Означення 1. Дисперсією або розсіюванням статистичного ряду називається середнє арифметичне квадратів відхилень варіант від їх середньої, тобто

(1)

Приклад 1. В умовах прикладу 1 (див.2.4.1) знайти дисперсії для кожної із груп.

Роз’язання. Оскільки у прикладі 1 (див. 2.4.1) відомі середні арифметичні для кожної із груп і то тепер за формулою (1) обчислюємо дисперсії:

Отже, порівнюючи дисперсії і можна стверджувати, що розсіювання варіант відносно середньої у ІІ-ій групі більше, ніж у І-ій. Це видно із таблиць в умові прикладу 1 (див. у 2.4.1).

Означення 2. Арифметичне значення кореня квадратного із дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням, тобто

(2)

Слід вімітити, що тоді, коли розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності варіант , то розмірність середнього арифметичного якраз збігається з розмірністю варіант.

Приклад 2. За значенням дисперсій, знайдених у прикладі1, обчислити середні квадратичні відхилення.

Роз’язання. Згідно формули (2) маємо

; .

Порівнюючи ці значення з відповідними середніми лінійними відхиленнями (див. 2.4.3, приклад 4) і , ми бачимо, що і , і майже однакові за своїм порядком. У загальному випадку можна довести, що

,

тобто середнє лінійне відхилення не перевищує середнього квадратичного. У теорії ймовірностей і математичній статистиці перевагу над середніми лінійними віддають дисперсії. Це, зокрема, пов’язано з тим, що перетворювати суми, які містять квадрати величин, простіше ніж суми, які містять модулі цих величин. Перевага ця стане зрозумілою, коли ми з метою спрощення обчислень дисперсії перейдемо від основних варіант до допоміжних, а також при вивченні властивостей дисперсій.

Властивості дисперсії

Теорема 1. Якщо всі варіанти збільшити або зменшити у h разів, то дисперсія збільшиться або зменшиться у h² разів.

Доведення. Враховуючи відповідну властивість для середньої арифметичної (див. в 2.4.1), маємо

Теорема 2. Збільшення або зменшення варіант на одну й ту ж сталу величину не змінює дисперсію,

Теорема 3. При збільшенні або зменшенні частот в одне й те ж число разів дисперсія не зміниться

Позначимо середнє арифметичне квадратів варіант через ,

(1)

Теорема 4. Дисперсія дорівнює середній арифметичній квадратів варіант без квадрата середньої арифметичної, тобто

(2)

Дійсно, перетворюючи вираз для дисперсії, отримаємо

Отже, рівність (2) доведена.

Із рівності (2) знаходимо

(3)

- формулу для обчислення середнього квадратичного відхилення.

Спрощений спосіб обчислення дисперсії

У параграфі 2.4.2 було розглянуто, як за допомогою допоміжних варіант ,

де , , (1)

(h – відстань між варіантами або крок вибірки, С – значення тієї варіанти, якій відповідає найбільша частота) знаходиться середнє арифметичне

. (2)

Позначимо через D_x – дисперсію основних варіант, і через D_u – дисперсію допоміжних варіант, а середні квадратичні відхилення відповідно позначимо і

Теорема.Дисперсія основних варіант дорівнює добутку дисперсії допоміжних варіант на квадрат кроку цієї вибірки,

(3)

А середнє квадратичне відхилення основних варіант дорівнює добутку середнього квадратичного відхилення допоміжних варіант на крок вибірки,

(4)

де (5)

Доведення. Оскільки із формул (1) і (2) , а , то квадрат різниці

.

Тому

.

Формула (3) доведена, а добувши арифметичний корінь квадратний у рівності (3), отримаємо (4).

Приклад. Користуючись допоміжними варіантами обчислити дисперсію та середнє квадратичне відхилення за даними статистичного ряду, даного у прикладі 3 (див. 2.4.2.).

Роз’язання. Перепишемо заново таблицю 2 із заданого прикладу, добавивши ще два стовпці і . Отримаємо розширену таблицю

№ з/п
1.	-1		-4
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Суми

За формулою (5) даного параграфа знайдемо дисперсію допоміжної варіанти за даними таблиці. Спочатку обчислимо

; ,

.

.

Медіана статистичного ряду

Означення. Медіаною називається варіанта, яка находиться посередині варіаційного ряду.

Тобто медіаною є та варіанта, яка ділить варіаційний ряд на дві рівні за обсягом сукупності. До медіани і після неї однакова кількість членів варіаційного ряду. При знаходженні медіани дискретного ряду слід розрізняти два випадки:

1) обсяг сукупності непарний;

2) обсяг сукупності парний.

Нехай обсяг сукупності непарний і дорівнює тобто

.

У цьому ряду кожна варіанта повторена стільки разів, скільки вона зустрічається в обсязі, тому серед них можуть бути і однакові. Медіаною цього розподілу є варіанта з номером , оскільки вона знаходиться посередині ряду, до і після неї знаходиться по варіант, тобто

. (1)

Якщо обсяг сукупності парний, дорівнює , то немає варіанти, яка б ділила варіаційний ряд на дві рівні частини,. тому за медіану умовно приймають близькі до середини. Ними будуть варіанти з номером і номером , тобто

. (2)

Приклад. Знайти медіану варіаційного ряду, заданого таблицею 2 параграфа 2. 1.

Розв’язання. За даними таблиці 2 кількість варіант , тому , а . Під номером знаходяться значення , воно розміщене у ІІІ-му стовпці табл. 2, і за ним зразу ж наступне , тому

.

Відмітимо, що середня арифметична змінюється із зміною всякої варіанти, і вона особливо чутлива до зміни крайніх варіант. На значенні медіани зовсім не відбиваються зміни значень крайніх варіант, якщо тільки при цих змінах варіанти продовжують залишатись по тіж самі сторони відносно медіани.

Ця властивість медіани робить її більш вірною характеристикою варіаційного ряду в тих випадках, коли кінці розподілу за певних причин неточні або ненадійні.

Мода

Означення. Модою називається варіанта, яка найбільш часто зустрічається.

Для дискретного розподілу знаходження моди не вимагає якихось обчислень: нею є варіанта, якій відповідає найбільша частота.

Зауважимо, що при спрощеному обчисленні середнього арифметичного та дисперсії за допомогою умовних варіант, ми за сталу вибирали якраз моду.

Приклад. Дано розподіл оцінок студентів при перевірці знань з даного розділу

Знайти моду, середній бал. Визначити чи достатньо засвоєний матеріал.

Розв’язання. Найбільшою серед частот є їй відповідає - мода,

.

Знайдемо середний бал

.

Хоча середний бал відповідає задовільній оцінці, однак оскільки мода , то це означає що 13 студентів (половина групи) матеріал не засвоїла, а про всю групу можна сказати, що матеріал засвоєний недостатньо.

Біля моди групуються і інші варіанти з великими частотами, тому вона виявляє те значення ознаки, біля якого групується більша частина обсягу вибірки.

Коефіцієнт варіації

Щоб охарактеризувати, наскільки добре представляє середня арифметична статистичний ряд, використовують коефіцієнт варіації, який дорівнює вираженому у процентах відношенню середнього квадратичного відхилення і середнього арифметичного:

(1)

Якщо статистичні ряди мають однакові середні арифметичні, то середнє арифметичне з меншим коефіцієнтом варіації є більш представлюваним.

Наприклад, у §2.4.3. (приклади 1 та 2) ми розглядали результати здачі єкзамена у двох групах. Там знайшли середні квадратичні відхилення

і

при середніх арифметичних

.

Тепер їхні коефіцієнти варіації запищуться:

,

Якщо полігон статистичного ряду не має значних скошень у ліву чи праву сторону, і досліджувана ознака може приймати тільки додатні значення, то . Якщо коефіцієнт варіації , то, як правило, можна зробити висновок, що спостереження неоднорідні.

Моменти статистичного ряду

Означення. Початковим моментом статистичного ряду порядку називається середня арифметична -тих степенів варіант, тобто

. (1)

При отримаємо початковий момент нульового порядку:

.

Якщо , то отримаємо початковий момент першого порядку:

-це є середнє арифметичне.

Означення. Центральним моментом статистичного ряду -того порядку називаються середнє арифметичне - тих степенів відхилень варіант від їх середньої

. (2)

Якщо , то отримаємо центральний момент нульового порядку.

.

При маємо центральний момент першого порядку

,

бо за теоремою 3 про властивості середнього арифметичного

.

Центральний момент другого порядку запишеться у вигляді:

це дисперсія статистичного ряду.

Асиметрія і ексцес

Означення. Коефіцієнтом асиметрії називається відношення центрального моменту третього порядку до кубу середнього квадратичного відхилення:

. (1)

Якщо у варіаційному ряді переважають варіанти більші ніж , то коефіцієнт асиметрії додатній, і має місце правостороння асиметрія, див. рис. 1. 2.

а) б)

Рис. 1

Означення. Ексцесом або коефіцієнтом крутості називається зменшене на 3 одиниці відношення центрального моменту четвертого порядку до четвертого степеня середнього квадратичного відхилення:

. (2)

За стандартне значення ексцесу приймають . Криві, у яких , у порівнянні із нормальною кривою менш круті і називаються плоско вершинними (див. рис. 2.б).

Криві, у яких , більш круті, мають більш гостру вершину і називаються гостровершинними (див. рис. 2.а)

а) б)

Рис 2.

Задачі до глави II

1. Протягом 5 днів температура повітря складала 3 , 5 , 4 , 1 , 2 . Знайти середню температуру повітря.

2. Відомі оцінки учнів в сумі балів за 3 іспити 10, 10, 11, 9, 15, 12, 9, 12, 13, 9, 8, 11, 14, 13, 12, 9. Побудувати полігон, гістограму, кумуляту, огіву. Знайти , , , .

3. Дано розподіл оцінок студентів

Визначити, чи достатньо засвоєний матеріал?

У задачах 4, 5 скласти емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.

4.

5.

6. Для ряду, який задано на інтервалах, знайти .

Інтервали	36-38	38-40	40-42	42-44	44-46	46-48	48-50	50-52	52-54	54-56	56-58

7. Знайти .

	2,6	3,0	3,4	3,8	4,2

8. Знайти . Побудувати гістограму відносних частот і функцію - відносних накопичених частот.

Відповіді. 1. . 2. , , , . 3. Ні, оскільки , але (найбільш часто зустрічається оцінка “2”). 6. ; ; ; ; . 7. ; . 8. .

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: