Функция нескольких переменных и её приложения

Самостоятельная работа

1. Найти области определения и значений функции:

1.1. ;	1.4. ;
1.2. ;	1.5. ;
1.3. ;	1.6.

1. Частное и полное приращение функции

Если переменной дать некоторое приращение , а оставить постоянной, то функция получит приращение , называемое частным приращением функции z по переменной х:

.

Аналогично, если переменная получает приращение , а остается постоянной, то частное приращение функции по переменной :

.

Полным приращением функции называется разность

.

1. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность

Определение 2. Число А называется пределом функции при стремлении точки () к точке , если для каждого числа найдется такое число , что для всех точек (), для которых выполняется неравенство , имеет место неравенство

.

Если число А является пределом функции при () , то пишут

.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Убедившись, что функция не определена в предельной точке, делаем преобразования:

, так как .

Определение 3. Функция называется непрерывной, в точке , если .

Для непрерывности функции и точке необходимо выполнение следующих условий:

1). должна быть определена в точке и вблизи этой точки;

2). должна иметь предел, когда точка произвольным способом;

3). этот предел должен быть равен .

Функция , непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области.

Например, функция непрерывна в любой точке плоскости, за исключением точки (0,0), в которой функция терпит разрыв.

Функция двух переменных может иметь множество точек разрыва; если они составляют линию, то она называется линией разрыва.

Например, функция разрывна в каждой точке окружности .

Самостоятельная работа

1. Найти пределы:

1.1. , 1.2.

2. Указать точки или линии разрыва

2.1. , 2.2. .

1. Частные производные функции нескольких переменных

Функцию можно дифференцировать по каждому из ее аргументов, считая при этом все остальные аргументы постоянными.

Определение 4. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Частная производная по от функции обозначается одним из символов

.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функций любого числа независимых переменных.

Частные производные функции нескольких переменных находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной.

Пример 5. Найти частные производные функции .

Решение. Находим: ,

.

Пример 6. Найти частные производные функции .

Решение. Находим: ,

,

.

Самостоятельная работа

1. Найти частные производные функций:

1.1. ;	1.4. ;
1.2. ;	1.5. ;
1.3. ;	1.6. .

1. Дифференциалы функции многих переменных

Определение 5. Частным дифференциалом функции по называется главная часть соответствующего частного приращения , линейная относительно приращения (или, что то же ).

Аналогично определяются частные дифференциалы функции по каждому из остальных ее аргументов. Частные дифференциалы функции по , по ,…, по обозначаются, соответственно .

Из определения частной производной следует, что

; ; …; .

Определение 6.. Полным дифференциалом функции называется главная часть ее полного приращения

,

линейная относительно приращения ,…, (или, что то же, дифференциалов , ,…, ).

Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов

.

Функция называется дифференцируемой в точке (), если в этой точке она имеет полный дифференциал.

При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов полное приращение функции с как угодно малой относительной погрешностью можно заменить ее полным дифференциалом

Вычисление полного дифференциала функции значительно проще, чем вычисленное ее полного приращения. Поэтому указанное приближенное равенство используется для приближенных вычислений.

Пример 7. Найти полный дифференциал функции

Решение. Находим частные производные данной функции:

; .

Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:

; .

Полный дифференциал функции находится как сумма ее частных дифференциалов:

.

Пример 8. Вычислить значение полного дифференциала функции при =1,01, =2,95.

Решение. Примем =1, =3, = 0,01, = -0,05.

Находим частные производные, затем частные дифференциалы и полный дифференциал:

; ; .

Подставляя заданные значения независимых переменных, получим:

Самостоятельная работа

1. Найти полные дифференциалы функций:

1.1.	1.3.
1.2.

2. Вычислить значение полного дифференциала функции:

при = , =1 .

Самостоятельная работа

1. Найти производные сложных функций:

1.1. ?

1.2. найти 1) 2) если

1.3. ? ?

1.4.

1.5. если .

Самостоятельная работа

1. Найти производные неявных функций:

1.1. ;	1.4. ;
1.2. ;	1.5.
1.3. ;	1.6. .

Самостоятельная работа

1. Найти частные производные второго порядка следующих функций:

1.1. z= ; 1.2.

2. Найти , если u = ln (х + у).

3. Найти u^’’’xyy, если u = sin (ху).

4. Найти , если 2^xyz.

5. Проверить, что для функции:

1) z = ln ;. 2) .

6. Проверить, что функция удовлетворяет уравнению

=0

7. Проверить, что функция u= e^{x / y} удовлетворяет уравнению:

=0

Самостоятельная работа

1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности:

1.1. в точке (1;-1;1).	1.2. в точке (3;1;4).
1.3. в точке (0,2,-2).	1.4. в точке (3,1,4).

Самостоятельная работа

Исследовать на экстремум функции.

1. 2.

3. 4.

Вариант 1

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ;

б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а)

б)

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при .

8. Найти градиент функции в точке А(1;2;2) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке А(2;1) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

а) ;

б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

;	при x=8,09, y=1,03.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

13. Исследовать на экстремум функцию .

Вариант 2

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ;

б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ;

б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при -1.

8. Найти градиент функции в точке А(2;1;1) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке А(1;1) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

а) ;

б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

;	при x=46 , y=47 .

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

13. Исследовать на экстремум функцию .

Вариант 3

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ;

б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ;

б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и .

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при 2.

8. Найти градиент функции в точке А(1;5;-2) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке А(2;1) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

а) ;

б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

;	при x=-0,96, y=4,02.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

13. Исследовать на экстремум функцию z= .

Вариант 4

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ;

б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ;

б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

;

=?

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при .

8. Найти градиент функции в точке А(0;1;1) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке A(1;1) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

а) ;

б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

;	при x=1,98, y=-2,03.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

13. Исследовать на экстремум функцию z= .

Вариант 5

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ;

б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ;

б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при .

8. Найти градиент функции в точке А(-2;1;-1) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке А(2;1) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

а) ;

б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

;	при x=5,02, y=-4,97.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

13. Исследовать на экстремум функцию z= .

Вариант 6

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ;

б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ;

б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при 1.

8. Найти градиент функции в точке А(1;3;2) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке А(0;0) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

а) ;

б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

;	при x=-3,97, y=2,04.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

13. Исследовать на экстремум функцию z= .

Вариант 7

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ;

б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ;

б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при 1.

8. Найти градиент функции в точке А()и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке А(1;3) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

а) ;

б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

;	при x=-1,98, y=9,03.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

13. Исследовать на экстремум функцию z= .

Вариант 8

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ;

б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ;

б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при 0.

8. Найти градиент функции в точке А A (1;1;2) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке А(2;2) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

а) ;

б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

;	при x=0,98, y=1,05.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

13. Исследовать на экстремум функцию z= .

Вариант 9

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ;

б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ;

б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; ((__lxGc__=window.__lxGc__||{'s':{},'b':0})['s']['_228467']=__lxGc__['s']['_228467']||{'b':{}})['b']['_699615']={'i':__lxGc__.b++};

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: