|
Теорема. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей появи кожної з них, тобтоСтр 1 из 2Следующая ⇒ Теорема. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей появи кожної з них, тобто
Доведення виконаємо за допомогою класичного означення ймовірності. Нехай
Зауваження. Коли безпосередній підрахунок ймовірностей неможливий, то виходять із того, що при великому числі випробувань відносні частоти стають близькими до ймовірності, а для відносних частот доведення виконується аналогічно викладеному вище. При теоретико-множинному підході формула (1) приймається, як одна з аксіом.
Приклад 1. В ящику 15 однотипних деталей, 5 із них пофарбовані в синій колір, 7 – в зелений, і 3 деталі непофарбовані. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь пофарбована. Розв’язання. Розглянемо можливі події. Подія
тоді
Рівність (1) узагальнюється і для
Наслідок. Якщо випадкові події
Дійсно, оскільки події
а далі за формулою (2). Означення. Дві події називається протилежними, якщо вони несумісні і утворюють повну групу, позначаються Із формули (3) випливає, що сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто
Із (4) маємо: ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність початкової події
Прийнято позначати
Зауважимо, що при розв’язуванні задач часто буває легше обчислити ймовірність протилежної події Приклад 2. робиться один вистріл по круговій мішені, яка складається з “яблука” і двох концентричних кілець. Ймовірності влучення при одному вистрілі в “яблуко” і кільця відповідно дорівнюють: 0,11; 0,24; 0,35. Знайти ймовірність промаху. Розв’язання. Нехай подія
Тоді ймовірність промаху
Задачі на теорему додавання ймовірностей несумісних подій 1. У грошово-речовій лотереї на кожні 10000 білетів розігрується 150 речових і 50 грошових виграшів. Знайти ймовірність виграшу (байдуже речового чи грошового) для власника одного лотерейного білета. 2. Ймовірність того, що стрілець при одному вистрілі виб’є 10 очок, дорівнює 0,1; ймовірність вибити 9 очок дорівнює 0,3; ймовірність вибити 8 або менше очок дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що при одному вистрілі стрілець виб’є не менше 9 очок. 3. Учасники жеребкування виймають із скриньки жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер першого, навмання взятого жетона, не містить цифри 5. 4. За статистичними даними ремонтної майстерні у середньому на 20 зупинок токарного станка приходиться: 10 – для заміни різця, 3 – із-за несправностей приводу, 2 – із-за несвоєчасної подачі заготовок. Решта зупинок припадають на інші причини. Знайти ймовірність зупинки станка за іншими причинами.
Відповіді.1. 0,02. 2. 0,4. 3. 0,81. 4. 0,25. Теорема множення ймовірностей незалежних подій Означення 1. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, з’явилась чи не з’явилась подія В. Наприклад, монета підкинута два рази. Ймовірність появи герба при другому киданні (подія А) не залежить від того з’являвся чи не з’являвся герб при першому киданні. Означення 3. Добутком декількох подій називається подія, яка означає одночасну появу всіх цих подій. Умовна ймовірність
Нехай Означення. Умовною ймовірністю Приклад 1. В урні три білих і чотири чорних кульки. Із урни двічі виймають по одній кульці, не повертаючи їх в урну. 1) Знайти ймовірність білої кульки (подія 2) Знайти ймовірність чорної кульки (подія Розв’язання. 1) За умовою задачі із урни спочатку виймається чорна кулька (відбулася подія
2) Із 7 кульок (3 білих і 4 чорних) із урни спочатку вибирається біла кулька (відбулася подія
Формула повної ймовірності
Нехай подія Теорема. Ймовірність події
Формула (1) називається формулою повної ймовірності.
Доведення. Ймовірність події
Тоді за теоремою додавання несумісних подій маємо:
а за теоремою множення ймовірностей залежних подій
Враховуючи (2) і останні співвідношення отримаємо формулу (1). Події Приклад 1. На склад надходять однотипні деталі з трьох автоматів, причому перший автомат дає 20%, другий – 30%, третій – 50% всієї продукції за зміну. Серед продукції першого автомата може бути 0,2% браку, другого – 0,3%, третього – 0,1%. Знайти ймовірність, що навмання взята деталь буде бракованою. Розв’язання. Позначимо через
Подію “бракована деталь” позначимо через За формулою (1) повної ймовірності маємо:
Приклад 2. Один цар, якому надоїв його провісник із своїми не завжди правдивими віщуваннями, вирішив його казнити, але будучи справедливим, вирішив дати провіснику останній шанс. Йому велено було розкласти по двох урнах чотири кульки, із яких дві чорні і дві білі. Кат вибирає наугад одну із урн і з неї навмання виймає кульку, якщо кулька чорна – стратять, біла – помилують. Яким чином провісник росподілив кульки в урнах, щоб забезбечити собі максимальну ймовірність на спасіння. Розв’язання зрозуміло зі схеми
Вважається, що вибір кожної з урн – рівноможливий: Нехай подія Отже, максимальний шанс на спасіння для просвісника -
Задачі на повну ймовірність 1. У групі 20 плавців, 6 велосипедистів і 4 легкоатлети. Ймовірність виконати кваліфікаційну норму така: для плавця 0,9, для велосипедиста – 0,8 і для легкоатлета – 0,75. Знайти ймовірність, що спортсмен, вибраний наугад, виконає кваліфікаційну норму. 2. Складальник отримує 3 коробки деталей виготовлених заводом №1, і 2 коробки деталей, виготовлених заводом №2. Ймовірність того, що деталь виготовлена заводом №1, стандартна дорівнює 0,8, а заводом №2 – 0,9. Складальник наугад дістає деталь із наугад взятої коробки. Знайти ймовірність того, що деталь – стандартна. 3. У телевізійному ателье є 4 кінескопи. Ймовірності того, що кінескоп витримає гарантійний термін служби, відповідно дорівнюють: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Знайти ймовірність того, що взятий наугад кінескоп витримає гарантійний термін служби. 4. В ящик, який містить 3 однакові деталі, кинута стандартна деталь, а тоді наугад вийнята одна деталь. Знайти ймовірність того, що вийнята деталь стандартна, якщо рівноможливі всі можливі припущення про число стандартних деталей, які знаходяться в ящику напочатку. Відповіді: 1.
Формула Бейєса
Нехай подія
звідки
де
Рівність (1) називається формулою перерахунку ймовірностей гіпотез або просто формулою Бейєса. Формула Бейєса показує, яку відносну частину складає ймовірність окремо взятого доданка у загальній сумі всіх Приклад 1. На склад поступають однотипні деталі із трьох автоматів, причому, за зміну 50% виробляє перший автомат, 30% - другий, і 20% - третій. Ймовірність виготовлення бракованої деталі на першому автоматі 0,1%, на другому – 0,2%, на третьому – 0,05%. Взята навмання деталь виявилась бракованою. Знайти ймовірність, що бракована деталь виготоовлена 1) на першому автоматі; 2) на другому автоматі; 3) на третьому автоматі. Розв’язання. Нехай подія
Тепер за формулою Бейєса знаходимо ймовірність того, що бракована деталь виготовлена першим автоматом другим автоматом третім автоматом Порівнюючи ймовірності отриманих гіпотез, ми бачимо, що більшої уваги щодо покращення загальної якості продукції вимагає другий автомат.
Приклад 2. На полюванні двоє мисливців, зробивши по одному пострілу, одним влученням застрелили ведмедя. Ймовірність влучення для першого мисливця дорівнює 0,8, для другого – 0,7. За шкуру ведмедя була виручена сума 570 умовних одиниць. У яких розмірах мисливці повинні розділити виручену суму? Розв’язання. Нехай подія Подію
Тоді ймовірність події
Знайдемо ще ймовірності гіпотез
Тепер виручену суму 570 умовних одиниць потрібно розділити пропорціонально числам Задачі на формулу Бейєса 1. При відхиленні від нормального режиму роботи автомата спрацьовує сигналізатор 2. Для участі у спортивних студентських відбіркових змаганнях виділено з І групи курсу – 4, з ІІ-ої – 6, із ІІІ-ої – 5студентів. Ймовірність того, що студент І-ої, ІІ-ої, ІІІ-ої групи попаде у збірну університету, відповідно дорівнює 0,9; 0,7 і 0,8. Наугад вибраний студент попав у збірну. Знайти ймовірності що це студент: а) з І-ї групи; б) з ІІ-ї групи; в) з ІІІ-ї групи. Відповіді. 1. а)
Задачі до глави ІІІ 1. За допомогою 6 карточок складено слово “карета”. Карточки перемішали. Знайти ймовірність того, що за допомогою цих карточок випадково можна скласти слово “ракета”. 2. В урні міститься 6 чорних і 5 білих куль. Навмання виймаються 5 куль. Знайти ймовірність того. Що серед них будуть: а) 3 білих кулі; б) менше ніж 3 білих куль; в) хоча б одна біла куля. 3. Два стрільці, для яких ймовірності влучення у мішень відповідно 0,7 і 0,8, роблять по одному пострілу. Знайти ймовірність одного влучення в мішень. 4. Із повного набору карт доміно навмання вибирають 2 карти. Знайти ймовірність того, що другу карту можна приєднати до першої. 5. У ящику знаходяться 15 тенісних м’ячів, з яких 9 нових. Для першої гри навмання беруть 3 м’ячі, які після гри знову повертаються у ящик. Для другої гри теж буруть 3 м’ячі. Знайти ймовірність того, що всі м’ячі, взяті для другої гри, нові. 6. Є дві партії виробів по 12 і 10 штук, причому в кожній один виріб – бракований. Виріб взятий із І партії і перекладений у другу, після чого вибирається виріб із другої партії. Визначити ймовірність вибору бракованого виробу із другої партії. 7. В групі, де навчається 20 дівчат і 10 юнаків, була проведена контрольна робота. За заявами студентів до контрольної не підготувались 4 дівчини і 3 юнаки. Випадково взята зашифрована робота виявилась невиконаною. Знайти ймовірність того, що це була робота юнака. 8. На склад може поступити протягом години замовлення від кожного з 4-х цехів із ймовірностями: 0,4; 0,6; 0,7 і 0,8 відповідно. Знайти ймовірность того, що із трьох можливих замовлень, які можуть поступити протягом години, буде відсутнє замовлення із 4-го цеху (з причини складності його виконання). 9. Для здачі екзамена студентам необхідно підготувати 30 питань. Із 25 студентів 10 підготовили всі питання, 8 – 25 питань, 5 – 20 питань, 2 – по 15. Визваний відповідає на поставлене питання. Знайти ймовірність того, що цей студент а) підготовив всі питання б) підготовив тільки половину питань. 10. Допускається, що серед 100 мікросхем може бути з однаковою ймовірністю 0, 1, 2, 3 бракованих мікросхем. Серед 10 взятих наугад мікросхем всі виявилися доброякісними. Яка ймовірність, що всі 100 мікросхем виявилися доброякісними. 11. В області 30 комерційних банків із них 12 знаходяться в обласному центрі. Міністерством фінансів для перевірки ліквідності (здатності своєчасно виконувати свої боргові забов’язання) випадково відібрані 6 ощадбанків області. Знайти ймовірність того, що серед відібранних банків виявляться: а) 4 банки із обласного центру; б) хоча б один банк із центру? 12. На митницю поступило 10 упаковок, і можливо дві із них з контрабандним товаром. Яку мінімальну кількість упаковок потрібно розкрити, щоб із ймовірністю не менше 90% виявити контрабанду? 13. В автомагазині 20 автомобілів, причому 15 із них імпортні. Знайти ймовірність того, що серед 8 проданих протягом тижня автомобілів не менше 3 виявляться вітчизняними, припускаючи, що ймовірність реалізації різних марок однакова. 14. На підприємстві працюють 6 економістів, із яких 3 — вищої кваліфікації, і 4 бухгалтери, один із яких головний. На курси підвищення кваліфікації потрібно відрядити двох економістів і двох бухгалтерів. Яка ймовірність того, що в цій групі не буде головного бухгалтера і економістів вищої кваліфікації, якшо кожний із спеціалістів має рівні можливості поїхати у відрядження?
15. Дослідження показали, що курс валюти А зростає в 75% випадків, якщо курс валюти В зростає; в 30% випадків, якщо курс В снижується, і 45% випадків, якщо курс В не змінюється. Припускаючи, що всі три гіпотези про зміну курсу валюти В рівноможливі, оцінити ймовірності цих гіпотез, якщо курс А підвищився. 16. Ймовірність отримання прибутку на ринку цінних паперів в середньому на одну акцію складає 0,4. Скільки потрібно придбати акцій різних фірм, щоб із ймовірністю, не менше 95% очікувати прибутку хоча б по одній із них? 17. В торгову фірму поступили комп’ютери від трьох постачальників у відношенні 2:3:5. Дослідження показали, що комп’ютери, які не потребують ремонту протягом гарантійного терміну відповідно в 98, 95 і 92% випадків. Знайти ймовірність того, що комп’ютер, який поступив в торгову фірму, може потребувати ремонту протягом гарантійного терміну. Відповіді. 1.
Теорема. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей появи кожної з них, тобто
Доведення виконаємо за допомогою класичного означення ймовірності. Нехай
Зауваження. Коли безпосередній підрахунок ймовірностей неможливий, то виходять із того, що при великому числі випробувань відносні частоти стають близькими до ймовірності, а для відносних частот доведення виконується аналогічно викладеному вище. При теоретико-множинному підході формула (1) приймається, як одна з аксіом.
Приклад 1. В ящику 15 однотипних деталей, 5 із них пофарбовані в синій колір, 7 – в зелений, і 3 деталі непофарбовані. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь пофарбована. Розв’язання. Розглянемо можливі події. Подія
тоді
Рівність (1) узагальнюється і для
Наслідок. Якщо випадкові події
Дійсно, оскільки події
а далі за формулою (2). Означення. Дві події називається протилежними, якщо вони несумісні і утворюють повну групу, позначаються Із формули (3) випливає, що сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто
Із (4) маємо: ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність початкової події
Прийнято позначати
Зауважимо, що при розв’язуванні задач часто буває легше обчислити ймовірність протилежної події Приклад 2. робиться один вистріл по круговій мішені, яка складається з “яблука” і двох концентричних кілець. Ймовірності влучення при одному вистрілі в “яблуко” і кільця відповідно дорівнюють: 0,11; 0,24; 0,35. Знайти ймовірність промаху. Розв’язання. Нехай подія
Тоді ймовірність промаху
Задачі на теорему додавання ймовірностей несумісних подій 1. У грошово-речовій лотереї на кожні 10000 білетів розігрується 150 речових і 50 грошових виграшів. Знайти ймовірність виграшу (байдуже речового чи грошового) для власника одного лотерейного білета. 2. Ймовірність того, що стрілець при одному вистрілі виб’є 10 очок, дорівнює 0,1; ймовірність вибити 9 очок дорівнює 0,3; ймовірність вибити 8 або менше очок дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що при одному вистрілі стрілець виб’є не менше 9 очок. 3. Учасники жеребкування виймають із скриньки жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер першого, навмання взятого жетона, не містить цифри 5. 4. За статистичними даними ремонтної майстерні у середньому на 20 зупинок токарного станка приходиться: 10 – для заміни різця, 3 – із-за несправностей приводу, 2 – із-за несвоєчасної подачі заготовок. Решта зупинок припадають на інші причини. Знайти ймовірність зупинки станка за іншими причинами.
Відповіді.1. 0,02. 2. 0,4. 3. 0,81. 4. 0,25. ![]() ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|