Уравнение колебательных процессов. Явление резонанса.

26.Преобразование Лапласа, его свойства: линейность оператора Лапласа.

27.Преобразование Лапласа: изображения основных элементарных функций

28. Преобразование Лапласа: дифференцирование оригинала.

29. Преобразование Лапласа: дифференцирование изображения.

30. Преобразование лапласа: свойство подобия.

31. Преобразование Лапласа: запаздывание оригинала.

32. Преобразование Лапласа: смещение изображения.

33.Преобразование Лапласа: интегрирование оригинала.

34.СВЕРТКА ФУНКЦИИ И ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

37. Таблица производных

38. Таблица соотношений оригиналов и изображений

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Примеры из механики.

Тело массой m, с высоты h₀, брошено вверх со скоростью V₀.

Задачи:

1) Найти V₀ в разное t, т.е. найти функцию V(t).

2) Найти положение тела в разное t, т.е. найти функцию h(t).

Решения:
1)

F =ma=m(dV/dt)

mg+F_сопр.=m(dV/dt)

F_сопр. - сила сопротивления воздуха, F_сопр. = -kV (для малых скоростей)

mg-kV=m(dV/dt)

В проекциях на ось “h”

-mg-kV=m(dV/dt) - дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции V(t).

2)

V= dh/dt = h’ (V_x=dx/dt)

a=dV/dt=d²h/dt=h’’

-mg-k(dh/dt)=m(d²h/dt) - дифференциальное уравнение 2-го порядка для функции h(t).

Еще он давал примеры из теории частиц, но думаю вряд-ли они кому нужны.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия.

Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:

1) независимую переменную x;

2) зависимую переменную y (функцию);

3) первую производную функции: y'.

В некоторых случаях в уравнении первого порядка может отсутствовать x или (и) y – важно чтобы в ДУ была первая производная y', и не было производных высших порядков – y'', y''' и т.д.

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций y=f(x)+C, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример

1) xy'=y 2) x*(dy/dx)=y 3) dy/y=dx/x 4) ∫dy/y=∫dx/x

5) ln|y|=ln|x|+C 6) ln|y|=ln|x|+ln|C| 7) ln|y|=ln|Cx| 8) y=Cx

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций y=Cx где С=const является общим решением дифференциального уравнения xy'=y.

Придавая константе C различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций y=x, y=-3x, y=x/5 и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению xy'=y.

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных»кривых y=f(x)+C, где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

y=Cx

3 Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если существует окрестность Д точки М (х0,у0), где функция f (x,y) и ∂f/∂y в уравнении y`=f (x,y) непрерывны, то задача КОШИ имеет решение, оно единственное. значок системы у каждого уравнения, на самом деле в ОДНОЙ системе ОБА уравнения!!
1 Пример, y`=y/x=f (x,y)
∂f/∂y=1/x

y(1)=2 (нач. усл.)
Общее решение у=сх, 2=с*1->с=2->у=2х
2 Пример, где задача Коши не выполняется

f(x,y)=y/0 - задача КОШИ не имеет решения,
нет С, при которой ф-ция проходит через точку М

(какого члена тогда на графике изображены интегральные кривые? нарушено условие непрерывности.Рз нет решения то нет и интегральных кривых. Логично?)
3 Пример - есть существование, но нет единственности

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: