|
|
Дискретизация непрерывных процессовОбщие сведения
При замене непрерывного процесса цифровым возникают ошибки из-за квантования по уровню (шумы квантования) и дискретизации по времени (ошибки восстановления непрерывного процесса по его дискретным отсчетам). Шум квантования считается равномерно распределенным случайным процессом с дисперсией h 2/12, где h – величина шага квантования. При 16-разрядном двоичном представлении числа шаг квантования равен примерно одной 65-тысячной этого числа. Поэтому шумами квантования можно пренебречь. Дискретизация заключается в замене непрерывного процесса его отсчетами, взятыми через некоторые интервалы времени Δ t, не обязательно одинаковые. Далее будем рассматривать только эквидистантную дискретизацию, когда интервал дискретизации Δ t постоянен. Восстановить непрерывный процесс по его дискретным отсчетам можно без ошибки, согласно теореме Котельникова, если спектр этого процесса S (f) ограничен частотой f гр (S (f) = 0 при f > f гр) и частота дискретизации, f д = =1/Δ t, больше удвоенной граничной частоты (f д ³ 2 f гр). При этом восстанавливающий фильтр должен иметь прямоугольную АЧХ и ФЧХ, равную нулю. Импульсная характеристика такого фильтра g (t) = Sin(π f д t)/(π f д t). Так как импульсная характеристика начинается при t = - ∞, то такой фильтр физически нереализуем. Можно использовать фильтры высокого порядка (например, Баттерворта, Чебышева и др.), АЧХ которых приближается к прямоугольной. Но повышение порядка фильтра приводит к увеличению крутизны ФЧХ, и следовательно, увеличению задержки выходного сигнала фильтра относительно входного. Таким образом, чем ближе будет форма восстановленного сигнала к исходной непрерывной, тем больше он будет задержан относительно исходного. Теоретически время задержки при идеальном восстановлении равно бесконечности. Реально восстановление непрерывного процесса по дискретным отсчетам производится фиксацией значений процесса на интервал дискретизации с последующей фильтрацией фильтром низкой частоты.
Восстановление непрерывного процесса по дискретным отсчетам
В основе восстановления непрерывного процесса x (t) по его отсчетам x (i Δ t) лежит теория аппроксимации. Аппроксимация – это замена одного математического объекта другим, в том или ином смысле близким к исходному. Для аппроксимации функций используются ряды, из которых наиболее известными являются ряд Тейлора (для экстраполяции) и ряд Лагранжа (для интерполяции). Интерполяция – определение значений процесса внутри интервала Δ t по известным значениям этого процесса на границах интервала и, возможно, в некоторых точках внутри интервала. Экстраполяция - определение значений процесса за пределами интервала Δ T по известным значениям этого процесса, а также его производных, на границах интервала Δ T. Замена непрерывного процесса ступенчатым Простейшей аппроксимацией является ступенчатая. При ступенчатой интерполяции восстановленный процесс x в(t) на интервале i Δ t – Δ t /2 < t < i Δ t + Δ t /2 считается равным значению отсчета процесса в момент времени t = i Δ t (рис. 4.1 а). Таким образом, в интервале между соседними отсчетами процесс изменяется скачком в середине интервала.
При ступенчатой экстраполяции (рис. 4.1 б) восстановленный процесс принимает значение отсчета в момент времени t = i Δ t на всю длину последующего интервала.
Замена непрерывного процесса кусочно-линейным Замена непрерывного процесса кусочно-линейным осуществляется в результате линейной интерполяции или экстраполяции. При линейной интерполяции (рис. 4.3 а) восстановленный процесс изменяется внутри интервала дискретизации линейно, принимая на границах этого интервала значения отсчетов исходного процесса. При линейной экстраполяции (рис. 4.3 б) восстановленный процесс тоже изменяется линейно внутри интервала дискретизации, но эта линия строится как продолжение линии, построенной по отсчетам процесса на границах предыдущего интервала дискретизации.
Линейная интерполяция, так же, как и ступенчатая, физически не реализуема, так как нельзя провести прямую линию из точки, соответствующей началу интервала, в точку, координаты которой еще не известны. Линейная экстраполяция физически реализуема, но восстановленный процесс может значительно отличаться от исходного непрерывного, особенно на участках, где производная меняет знак, и использование линейной экстраполяции нецелесообразно. Линейную интерполяцию можно реализовать, если допустить задержку результата интерполяции на один интервал дискретизации (рис. 4.4). Тогда становятся известными координаты конца отрезка прямой, и с этого момента можно строить интерполирующую прямую.
Устройство, реализующее такую интерполяцию, называется фиксатором первого порядка. Его импульсная характеристика показана на рис 4.5.
Ошибки дискретизации
Как видно из приведенных выше рисунков (рис. 4.1 б и рис. 4.4), исходный x (t) и восстановленный x в(t) процессы отличаются друг от друга. Различие между ними называется ошибкой дискретизации. Эту ошибку можно определить по-разному. На рис.4.6 показаны два подхода к определению ошибки.
В системах передачи информации, где несущественна задержка, вносимая устройством восстановления сигнала, пользуются ошибкой без учета задержки. Она равна разности исходного задержанного процесса и восстановленного процесса, причем задержка выбирается такой (t опт), чтобы ошибка была минимальной. Эта ошибка является ошибкой интерполяции: δинт(t) = x (t – t опт) – x в(t). В системах с обратной связью задержка восстановленного сигнала нежелательна. Она может привести не только к увеличению ошибок моделирования, но и к потере устойчивости модели. В этом случае ошибка определяется как: δполн(t) = x (t) – x в(t) и называется полной ошибкой. На рис. 4.7 приведены осциллограммы полной ошибки и ошибки интерполяции при восстановлении процесса фиксаторами нулевого и первого порядков, когда исходный процесс представляет собой отрезок синусоиды длительностью в один период, а отношение периода синусоиды к интервалу дискретизации равно 10.
Так как ошибки зависят от времени, то для их числовой оценки используется среднеквадратическая ошибка, усредненная за время Т, в течение которого измеряется ошибка:
Сравнивая графики, приведенные на рис. 4.7, видим, что полная ошибка для фиксатора нулевого порядка меньше, чем для фиксатора первого порядка. Это связано с тем, что для фиксатора нулевого порядка восстановленный процесс задержан относительно исходного на половину интервала дискретизации, а для фиксатора первого порядка – на интервал дискретизации. Ошибка интерполяции, наоборот, меньше для фиксатора первого порядка.
Построение ВП “Дискретизация процессов”
Блок-схема ВП состоит из четырех частей: генератора исходного процесса, формирователя массивов (исходного, дискретного и двух восстановленных), измерителя ошибок и индикаторной части. В качестве генератора непрерывного процесса используется экспресс-ВП Simulate Signal, знакомый по предыдущей лабораторной работе, который ставится в режим генерирования синусоиды длительностью в один период. Чтобы генерируемый процесс можно было считать близким к непрерывному примем, что за период синусоиды генерируется N с = 1000 отсчетов.
Для измерения ошибок необходимо задерживать непрерывный процесс. Для задержки используется операция циклического сдвига. При циклическом сдвиге на один элемент все элементы массива сдвигаются, занимая место последующего, а последний элемент ставится на место первого. Чтобы значения задержанного массива были равными нулю до начала отрезка синусоиды необходимо в исходном массиве непрерывного процесса после отрезка синусоиды ввести нулевые значения элементов массива (рис. 4.8). Чтобы обеспечить максимальный сдвиг исходного массива на два интервала дискретизации, примем количество нулевых элементов равным количеству отсчетов за два интервала дискретизации. Приведенная на рис. 4.8 осциллограмма массива содержит 1000 элементов массива синусоиды и 400 нулевых элементов. Генерирование всех массивов (исходного, дискретного и двух восстановленных) производится в структуре For Loop. Число итераций N, как уже говорилось, должно быть равно: N = N c + 2 N д. Число N с элементов массива, генерируемого экспресс-ВП Simulate Signal, определяется с помощью функции Array Size k = f д/ f c = N c/ N д. Откуда N д = N c/ k, и N = N c + 2 N с/ k. (4.2) Блок-схема программы вычисления N по выражению (4.2)показана на рис. 4.9. Исходный массив формируется из выходного процесса зкспресс-ВП Simulate Signal с помощью функции Index Array
Дискретный процесс формируется из исходного массива выборкой тех значений, индекс которых кратен количеству отсчетов N д. Для определения этих индексов используется функция Quolitent & Remainder (Частное и остаток) (рис. 4.11) Если x кратно y, то есть делится на y без остатка, то на выходе “остаток” будет 0.
Генерирование массива дискретного процесса производится с помощью функции Select (Выбрать) (рис. 4.12). Функция обеспечивает передачу одного из двух входных значений на выход в зависимости от логической переменной, подсоединяемой к входу s. Если s = TRUE, то на выход передается значение, подаваемое на вход t. Если s = FALSE, то на выход передается значение, подаваемое на вход f.
Алгоритм генерирования дискретного процесса таков: выход равен отсчету исходного процесса, если остаток от деления i на N д равен 0, и выход равен 0, если остаток от деления i на N д не равен 0. Программа, составленная по этому алгоритму, приведена на рис. 4.13. Генерирования массива, восстановленного фиксатором первого порядка, производится по следующему алгоритму: выход равен отсчету дискретного процесса, если остаток от деления i на N д равен 0, и выход равен предыдущему значению восстановленного процесса, если остаток от деления i на N д не равен 0. Программа, составленная по этому алгоритму, приведена на рис. 4.14. Регистр в цепи обратной связи обеспечивает запоминание предыдущего значения выходного процесса Генерирование массива, восстановленного фиксатором первого порядка начинается с определения угла наклона интерполирующей прямой (см. рис. 4.15). Для этого определяется приращение процесса за интервал дискретизации. Оно равно разности между соседними отсчетами процесса, восстановленного фиксатором нулевого порядка для i, кратного N д. Поделив это приращение на N д,, получим приращение между соседними отсчетами. Это приращение запоминается на интервал дискретизации. Выходной массив получается накоплением (интегрированием) приращений.
Ошибка дискретизации определяется как разность между задержанным исходным массивом и восстановленным массивом при изменяющейся задержке от 0 до 2 N д. Как говорилось ранее, задержка осуществляется функцией циклической задержки Rotate 1D Array (Циклически сместить одномерный массив) (рис. 4.16). Функция циклически смещает элементы массива (array) на число позиций и в направлении, определяемом значением на входе n. Например, при n = 1 элементы смещаются на одну позицию в направлении увеличения индекса.
Блок-схема, реализующая задержку массива, изображена на рис. 4.17. Она помещается в структуру For Loop. При i = 0 на вход s функции Select подается FALSE и выходной массив функции Select равен исходному массиву, подсоединенному к входу f. При i > 0 на вход s подается TRUE и на выход с входа t проходит исходный массив, задержанный на одну позицию. И т.д. Количество итераций N = 2 N д. Для измерения среднеквадратической ошибки используется ВП Standard Deviation and Variance (Среднеквадратичное отклонение и дисперсия) (рис. 4.18). Блок-схема измерения ошибки в структуре For Loop приведена на рис. 4.19. На входы вычитающего устройства подаются задержанный и восстановленный массивы.
Сформированный массив СКО подается на схему индикации ошибок (рис.4.20), куда входят графический индикатор Graph, три цифровых индикатора Num Ind и функции Array Max & Min (Максимум и минимум массива)
Контрольные вопросы
1. Какие ошибки возникают при замене непрерывного процесса цифровым? 2. При каких условиях, согласно теореме Котельникова, можно восстановить непрерывный процесс по его отсчетам без ошибки? 3. Почему восстанавливающий фильтр с прямоугольной АЧХ физически не реализуем? 4. Что такое интерполяция и экстраполяция? 5. Изобразите восстановленный процесс при ступенчатой интерполяции. 6. Изобразите восстановленный процесс при ступенчатой экстраполяции. 7. Какой вид имеет импульсная характеристика фиксатора нулевого порядка? 8. Изобразите восстановленный процесс при линейной интерполяции. 9. Изобразите восстановленный процесс при линейной экстраполяции. 10. Как можно реализовать линейную интерполяцию? 11. Как определяется полная ошибка дискретизации? 12. Как определяется ошибка интерполяции? 13. Как определяется усредненная среднеквадратичная ошибка? 14. Зачем в исходном массиве, описывающем непрерывный процесс, вводятся нулевые элементы массива? 15 Что выполняет функция Index Array? 16. Что выполняет функция Array Size? 17. Для чего в разрабатываемом ВП используется функция Quolitent & Remainder (Частное и остаток)? 18. Какие действия выполняет функция Select (Выбрать)? 19. Для чего используется функция Rotate 1D Array (Циклически сместить одномерный массив)? 20. Для чего используется функция Array Max & Min (Максимум и минимум массива)? 21. Как генерируется исходный массив? 22. Как генерируется массив дискретного процесса? 23. Как генерируется массив, восстановленный фиксатором нулевого порядка? 24. Как генерируется массив, восстановленный фиксатором первого порядка? 25. Изобразите блок-схему формирования задержанного исходного массива. 26. Изобразите блок-схему определения СКО ошибки дискретизации.
Программа работы
Составляя блок-схему ВП, старайтесь рационально размещать узлы и связи, чтобы схема легко читалась. Рекомендуемое размещение блоков показано на рис. 4.21.
1.Вызвать пакет LabVIEW. Открыть New VI. 2. Генерирование синусоиды и расчет количества итераций. 2.1. Поместить в окно BD экспресс-ВП Simulate Signal. В появившемся окне конфигурирования установить Signal type – Sine; Frequency (Hz) – 1; Phase – 0; Amplitude – 1; Offset – 0. В области Timing установить Sample per second – 1000; снять установку Automatic; установить Number of samples - 1000. Подтвердить установки – ОК. Экспресс ВП поставлен в режим генерации отрезка синусоиды длительностью в один период. Количество отсчетов в генерируемой последовательности – 1000. 2.2. Поместить в окно FP цифровой элемент управления, задающий k – отношение частоты дискретизации к частоте синусоиды. Назвать его – k. Задать k = 10. Поместить в окно FP графический индикатор Graph. Назвать его – Процессы. 2.3. В окне BD cоставить блок-схему для расчета числа итераций N по формуле (4.2). 3. Генерирование массивов процессов: исходного, дискретного и двух восстановленных. 3.1. Поместить в окно BD структуру For Loop. Задать число итераций равным рассчитанному (п. 2.3) значению N. Поместить внутрь структуры узел Index Array и сгенерировать исходный массив (рис. 4.10). Массив подсоединить к графическому индикатору “Процессы” через объединитель массивов Build Array. 3.2. Сгенерировать массив дискретного процесса по блок-схеме рис. 4.13. Подсоединить массив к осциллографу через объединитель массивов. Просмотреть сформированные массивы. Убедиться в правильности функционирования. 3.3. Сгенерировать массив процесса, восстановленного фиксатором нулевого порядка (рис. 4.14). Подсоединить массив к осциллографу через объединитель массивов. Просмотреть сформированные массивы. Убедиться в правильности функционирования. 3.4. Сгенерировать массив процесса, восстановленного фиксатором первого порядка (рис. 4.15). Подсоединить массив к осциллографу через объединитель массивов. Просмотреть сформированные массивы. Убедиться в правильности функционирования. 4. Формирование массивов усредненных ошибок дискретизации для фиксаторов нулевого и первого порядков. 4.1. В окно BD поместить структуру For Loop. Задать число итераций равным 2 N д, взяв это значение из блок-схемы расчета числа итераций N (п. 2.3). 4.2. Поместить внутрь структуры блок-схему формирования задержанного исходного массива (рис. 4.17). 4.3. Составить блок-схему измерения среднеквадратичной ошибки дискретизации (на основе рис. 4.19) при восстановлении процесса фиксатором нулевого прядка. 4.4. Составить блок-схему измерения среднеквадратичной ошибки (СКО) дискретизации (на основе рис. 4.19) при восстановлении процесса фиксатором первого прядка. 5. Измерение и индикация ошибок дискретизации. 5.1. Поместить в окно FP графический индикатор Graph для просмотра зависимости СКО дискретизации от задержки исходного массива для фиксатора нулевого порядка. Назвать его “СКО фиксатора 0”. Вывести на лицевую панель три цифровых индикатора, разместив их под графическим индикатором и назвав “Полная СКО”, “СКО интерполяции” и “Задержка”. Такие же устройства индикации поместить на лицевую панель для фиксатора первого порядка, используя копирование и вставку. 5.2. Составить блок-схему измерения и индикации ошибок дискретизации для фиксатора нулевого порядка, используя рис. 4.20. 5.3. Составить блок-схему измерения и индикации ошибок дискретизации для фиксатора первого порядка аналогично п. 5.2. 5.4. Запустить моделирование. Объяснить полученные осциллограммы. Убедиться, что задержка, при которой достигается минимальное значение ошибки, равна N д/2 при восстановлении фиксатором нулевого порядкаи N д – при восстановлении фиксатором первого прядка 5.5.Снять зависимости полной СКО и СКО интерполяции от отношения частоты дискретизации к частоте синусоидального процесса, задаваясь следующими значениями k: 5; 10; 20; 50; 100. 5.6. Повторить измерения п. 5.5 для треугольного процесса. Для перевода экспресс-ВП в режим генерации треугольного процесса в окне конфигурирования экспресс-ВП установить Signal type – Triangle. Все остальные установки оставить прежними. Сравнить зависимости, полученные в п.п. 5.5. и 5.6. и объяснить их отличие. 6. Сохранить в своей папке материалы, необходимые для отчета.
Лабораторная работа №5
  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Ступенчатая интерполяция физически не реализуема, так как в середине интервала процесс должен принять значение, которое в этот момент еще не известно, а будет известно позже, в следующий момент дискретизации. Ступенчатая экстраполяция физически реализуема, так как для восстановления процесса требуется знание только предыдущего отсчета. Схему, осуществляющую ступенчатую экстраполяцию называют фиксатором нулевого порядка. Такое преобразование производит ЦАП. Импульсная характеристика фиксатора нулевого порядка показана на рис 4.2. Формирование ступенчатого процесса можно представить как реакцию фильтра с такой импульсной характеристикой на последовательность δ-импульсов, площадь которых равна x (i Δ t).
(Размер массива). Эта функция возвращает число элементов массива. Значение N д (количество отсчетов на интервал дискретизации) определится, исходя из принятого значения отношения частоты дискретизации к частоте синусоидального процесса:
(Индексирование массива), которая возвращает элемент массива с заданным индексом (см. рис. 4.10). Если число i, подаваемое на вход index, больше максимального индекса массива, то по умолчанию возвращается 0, что соответствует требуемой форме массива (рис. 4.8).
, которая используется для определения минимального значения элемента массива (min value) и индекса этого элемента (min indexes), и Index Array для определения полной ошибки при подаче значения 0 на вход index.
