Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Применение линейной теории полезности





Применение линейной теории полезности

Для решения задач

Распределения ресурсов

(на примере работы с программами Excel, Mathcad)

 

  1. Пример постановки задачи.
  2. Предварительный этап решения.
  3. Решение задачи в программе Excel.
  4. Решение задачи в программе Mathcad.
  5. Отчетность по лабораторной работе.

Пример постановки задачи на составление оптимального плана

 

Предприятие выпускает два вида продукции: А и Б, используя 3 вида ресурсов: труд сырье и оборудование. Сбыт продукции гарантирован.

Используемые ресурсы Затраты ресурсов на единицу продукции Ежедневное наличие ресурсов
А Б
Труд, уе
Сырье, уе
Оборудование, уе
Прибыль на единицу продукции, уе  

В настоящее время действует ежедневный план выпуска: А – 150 ед, Б – 350 ед.

Требуется: а) составить план производства, при котором прибыль максимальна;

б) определить, какие ресурсы дефицитны при оптимальном плане производства;

в) оценить размер упущенной выгоды в день;

г) определить границы изменения дневного объема ресурса «сырье»,
в которых оптимальный план производства не изменяется;

д) определить границы изменения прибыли от сбыта продукции А,
в которых оптимальный план не изменяется.

 

Задание примерно такого типа будет в Вашем варианте!

 

Заметьте! Действующий (или предварительный) план нужен лишь для оценки выгоды, упущенной в настоящий момент (для оценки потери прибыли, производительности, дохода, выручки и т.п.).

Задания г), д) – анализ чувствительности оптимального плана к изменению условий.

В программе Mathcad нет возможности находить «целочисленный» план. Поэтому, если
по смыслу задачи (как в данном примере) параметры плана – целые числа, то целесообразный порядок выполнения работы: 1) выполняем предварительный этап; 2) производим расчет в Excel (там есть возможность целочисленной оптимизации); 3) производим расчет в Mathcad (там нет возможности целочисленной оптимизации, поэтому результат требует правильного округления); 4) зная «правильные» значения оптимальных параметров плана вслед за расчетами печатаем отчет.



 

К началу ↑


Предварительный этап – сведение к задаче линейного программирования

 

Для подготовки к выполнению расчетов необходимо на черновике (дома перед занятием!) составить задачу линейной теории полезности и показать преподавателю ее математическую форму. Рассуждать можно следующим образом.

 

Вводим переменные

Требуется составить план производства, т.е. найти объемы выпусков для А и для Б (в своем варианте определите вначале количество позиций плана, подсказка – предварительный план). Объемы, соответствующие максимальной прибыли заранее неизвестны, поэтому обозначим:

х0 – объем выпуска А в единицах,

х1 – объем выпуска Б в единицах.

(Нумерацию начинаем с 0, т.к. так принято в программе Mathcad!!! Для расчетов в Excel это не важно, т.к. Вы там не увидите никаких «иксов».))

Тогда план производства – это вектор (массив):

х=(х0, х1).

 

Составляем функцию полезности

По условию данной задачи «полезность» – это прибыль, т.к. она используется для количественной оценки предпочтительности плана (а в других случаях это м.б.: затраты, производительность, объем, выручка или доход, сумма произведенных цен и т.д.).

По таблице определяем прибыли (удельные полезности) от выпуска каждого продукта:

40х0 – прибыль от выпуска х0 единиц продукта А,

60х1 – прибыль от выпуска х1 единиц продукта Б.

Значение суммарной прибыли – это и есть функция полезности:

р(х)=40х0+60х1.

Заметьте! По такой же формуле, но с другими значениями переменных, вычисляется прибыль при действующем плане производства.

 

Определяем целевой критерий

Так как прибыль нужно максимизировать, то

р(х)=40х0+60х1→max.

(Так пишем формально! В компьютерных программах это условие реализуется совсем иначе!)

 

Определяем ограничения

Для выпуска используются ограниченные ресурсы (в своей задаче определите: источники ограничений, количество групп разнотипных ограничений, количество ограничений в каждой группе). По каждому записываем ограничения (для распределяемых или используемых ресурсов) в виде неравенств с помощью данных из таблицы затрат (норм расхода) ресурсов на выпуск продукции.

Найдем ограничения по труду:

2х0 – затраты труда на выпуск х0 единиц продукта А,

4х1 – затраты труда на выпуск х1 единиц продукта Б;

в сумме получим общие затраты труда на выпуск всей продукции:

2х0+4х1.

Т.к. дневной лимит труда – 2000 уе, то общие затраты труда не могут превышать этот лимит:

2х0+4х1≤2000.

Аналогично получим ограничения на использование сырья

4х0+х1≤1400.

и оборудования

2х0+х1≤800.

 

Заметьте! Если все ограничения с одним знаком (как в данном случае), то можно без потери экономического смысла записать ограничения в матричном виде (это удобно для решения задачи в программе Mathcad!). Т.к. ограничений – 3, а переменных – 2, то матрица коэффициентов при переменных в левых частях неравенств (здесь это матрица затрат ресурсов на выпуск продукции) будет иметь 3 строки и 2 столбца: . Правые части неравенств (вектор лимитов ресурсов) – вектор-столбец (матрица с одним столбцом и с тремя строками): . Итак, ограничения в матричном виде:

.

Т.е. компоненты вектора в левой части неравенства не больше чем соответствующие компоненты вектора в правой части. (В других задачах м.б. .)

Кроме того, в данном случае величины выпусков д.б. целыми (т.к. они измеряются в единицах) и неотрицательными

х0≥0 – целое, х1≥0 – целое.

В векторной форме

.

Заметьте! Все экономические ресурсы – неотрицательные величины! Но не всегда объемы ресурсов д.б. целыми числами (например, метры, тонны, часы, денежные единицы и т.д.).

 

Применение линейной теории полезности

Для решения задач

Распределения ресурсов

(на примере работы с программами Excel, Mathcad)

 

  1. Пример постановки задачи.
  2. Предварительный этап решения.
  3. Решение задачи в программе Excel.
  4. Решение задачи в программе Mathcad.
  5. Отчетность по лабораторной работе.

Пример постановки задачи на составление оптимального плана

 

Предприятие выпускает два вида продукции: А и Б, используя 3 вида ресурсов: труд сырье и оборудование. Сбыт продукции гарантирован.

Используемые ресурсы Затраты ресурсов на единицу продукции Ежедневное наличие ресурсов
А Б
Труд, уе
Сырье, уе
Оборудование, уе
Прибыль на единицу продукции, уе  

В настоящее время действует ежедневный план выпуска: А – 150 ед, Б – 350 ед.

Требуется: а) составить план производства, при котором прибыль максимальна;

б) определить, какие ресурсы дефицитны при оптимальном плане производства;

в) оценить размер упущенной выгоды в день;

г) определить границы изменения дневного объема ресурса «сырье»,
в которых оптимальный план производства не изменяется;

д) определить границы изменения прибыли от сбыта продукции А,
в которых оптимальный план не изменяется.

 

Задание примерно такого типа будет в Вашем варианте!

 

Заметьте! Действующий (или предварительный) план нужен лишь для оценки выгоды, упущенной в настоящий момент (для оценки потери прибыли, производительности, дохода, выручки и т.п.).

Задания г), д) – анализ чувствительности оптимального плана к изменению условий.

В программе Mathcad нет возможности находить «целочисленный» план. Поэтому, если
по смыслу задачи (как в данном примере) параметры плана – целые числа, то целесообразный порядок выполнения работы: 1) выполняем предварительный этап; 2) производим расчет в Excel (там есть возможность целочисленной оптимизации); 3) производим расчет в Mathcad (там нет возможности целочисленной оптимизации, поэтому результат требует правильного округления); 4) зная «правильные» значения оптимальных параметров плана вслед за расчетами печатаем отчет.

 

К началу ↑









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.