|
|
Теорема1. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в одне й те саме число разів, то середня арифметична теж збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів.Доведення. Нехай
Теорема2. Якщо всі варіанти збільшити або зменшити на одне й те саме число, то середня арифметична збільшиться або зменшиться на те ж саме число. Доведення. Нехай
оскільки Теорема3. Сума добутків відхилень варіант від їх середньої арифметичної Доведення. Із теореми 2, маємо
2. 4. 2. Спрощений спосіб обчислення середньої арифметичної
Для скорочення обсягу обчислень при знаходженні середнього арифметичного вводять, так звані, допоміжні варіанти. При вдалому виборі допоміжних варіант обчислення можна звести до невеликих цілих чисел. Пояснимо на прикладах. Приклад 1. Знайти середнє арифметичне чисел
Розв’язання. І-ий спосіб. За означенням
ІІ-ий спосіб. Оскільки
Приклад 2. Знайти середнє арифметичне статичного ряду
Розв’язання. Тут варіанти рівновідділені з кроком Позначимо через
Тоді:
Запишемо статистичний ряд для
Знаходимо середнє арифметичне
Оскільки із виразу
то Можна перевірити, що
Перейдемо до загального викладу спрощеного способу. Для статистичного ряду
де
знайти середнє арифметичне значення варіант. Введемо допоміжні варіанти
де Складемо статистичний ряд для допоміжних варіант
і знайдемо середнє арифметичне допоміжних варіант
Тоді має місце.
Теорема. Середнє арифметичне значення основних рівновіддалених з кроком
Доведення. Із заміни (формула (1)) знаходимо
і підставляємо у формулу середнього арифметичного.
Отже, формула (3) доведена.
Приклад 3. Знайти середнє арифметичне за даними таблиці 3 (див. § 2.1, табл. 3), використовуючи спрощений спосіб,
Розв’язання. Найбільшою частотою у таблиці є
Вводимо допоміжні варіанти
Запишемо новий статистичний ряд
Знаходимо
Тоді за формулою (3)
Отже, підтвердилось значення, знайдене раніше у прикладі 3 §2. 4. 1.
2.4.3. Середнє лінійне відхилення
У таблиці 1 (див. § 2.4.1, приклад 1) вже приводились результати здачі іспита у двох групах по 20 студентів в кожній.
Таблиця 1
За даними таблиці було установлено, що середні бали у цих групах однакові ( Для характеристики розсіювання використовуються середнє лінійне відхилення, а також дисперсія. Означення. Середнім лінійним відхиленням називається середнє арифметичне абсолютних величин відхилень варіант від їх середньої арифметичної
Приклад. За даними таблиці 1 знайти середні лінійні відхилення. Розв’язання. Оскільки середні арифметичні вже відомі
Отже, Дисперсія. Середнє квадратичне відхилення   ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
- варіанти, а 
- відповідні їхні частоти, тоді за формулою (2) середня арифметична
з тими ж частотами, тоді середня арифметична їх
.
на відповідні їм частоти 
дорівнює нулю.
; 
; 
.
;
; 
; 
, то середнє арифментичне сталої 
, повтореної тричі, є ця ж величина, тому залишається знайти середнє арифметичне для чисел 
, 
, 
і додати до сталої 
результат: 
.
.
, бо її частота 
. Введемо допоміжну варіанту за формулою
.
;
з тими ж частотами 
, які відповідають 
:
маємо
.
- рівновіддалені варіанти з кроком 
,
або 
,
, (1)
, якій відповідає найбільша із частот 
. (2)
. (3)
.
.
=175, позначимо її через 
.
,
.
.
), тому для більш детального вивчення статистичних рядів необхідно враховувати розсіювання варіант відносно середнього арифметичного.
. (1)
, 
; 
, і це означає, що значення варіант (оцінок) у другій групі більш розсіяні ніж у першій.