|
|
Свойства сходящихся числовых рядов.1) Если ряд 2) Если ряды 3) Добавление и отбрасывание конечного числа слагаемых не влияет на характер сходимости ряда. Знакоположительные ряды. Необходимый признак сходимости. Теорема. Если ряд Обратное утверждение неверно: если Следствие (достаточный признак расходимости ряда): Если Примеры. 1) 2) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. 1 Признак сравнения. Даны два знакоположительных ряда а) если б) если Следствие: если существует Для использования этого признака удобно выбирать ряд, составленный из членов геометрической прогрессии 2 Признак Даламбера. Пусть 3 Радикальный признак Коши. Пусть 4 Интегральный признак Коши.
Пусть План исследования знакоположительных рядов 1. Находим 2. Если 3. Делаем вывод о сходимости ряда. Примеры. 1) Напоминаем, что
2) 3) Знакопеременные ряды Это ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены. Частным случаем таких рядов являются знакочередующиеся ряды: ряды, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный:
или
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде 1) абсолютные величины членов ряда убывают 2) то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит модуля первого члена. Следствие. Пусть знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если сумму этого ряда заменить суммой n первых членов, то погрешность, допускаемая при этом не превосходит модуля первого отброшенного члена. Рассмотрим знакочередующийся ряд Пример. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд.
Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница. 1) 2) Исследуем ряд на условную и абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда.
Степенные ряды Степенным рядом называется ряд вида:
где При a =0 имеем
При
Это уже числовой ряд. он может сходиться или расходиться. Если ряд (2) сходится, то Теорема Абеля. Для любого степенного ряда (1) существует интервал
Если R =0, то точка x =0 – единственная точка сходимости. Если R =¥, то ряд сходится на всей числовой оси. Пример. 1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.
Тогда (-5; 5) – интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Исследуем характер сходимости ряда на границах. 1) x =–5, тогда степенной ряд примет вид
Это знакочередующийся ряд. Для него применим признак Лейбница: 1)
2) x =5; (-5; 5) – область сходимости данного степенного ряда. 2)
1)
1) 2) 2)
Теория вероятностей   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
сходится и имеет сумму S, то ряд 
сходится и имеет сумму CS.
сходятся и имеют суммы 
и 
соответственно, то сходятся и ряды 
и имеют суммы 
.
.
, то ряд 
– ряд расходится.
– ничего нельзя сказать о характере сходимости ряда. Нужны дополнительные исследования с помощью других признаков.
, тогда:
.
, конечное число, то ряды сходятся или расходятся одновременно.
, который сходится при 
и расходится при 
, а также обобщенный гармонический ряд 
, который сходится при 
и расходится при 
.
и существует 
. Тогда при q <1 ряд сходится, при q >1 – расходится, при q =1 – сомнительный случай (нужно исследовать с помощью других признаков).
. Тогда при p <1 ряд сходится, при p >1 – расходится, при p =1 – сомнительный случай.
– непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция, определенная при 
и такова, что члены ряда являются значениями функции при 
, т. е. 
, 
, …, 
,…, тогда ряд (1) и несобственный интеграл 
сходятся или расходятся одновременно.
. Если 
, то ряд расходится, исследование закончено.
, применяем один (подходящий) из достаточных признаков сходимости.
; 0!=1;
.
– ряд, расходящийся по признаку Даламбера.
– ряд сходится по радикальному признаку Коши.
сравним с 
– сходящимся (как обобщенный гармонический 
– конечное, не равное нулю число, тогда ряды ведут себя одинаково, т. е. сходятся.
.
;
и ряд, составленный из абсолютных его величин. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.
;
. => ряд сходится по признаку Лейбница.
– это обобщенный гармонический ряд, он сходится, так как k =3>1, тогда знакочередующийся ряд 
является абсолютно сходящимся рядом.
,
– постоянные величины, коэффициенты ряда, число a – центр ряда.
степенной ряд (1) принимает вид
– точка сходимости степенного ряда (1). Если ряд (2) расходится, то 
, внутри которого ряд сходится абсолютно, вне его расходится, а на границах может иметь различный характер сходимости.
– радиус интервала сходимости.
– интервал сходимости.
.
.
– не выполнено первое условие признака Лейбница, тогда ряд
расходится, точка 
– точка расходимости.
– ряд расходится по следствию из необходимого признака, тогда x =5 – точка расходимости.
.
– интервал сходимости данного степенного ряда. Исследуем на границах:
, тогда степенной ряд примет вид:
– это знакочередующийся ряд. Проверим два условия:
;
, тогда ряд 
сходится по признаку Лейбница, точка 
. Сравним этот ряд с гармоническим 
, который, как известно, расходится.
– конечное число, тогда по следствию из признака сравнения ряды ведут себя одинаково, т. е. оба расходятся, поэтому точка 
– точка расходимости начального степенного ряда.
– область сходимости степенного ряда.