Эмпирические математические модели

Переход к эмпирическим моделям предполагает заведомый отказ от аналитических методов исследования. Поэтому эмпирические модели более разнообразны и включают в себя различные по форме математические зависимости.

При разработке эмпирической математической модели предполагается использование экспериментальных данных, полученных при испытаниях объектов. Результаты таких испытаний всегда представляют собой наборы величин, характеризующих работу объекта или системы при различных сочетаниях управляющих параметров.

Наиболее эффективным средством представления результатов экспериментов в системах математического моделирования являются эмпирические модели.

При построении эмпирической модели обычно предполагается, что физическая теория работы объекта отсутствует или по тем или иным причинам не может быть использована.

Объект идентификации представляет собой так называемый «черный ящик» с некоторым числом регулируемых (или, по крайней мере, измеряемых) входов х и одним или несколькими наблюдаемыми (измеряемыми) выходами (Рис. 3.1).

Здесь x_i – управляющие переменные; w _i – неопределенности (шумы); q_i – ограничения; W – характеристическая функция.

Задачей идентификации является построение модели объекта по результатам наблюдений его реакции на возмущения внешней среды.

При этом необходимо учитывать ошибки, возникающие при измерении характеристик объекта.

Требуется построить зависимость (модель)

W = f (x),

которая описывает характеристики изучаемой системы.

Это уравнение называется уравнением регрессии и описывает поверхность (гиперповерхность) отклика, характеризующую эмпирическую модель.

Обычно предполагается, что имеющиеся экспериментальные данные дают достаточно информации для воссоздания математического описания объекта.

На рис. 3.2 показано решение задачи идентификации для некоторого набора данных, полученное с помощью линейной регрессионной зависимости: W = a + bx.

1) Форма математической модели известна заранее, а задача идентификации сводится к определению коэффициентов этой модели. Так, описание ряда затухающих или развивающихся процессов дается зависимостями экспоненциального типа (Рис. 3.3). Задача исследования является определение коэффициентов a, b.

2) Форма математической модели заранее неизвестна. В этом случае для идентификации модели используются отрезки бесконечных рядов, а задача заключается в определение числа членов ряда и коэффициентов при этих членах. Модель может быть представлена в виде

,

где f_q (x_i) – некоторые заданные функции; b _qi – коэффициенты регрессии; q = 0, 1,…, l.

В одномерном случае (k = 1) уравнение принимает вид

.

Конкретный вид модели зависит от выбора функций f_q (x), по которым производится разложение W. Например, при описании колебательных процессов удобно использовать ряд Фурье (Рис. 3.4).

Часто в качестве функций f ₀(x), f ₁(x), f ₂(x),…, f_l (x) выступают степенные функции
х ⁰, х ¹, х ²,…, х^l. Если ограничиться первыми членами разложения, то уравнения сведутся к линейным, квадратичным и другим полиномиальным моделям. Однако пока остается не ясным, сколько членов ряда обеспечивает наилучшее описание изучаемого процесса.

Метод конечных элементов как универсальный метод инженерных расчетов сложных систем

Метод конечных элементов, разработанный на основе матричных методов расчета механических конструкций, рассматривается сегодня как способ решения задач, описываемых уравнениями математической физики в частных производных. Рассмотрим метод конечных элементов с этой точки зрения, поскольку в большинстве случаев, когда этот метод включается в системы автоматизированного проектирования (CAE), он служит для моделирования механических, тепловых и электрических задач.

Основа метода конечных элементов состоит в определении способа разбиения области на подобласти (конечные элементы) без перекрытия и пересечения. На рис. приведено несколько примеров разбиения для плоских и объемных тел.

разбиение в двумерных задачах (треугольные элементы), разбиение в трехмерных задачах (тетраэдры).

После разбиения области на элементы осуществляют решение системы алгебраических уравнений, результаты решения предоставляются в удобной для пользователя форме.

Схема организации расчета методом конечных элементов

Главный недостаток метода конечных элементов заключается в необходимости составления вычислительных программ и применения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить при использовании метода конечных элементов, слишком громоздки для ручного счета даже в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующие, мощные компьютеры, обладающие большой памятью.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: